Номер 822, страница 160 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 20. Деление числа в данном отношении. Глава 3. Дроби - номер 822, страница 160.

Условие.

822. На доске написано число 23. Каждую минуту число стирают и записывают на этом месте новое число, равное произведению цифр старого числа, увеличенному на 12. Какое число будет написано на доске через час?

Решение.

Решение 2.

Обозначим число на доске в начальный момент времени как $a_0$, а число через $n$ минут как $a_n$. По условию, начальное число $a_0 = 23$.

Каждую минуту вычисляется новое число по правилу: произведение цифр предыдущего числа, увеличенное на 12. Выполним вычисления по шагам:

Через 1 минуту: исходное число 23. Произведение цифр $2 \cdot 3 = 6$. Новое число $a_1 = 6 + 12 = 18$.

Через 2 минуты: исходное число 18. Произведение цифр $1 \cdot 8 = 8$. Новое число $a_2 = 8 + 12 = 20$.

Через 3 минуты: исходное число 20. Произведение цифр $2 \cdot 0 = 0$. Новое число $a_3 = 0 + 12 = 12$.

Через 4 минуты: исходное число 12. Произведение цифр $1 \cdot 2 = 2$. Новое число $a_4 = 2 + 12 = 14$.

Через 5 минут: исходное число 14. Произведение цифр $1 \cdot 4 = 4$. Новое число $a_5 = 4 + 12 = 16$.

Через 6 минут: исходное число 16. Произведение цифр $1 \cdot 6 = 6$. Новое число $a_6 = 6 + 12 = 18$.

На 6-й минуте мы снова получили число 18, которое уже было на 1-й минуте. Это означает, что последовательность чисел, начиная с первой минуты, является циклической. Цикл состоит из 5 чисел: $18, 20, 12, 14, 16$. Длина этого цикла (период) равна 5.

Нам необходимо узнать, какое число будет на доске через час, то есть через 60 минут. Так как цикл начинается с первой минуты, нам нужно найти 60-й член этой последовательности преобразований. Для этого нужно определить, какому элементу цикла соответствует 60-я минута.

Разделим 60 на длину цикла 5, чтобы найти, на каком шаге цикла мы остановимся:

$60 \div 5 = 12$ с остатком $0$.

Остаток 0 означает, что 60-я минута соответствует последнему элементу цикла. В нашем цикле ($18, 20, 12, 14, 16$) последним, пятым, элементом является число 16.

Следовательно, через час на доске будет написано число 16.

Ответ: 16