Страница 165 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

844. Диаметр большой пиццы равен 30 см, а маленькой — 20 см. В каком случае Дима съест больше пиццы: если купит одну большую или две маленькие, если все пиццы имеют одинаковую толщину?

Для того чтобы определить, в каком случае Дима съест больше пиццы, нам нужно сравнить объемы пицц. Поскольку по условию все пиццы имеют одинаковую толщину, сравнение объемов сводится к сравнению их площадей. Пицца имеет форму круга, площадь которого вычисляется по формуле $S = \pi R^2$, где $R$ — это радиус.

1. Найдем площадь одной большой пиццы.

Диаметр большой пиццы $D_б = 30$ см. Ее радиус $R_б$ равен половине диаметра: $R_б = D_б / 2 = 30 / 2 = 15$ см.

Площадь большой пиццы $S_б$ составляет:

$S_б = \pi R_б^2 = \pi \cdot (15 \text{ см})^2 = 225\pi$ см².

2. Найдем общую площадь двух маленьких пицц.

Диаметр маленькой пиццы $D_м = 20$ см. Ее радиус $R_м$ равен: $R_м = D_м / 2 = 20 / 2 = 10$ см.

Площадь одной маленькой пиццы $S_м$ составляет:

$S_м = \pi R_м^2 = \pi \cdot (10 \text{ см})^2 = 100\pi$ см².

Так как Дима покупает две маленькие пиццы, их общая площадь будет:

$S_{2м} = 2 \cdot S_м = 2 \cdot 100\pi = 200\pi$ см².

3. Сравним площади.

Теперь сравним площадь одной большой пиццы ($S_б = 225\pi$ см²) с общей площадью двух маленьких ($S_{2м} = 200\pi$ см²).

$225\pi \text{ см}^2 > 200\pi \text{ см}^2$

Следовательно, площадь одной большой пиццы больше, чем суммарная площадь двух маленьких.

Ответ: Дима съест больше пиццы, если купит одну большую.

845. Диаметр колеса автомобиля равен 65 см. Автомобиль движется с такой скоростью, что колёса делают шесть оборотов в секунду. Найдите скорость автомобиля в километрах в час. Ответ округлите до десятых.

Для того чтобы найти скорость автомобиля, необходимо сначала определить, какое расстояние он проходит за один оборот колеса. Это расстояние равно длине окружности колеса.

1. Вычисление длины окружности колеса.

Длина окружности $C$ вычисляется по формуле $C = \pi d$, где $d$ — диаметр.

По условию, диаметр колеса $d = 65$ см.
Следовательно, длина окружности колеса равна:
$C = 65\pi$ см.

2. Вычисление скорости в см/с.

За одну секунду колесо делает шесть оборотов. Значит, расстояние, которое автомобиль проезжает за одну секунду, равно шести длинам окружности колеса.

$v = 6 \times C = 6 \times 65\pi = 390\pi$ см/с.

3. Перевод скорости в км/ч.

Для перевода скорости из сантиметров в секунду в километры в час воспользуемся следующими соотношениями:
1 км = 100 000 см
1 час = 3600 с

Чтобы перевести см/с в км/ч, нужно умножить значение на коэффициент $\frac{3600}{100000} = 0.036$.

$v (\text{км/ч}) = 390\pi \times \frac{3600}{100000} = 390\pi \times 0.036 = 14.04\pi$ км/ч.

4. Расчет и округление.

Теперь вычислим приближенное значение скорости, используя $\pi \approx 3.14159...$

$v \approx 14.04 \times 3.14159 \approx 44.1281236$ км/ч.

Согласно условию, ответ нужно округлить до десятых. Смотрим на цифру в разряде сотых: это 2. Так как $2 < 5$, округляем в меньшую сторону (оставляем цифру в разряде десятых без изменений).

$v \approx 44.1$ км/ч.

Ответ: 44,1

846. Диаметр колеса вагона метрополитена равен 78 см. За 2,5 мин колесо делает 1000 оборотов. Найдите скорость поезда метро в километрах в час. Ответ округлите до десятых.

Чтобы найти скорость поезда, нужно вычислить расстояние, которое он проехал, и разделить его на время, затраченное на этот путь. Все единицы измерения должны быть приведены в соответствие с требуемым результатом (километры и часы).

1. Сначала найдем расстояние, которое проходит колесо за один полный оборот. Это расстояние равно длине окружности колеса. Длина окружности ($C$) вычисляется по формуле $C = \pi d$, где $d$ — диаметр.

Диаметр колеса $d = 78$ см.

Длина окружности: $C = 78\pi$ см.

2. Далее вычислим общее расстояние ($S$), которое проехал поезд. За 2,5 минуты колесо сделало 1000 оборотов.

Общее расстояние в сантиметрах: $S = C \times 1000 = 78\pi \times 1000 = 78000\pi$ см.

3. Переведем это расстояние в километры. Учитывая, что в 1 метре 100 сантиметров, а в 1 километре 1000 метров, получаем, что в 1 километре $100 \times 1000 = 100000$ сантиметров.

$S = \frac{78000\pi}{100000} = 0.78\pi$ км.

4. Теперь переведем время из минут в часы. В одном часе 60 минут.

Время в часах: $t = \frac{2.5}{60} = \frac{5/2}{60} = \frac{5}{120} = \frac{1}{24}$ часа.

5. Наконец, найдем скорость ($v$) поезда в км/ч, разделив расстояние на время: $v = \frac{S}{t}$.

$v = \frac{0.78\pi}{1/24} = 0.78\pi \times 24$ км/ч.

Для вычисления используем приближенное значение $\pi \approx 3.14159$.

$v = 18.72 \times \pi \approx 18.72 \times 3.14159 \approx 58.8087...$ км/ч.

6. Округлим полученный результат до десятых.

$v \approx 58.8$ км/ч.

Ответ: 58,8 км/ч.

847. Найдите длину дуги, которую описывает часовая стрелка длиной 6 см за 1 ч.

Конец часовой стрелки движется по окружности, радиус которой равен длине самой стрелки.

Из условия задачи нам известно:

• Длина часовой стрелки, которая является радиусом окружности: $r = 6$ см.
• Временной интервал: $t = 1$ ч.

За 12 часов часовая стрелка совершает полный оборот, то есть проходит угол в $360^\circ$. Чтобы найти, на какой угол стрелка поворачивается за 1 час, нужно полный угол разделить на 12.

Угол поворота за 1 час:

$\alpha = \frac{360^\circ}{12} = 30^\circ$

Теперь мы можем найти длину дуги $L$ по формуле длины дуги окружности:

$L = \frac{\pi r \alpha}{180^\circ}$

Подставим наши значения $r = 6$ см и $\alpha = 30^\circ$ в формулу:

$L = \frac{\pi \cdot 6 \cdot 30^\circ}{180^\circ} = \frac{180\pi}{180} = \pi$ см.

Другой способ решения:

Найдем длину всей окружности $C$, которую описывает конец стрелки:

$C = 2\pi r = 2\pi \cdot 6 = 12\pi$ см.

За 1 час стрелка проходит $\frac{1}{12}$ часть всей окружности. Следовательно, длина дуги, которую она описывает, равна:

$L = \frac{1}{12} \cdot C = \frac{1}{12} \cdot 12\pi = \pi$ см.

Ответ: $\pi$ см.

848. Найдите длину дуги, которую описывает минутная стрелка длиной 24 см за 40 мин.

Движение конца минутной стрелки представляет собой движение по окружности. Длина стрелки является радиусом этой окружности, то есть $r = 24$ см. Длина дуги, которую описывает стрелка, зависит от доли полного оборота, пройденной за указанное время.

1. Сначала определим, какую часть полного оборота совершает минутная стрелка за 40 минут. Полный оборот минутная стрелка делает за 60 минут. Следовательно, за 40 минут она пройдет:

$\frac{40 \text{ минут}}{60 \text{ минут}} = \frac{2}{3}$ полного оборота.

2. Далее вычислим длину всей окружности ($C$), по которой движется конец стрелки, используя формулу длины окружности $C = 2\pi r$. Подставив значение радиуса, получим:

$C = 2 \times \pi \times 24 = 48\pi$ см.

3. Теперь найдем искомую длину дуги ($L$). Она составляет $\frac{2}{3}$ от длины всей окружности:

$L = \frac{2}{3} \times C = \frac{2}{3} \times 48\pi = \frac{2 \times 48\pi}{3} = 2 \times 16\pi = 32\pi$ см.

Ответ: $32\pi$ см.

849. Вычислите площадь закрашенной фигуры на рисунке 126.

Рис. 126

10 см

Для вычисления площади закрашенной фигуры воспользуемся методом сложения площадей.

Фигура вписана в квадрат со стороной $a = 10 \text{ см}$. Площадь квадрата равна:

$S_{кв} = a^2 = 10^2 = 100 \text{ см}^2$.

Закрашенная фигура образована пересечением четырех полукругов, диаметры которых являются сторонами квадрата. Радиус каждого полукруга равен половине стороны квадрата:

$r = a/2 = 10/2 = 5 \text{ см}$.

Найдем сумму площадей этих четырех полукругов. Это эквивалентно площади двух полных кругов с радиусом 5 см.

$S_{4пк} = 4 \cdot S_{полукруга} = 4 \cdot (\frac{1}{2} \pi r^2) = 2 \pi r^2$

$S_{4пк} = 2 \cdot \pi \cdot 5^2 = 2 \cdot 25\pi = 50\pi \text{ см}^2$.

Теперь проанализируем, как эта суммарная площадь распределена по квадрату. Когда мы складываем площади четырех полукругов, некоторые части квадрата учитываются несколько раз. Разделим квадрат на два типа областей:

• Закрашенная область ($S_{закр}$), состоящая из четырех "лепестков".
• Незакрашенная область ($S_{незакр}$), состоящая из четырех угловых фигур.

Рассмотрим, сколько раз каждая область покрывается полукругами:

• Каждый "лепесток" (закрашенная область) покрывается ровно одним полукругом. Например, верхний лепесток полностью лежит внутри полукруга, построенного на верхней стороне, и не пересекается с другими.
• Каждая угловая фигура (незакрашенная область) покрывается ровно двумя полукругами. Например, левая верхняя угловая фигура находится в зоне пересечения полукругов, построенных на верхней и левой сторонах.

Таким образом, суммарная площадь четырех полукругов может быть выражена через площади закрашенной и незакрашенной областей:

$S_{4пк} = 1 \cdot S_{закр} + 2 \cdot S_{незакр}$

Мы получили первое уравнение: $50\pi = S_{закр} + 2S_{незакр}$.

Также мы знаем, что площадь квадрата является суммой площадей закрашенной и незакрашенной областей:

$S_{кв} = S_{закр} + S_{незакр}$

Это наше второе уравнение: $100 = S_{закр} + S_{незакр}$.

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

1) $S_{закр} + 2S_{незакр} = 50\pi$

2) $S_{закр} + S_{незакр} = 100$

Выразим $S_{незакр}$ из второго уравнения:

$S_{незакр} = 100 - S_{закр}$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$S_{закр} + 2(100 - S_{закр}) = 50\pi$

$S_{закр} + 200 - 2S_{закр} = 50\pi$

$200 - S_{закр} = 50\pi$

Выразим $S_{закр}$:

$S_{закр} = 200 - 50\pi$

Таким образом, площадь закрашенной фигуры равна $200 - 50\pi$ см$^2$.

Приближенное значение, используя $\pi \approx 3.14$:

$S_{закр} \approx 200 - 50 \cdot 3.14 = 200 - 157 = 43 \text{ см}^2$.

Ответ: Площадь закрашенной фигуры равна $200 - 50\pi \text{ см}^2$.

850. Докажите, что сумма длин красных дуг равна сумме длин зелёных дуг (рис. 127).

Рис. 127

$ \frac{88}{90} = x \cdot \frac{1}{8} + x \cdot \frac{1}{3} + x \cdot \frac{1}{4} (\text{S}) $

Пусть красные дуги являются полуокружностями с диаметрами $d_{к1}, d_{к2}, \dots, d_{kn}$, а зеленые дуги — полуокружностями с диаметрами $d_{з1}, d_{з2}, \dots, d_{зм}$.

Из рисунка видно, что все диаметры лежат на одном отрезке. Сумма диаметров как красных, так и зеленых дуг равна длине всего отрезка. Обозначим длину этого общего отрезка буквой $L$.

Таким образом, мы можем записать:
$d_{к1} + d_{к2} + \dots + d_{kn} = L$
$d_{з1} + d_{з2} + \dots + d_{зм} = L$

Длина дуги полуокружности вычисляется по формуле $l = \frac{1}{2}\pi d$, где $d$ — её диаметр.

Найдём сумму длин всех красных дуг, обозначив её $S_к$:
$S_к = \frac{1}{2}\pi d_{к1} + \frac{1}{2}\pi d_{к2} + \dots + \frac{1}{2}\pi d_{kn}$
Вынесем за скобки общий множитель $\frac{1}{2}\pi$:
$S_к = \frac{1}{2}\pi (d_{к1} + d_{к2} + \dots + d_{kn})$
Поскольку сумма диаметров красных дуг равна $L$, мы получаем:
$S_к = \frac{1}{2}\pi L$

Аналогично найдём сумму длин всех зелёных дуг, обозначив её $S_з$:
$S_з = \frac{1}{2}\pi d_{з1} + \frac{1}{2}\pi d_{з2} + \dots + \frac{1}{2}\pi d_{зм}$
Вынесем за скобки общий множитель $\frac{1}{2}\pi$:
$S_з = \frac{1}{2}\pi (d_{з1} + d_{з2} + \dots + d_{зм})$
Поскольку сумма диаметров зелёных дуг также равна $L$, мы получаем:
$S_з = \frac{1}{2}\pi L$

Сравнивая выражения для $S_к$ и $S_з$, мы видим, что они равны:
$S_к = S_з = \frac{1}{2}\pi L$

Следовательно, сумма длин красных дуг равна сумме длин зелёных дуг.

Ответ: Равенство доказано. Сумма длин красных дуг и сумма длин зеленых дуг равны, так как каждая из этих сумм равна половине длины окружности, диаметр которой равен длине всего отрезка, на котором построены дуги.

851. (Задача Гиппократа1) Докажите, что сумма площадей закрашенных фигур («луночек») равна площади прямоугольника (рис. 128).

Рис. 128

3 см, 4 см, 5 см

Для доказательства утверждения введем обозначения. Пусть $a$ и $b$ — длины сторон прямоугольника, а $d$ — его диагональ. На рисунке показан прямоугольник со сторонами $a=3$ см и $b=4$ см. По теореме Пифагора его диагональ равна $d = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{3^2+4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$ см, что соответствует данным на рисунке.

Обозначим исконную сумму площадей закрашенных фигур («луночек») как $S_{лун}$, а площадь прямоугольника как $S_{прям}$.

1. Найдем сумму площадей четырех полукругов, построенных на сторонах прямоугольника как на диаметрах. Два полукруга имеют диаметр $a$, и два — диаметр $b$. Сумма их площадей, обозначим ее $S_{4пк}$, равна:

$S_{4пк} = 2 \cdot \left(\frac{1}{2}\pi \left(\frac{a}{2}\right)^2\right) + 2 \cdot \left(\frac{1}{2}\pi \left(\frac{b}{2}\right)^2\right) = \frac{\pi a^2}{4} + \frac{\pi b^2}{4} = \frac{\pi}{4}(a^2+b^2)$.

2. Найдем площадь круга, построенного на диагонали прямоугольника $d$ как на диаметре. Обозначим ее $S_{окр}$. Эта окружность является описанной около прямоугольника. Ее площадь равна:

$S_{окр} = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$.

3. Сравним полученные площади. Согласно теореме Пифагора для прямоугольника, $a^2 + b^2 = d^2$. Подставив это в выражение для $S_{4пк}$, получаем:

$S_{4пк} = \frac{\pi}{4}(a^2+b^2) = \frac{\pi d^2}{4} = S_{окр}$.

Таким образом, мы установили, что сумма площадей четырех полукругов на сторонах прямоугольника равна площади круга на его диагонали.

4. Выразим площади через составные части фигуры. Обозначим через $S_{сегм}$ общую площадь четырех незакрашенных сегментов, которые являются частями большого круга, но лежат вне прямоугольника.

Площадь большого круга $S_{окр}$ можно представить как сумму площади прямоугольника $S_{прям}$ и площади этих четырех сегментов $S_{сегм}$:

$S_{окр} = S_{прям} + S_{сегм}$.

Сумму площадей четырех полукругов $S_{4пк}$ можно представить как сумму площадей четырех луночек $S_{лун}$ и площади тех же самых четырех сегментов $S_{сегм}$:

$S_{4пк} = S_{лун} + S_{сегм}$.

5. Завершим доказательство. Поскольку мы ранее показали, что $S_{4пк} = S_{окр}$, мы можем приравнять правые части двух последних выражений:

$S_{прям} + S_{сегм} = S_{лун} + S_{сегм}$.

Вычитая $S_{сегм}$ из обеих частей равенства, мы получаем искомое тождество:

$S_{прям} = S_{лун}$.

Таким образом, доказано, что сумма площадей закрашенных фигур («луночек») равна площади прямоугольника.

Ответ: Утверждение доказано. Сумма площадей «луночек» равна площади прямоугольника. Для прямоугольника с данными сторонами эта площадь составляет $3 \text{ см} \times 4 \text{ см} = 12 \text{ см}^2$.

852. Два квадрата со стороной 1 см имеют общий центр (центр квадрата — точка пересечения его диагоналей) (рис. 129). Докажите, что площадь их общей части больше $ \frac{\pi}{4} $.

Рис. 129

Пусть даны два квадрата со стороной $a=1$ см и общим центром $O$. Обозначим площадь их общей части (пересечения) как $S$. Нам нужно доказать, что $S > \frac{\pi}{4}$.

Рассмотрим круг, вписанный в один из этих квадратов. Центр этого круга совпадает с общим центром квадратов $O$, а его радиус $R$ равен половине стороны квадрата: $R = \frac{a}{2} = \frac{1}{2}$ см.

Площадь этого круга $S_{круга}$ вычисляется по формуле:

$S_{круга} = \pi R^2 = \pi \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{\pi}{4}$ см$^2$.

По определению, вписанный круг полностью лежит внутри первого квадрата.

Второй квадрат получен из первого поворотом вокруг их общего центра $O$. Поскольку круг также имеет центр в точке $O$, он является вписанным и во второй квадрат. Это связано с тем, что при повороте квадрата вокруг его центра расстояние от центра до его сторон не меняется и остается равным $\frac{1}{2}$. Таким образом, вписанный круг полностью лежит и внутри второго квадрата.

Поскольку рассматриваемый круг лежит внутри первого квадрата и одновременно внутри второго квадрата, он должен полностью лежать и в их общей части (фигуре пересечения).

Из этого следует, что площадь общей части $S$ как минимум не меньше площади вписанного круга: $S \ge S_{круга}$, то есть $S \ge \frac{\pi}{4}$.

Равенство $S = \frac{\pi}{4}$ было бы возможно только в том случае, если бы фигура пересечения сама была этим кругом. Однако пересечение двух квадратов — это всегда многоугольник (в общем случае — восьмиугольник). Площадь многоугольника, который содержит внутри себя круг, всегда строго больше площади этого круга, поскольку у многоугольника есть вершины и стороны, часть которых находится за пределами окружности.

Следовательно, неравенство должно быть строгим: $S > \frac{\pi}{4}$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.