Номер 818, страница 159 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 20. Деление числа в данном отношении. Глава 3. Дроби - номер 818, страница 159.

Условие.

818. Сумма четырёх чисел равна 386. Найдите эти числа, если первое относится ко второму как $2:5$, второе к третьему – как $3:4$, а третье к четвёртому – как $6:7$.

Решение.

Решение 2.

Обозначим четыре искомых числа как $n_1$, $n_2$, $n_3$ и $n_4$.

Из условия задачи известно, что их сумма равна 386:

$n_1 + n_2 + n_3 + n_4 = 386$

Также даны соотношения между числами:

$n_1 : n_2 = 2 : 5$

$n_2 : n_3 = 3 : 4$

$n_3 : n_4 = 6 : 7$

Для нахождения чисел необходимо найти их общее соотношение $n_1 : n_2 : n_3 : n_4$. Для этого последовательно приведем отношения к общим членам.

1. Объединим первые два отношения: $n_1 : n_2 = 2 : 5$ и $n_2 : n_3 = 3 : 4$. Общий член — $n_2$. Части, ему соответствующие — 5 и 3. Наименьшее общее кратное для 5 и 3 равно 15. Умножим первое отношение на 3, а второе на 5:

$n_1 : n_2 = (2 \cdot 3) : (5 \cdot 3) = 6 : 15$

$n_2 : n_3 = (3 \cdot 5) : (4 \cdot 5) = 15 : 20$

Отсюда, $n_1 : n_2 : n_3 = 6 : 15 : 20$.

2. Теперь к полученному отношению $n_1 : n_2 : n_3 = 6 : 15 : 20$ добавим третье: $n_3 : n_4 = 6 : 7$. Общий член — $n_3$. Части, ему соответствующие — 20 и 6. Наименьшее общее кратное для 20 и 6 равно 60. Умножим первое отношение на 3 (поскольку $60/20=3$), а второе на 10 (поскольку $60/6=10$):

$n_1 : n_2 : n_3 = (6 \cdot 3) : (15 \cdot 3) : (20 \cdot 3) = 18 : 45 : 60$

$n_3 : n_4 = (6 \cdot 10) : (7 \cdot 10) = 60 : 70$

Таким образом, итоговое соотношение всех четырех чисел:

$n_1 : n_2 : n_3 : n_4 = 18 : 45 : 60 : 70$

3. Пусть $x$ — одна часть в данном соотношении. Тогда числа можно выразить так: $n_1 = 18x$, $n_2 = 45x$, $n_3 = 60x$, $n_4 = 70x$.

Составим уравнение, используя их сумму:

$18x + 45x + 60x + 70x = 386$

$(18 + 45 + 60 + 70)x = 386$

$193x = 386$

Найдем $x$:

$x = \frac{386}{193} = 2$

4. Теперь найдем сами числа:

$n_1 = 18 \cdot 2 = 36$

$n_2 = 45 \cdot 2 = 90$

$n_3 = 60 \cdot 2 = 120$

$n_4 = 70 \cdot 2 = 140$

Проверка: $36 + 90 + 120 + 140 = 386$.

Ответ: 36, 90, 120, 140.