Страница 160 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

821. Найдите значение выражения:

$(1\frac{1}{12} + 1\frac{1}{4}) \cdot 1\frac{19}{56} + 2\frac{5}{8} \cdot 1\frac{3}{7} \cdot 1\frac{1}{9}$

Для нахождения значения выражения выполним действия в соответствии с их порядком: сначала действия в скобках, затем умножение и в конце сложение.

1. Выполним сложение в скобках. Для этого представим смешанные числа в виде неправильных дробей и приведем их к общему знаменателю.

$1\frac{1}{12} + 1\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 12 + 1}{12} + \frac{1 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{13}{12} + \frac{5}{4}$

Общий знаменатель для дробей — 12. Приведем вторую дробь к этому знаменателю:

$\frac{13}{12} + \frac{5 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{13}{12} + \frac{15}{12} = \frac{13 + 15}{12} = \frac{28}{12}$

Сократим полученную дробь на 4:

$\frac{28}{12} = \frac{7}{3}$

2. Теперь умножим результат первого действия на $1\frac{19}{56}$. Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь:

$1\frac{19}{56} = \frac{1 \cdot 56 + 19}{56} = \frac{75}{56}$

Выполним умножение, сокращая дроби для упрощения вычислений:

$\frac{7}{3} \cdot \frac{75}{56} = \frac{7 \cdot 75}{3 \cdot 56} = \frac{1 \cdot 25}{1 \cdot 8} = \frac{25}{8}$

3. Далее вычислим второе слагаемое в исходном выражении: произведение $2\frac{5}{8} \cdot 1\frac{3}{7} \cdot 1\frac{1}{9}$. Преобразуем все смешанные числа в неправильные дроби:

$2\frac{5}{8} = \frac{2 \cdot 8 + 5}{8} = \frac{21}{8}$

$1\frac{3}{7} = \frac{1 \cdot 7 + 3}{7} = \frac{10}{7}$

$1\frac{1}{9} = \frac{1 \cdot 9 + 1}{9} = \frac{10}{9}$

Теперь перемножим полученные дроби:

$ \frac{21}{8} \cdot \frac{10}{7} \cdot \frac{10}{9} = \frac{21 \cdot 10 \cdot 10}{8 \cdot 7 \cdot 9}$

Произведем сокращение: 21 и 7 на 7; 21 и 9 на 3; 10 и 8 на 2.

$\frac{(3 \cdot 7) \cdot 10 \cdot 10}{8 \cdot 7 \cdot (3 \cdot 3)} = \frac{3 \cdot 10 \cdot 10}{8 \cdot 3 \cdot 3} = \frac{10 \cdot 10}{8 \cdot 3} = \frac{100}{24}$

Сократим полученную дробь на 4:

$\frac{100}{24} = \frac{25}{6}$

4. Последним шагом сложим результаты второго и третьего действий:

$\frac{25}{8} + \frac{25}{6}$

Найдем наименьший общий знаменатель для 8 и 6, который равен 24. Приведем дроби к этому знаменателю:

$\frac{25 \cdot 3}{8 \cdot 3} + \frac{25 \cdot 4}{6 \cdot 4} = \frac{75}{24} + \frac{100}{24} = \frac{75 + 100}{24} = \frac{175}{24}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число, выделив целую часть:

$175 \div 24 = 7$ (остаток $175 - 7 \cdot 24 = 175 - 168 = 7$)

Таким образом, получаем:

$\frac{175}{24} = 7\frac{7}{24}$

Ответ: $7\frac{7}{24}$.

822. На доске написано число 23. Каждую минуту число стирают и записывают на этом месте новое число, равное произведению цифр старого числа, увеличенному на 12. Какое число будет написано на доске через час?

Обозначим число на доске в начальный момент времени как $a_0$, а число через $n$ минут как $a_n$. По условию, начальное число $a_0 = 23$.

Каждую минуту вычисляется новое число по правилу: произведение цифр предыдущего числа, увеличенное на 12. Выполним вычисления по шагам:

Через 1 минуту: исходное число 23. Произведение цифр $2 \cdot 3 = 6$. Новое число $a_1 = 6 + 12 = 18$.

Через 2 минуты: исходное число 18. Произведение цифр $1 \cdot 8 = 8$. Новое число $a_2 = 8 + 12 = 20$.

Через 3 минуты: исходное число 20. Произведение цифр $2 \cdot 0 = 0$. Новое число $a_3 = 0 + 12 = 12$.

Через 4 минуты: исходное число 12. Произведение цифр $1 \cdot 2 = 2$. Новое число $a_4 = 2 + 12 = 14$.

Через 5 минут: исходное число 14. Произведение цифр $1 \cdot 4 = 4$. Новое число $a_5 = 4 + 12 = 16$.

Через 6 минут: исходное число 16. Произведение цифр $1 \cdot 6 = 6$. Новое число $a_6 = 6 + 12 = 18$.

На 6-й минуте мы снова получили число 18, которое уже было на 1-й минуте. Это означает, что последовательность чисел, начиная с первой минуты, является циклической. Цикл состоит из 5 чисел: $18, 20, 12, 14, 16$. Длина этого цикла (период) равна 5.

Нам необходимо узнать, какое число будет на доске через час, то есть через 60 минут. Так как цикл начинается с первой минуты, нам нужно найти 60-й член этой последовательности преобразований. Для этого нужно определить, какому элементу цикла соответствует 60-я минута.

Разделим 60 на длину цикла 5, чтобы найти, на каком шаге цикла мы остановимся:

$60 \div 5 = 12$ с остатком $0$.

Остаток 0 означает, что 60-я минута соответствует последнему элементу цикла. В нашем цикле ($18, 20, 12, 14, 16$) последним, пятым, элементом является число 16.

Следовательно, через час на доске будет написано число 16.

Ответ: 16