Страница 156 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

794. Бригада из 15 рабочих может отремонтировать школу за 46 дней. Сколько требуется рабочих, чтобы отремонтировать эту школу за 30 дней, если производительность труда всех рабочих одинакова?

Эта задача на обратную пропорциональность, так как чем больше рабочих, тем меньше времени потребуется на выполнение того же объема работы.

1. Сначала определим общий объем работы. Он равен произведению количества рабочих на количество дней, затраченных на работу. Этот объем измеряется в «человеко-днях».
Объем работы = $15 \text{ рабочих} \times 46 \text{ дней} = 690$ человеко-дней.

2. Теперь нам нужно найти, сколько рабочих (обозначим их количество как $x$) потребуется, чтобы выполнить тот же объем работы в 690 человеко-дней за 30 дней.
$x \text{ рабочих} \times 30 \text{ дней} = 690$ человеко-дней.

3. Чтобы найти $x$, нужно разделить общий объем работы на новое количество дней:
$x = \frac{690}{30}$
$x = 23$

Следовательно, для ремонта школы за 30 дней потребуется 23 рабочих.

Ответ: 23 рабочих.

795. Геракл заготовил для 240 коней царя Авгия кормов на 19 дней. На сколько дней хватит этих кормов, если коней у царя Авгия станет 304, а все кони потребляют одинаковое количество корма?

Данная задача описывает обратно пропорциональную зависимость: чем больше коней, тем на меньшее количество дней хватит одного и того же запаса корма. Решить ее можно несколькими способами.

Способ 1: Использование "коне-дней"

1. Сначала найдем общий объем заготовленного корма. Для этого введем условную единицу "коне-день" — это количество корма, необходимое одной лошади на один день. Чтобы найти общий запас в этих единицах, умножим количество коней на количество дней:

$240 \text{ коней} \times 19 \text{ дней} = 4560 \text{ коне-дней}$

Таким образом, общий запас корма составляет 4560 "коне-дней".

2. Теперь, когда количество коней стало 304, мы можем рассчитать, на сколько дней им хватит этого запаса. Для этого разделим общий запас корма на новое количество коней:

$\text{Количество дней} = \frac{4560 \text{ коне-дней}}{304 \text{ коня}} = 15 \text{ дней}$

Способ 2: Составление пропорции

Поскольку зависимость между количеством коней и количеством дней, на которые хватит корма, обратная, мы можем составить пропорцию. Пусть $x$ — искомое количество дней.

240 коней — 19 дней

304 коня — $x$ дней

Для обратной пропорции произведение величин постоянно: $240 \times 19 = 304 \times x$.

Выразим отсюда $x$:

$x = \frac{240 \times 19}{304}$

Для упрощения вычислений заметим, что $304 = 16 \times 19$. Сократим дробь:

$x = \frac{240 \times 19}{16 \times 19} = \frac{240}{16} = 15$

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: этих кормов хватит на 15 дней.

796. Найдите число:

1) половина которого равна $\frac{1}{6}$;

2) треть которого равна $\frac{1}{2}$;

3) $\frac{2}{3}$ которого равны $\frac{2}{9}$;

4) $\frac{1}{4}$ которого равна $\frac{1}{8}$.

1) половина которого равна $\frac{1}{6}$

Чтобы найти число по его части, нужно значение этой части разделить на дробь, которая эту часть выражает.
Половина — это $\frac{1}{2}$. Пусть искомое число — это $x$. Тогда мы имеем уравнение:
$\frac{1}{2} \cdot x = \frac{1}{6}$
Решаем уравнение относительно $x$:
$x = \frac{1}{6} \div \frac{1}{2}$
Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей дробь:
$x = \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{1} = \frac{2}{6}$
Сокращаем полученную дробь:
$x = \frac{1}{3}$
Ответ: $\frac{1}{3}$

2) треть которого равна $\frac{1}{2}$

Чтобы найти целое число по известной его части, необходимо значение части разделить на дробь, обозначающую эту часть.
Треть — это $\frac{1}{3}$. Обозначим искомое число за $x$. Составим уравнение:
$\frac{1}{3} \cdot x = \frac{1}{2}$
Найдём $x$:
$x = \frac{1}{2} \div \frac{1}{3} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{1} = \frac{3}{2}$
Искомое число равно $\frac{3}{2}$ или $1\frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{3}{2}$

3) $\frac{2}{3}$ которого равны $\frac{2}{3}$

Для нахождения всего числа по его части, нужно значение этой части разделить на соответствующую ей дробь.
Пусть искомое число — $x$. По условию, $\frac{2}{3}$ от этого числа равны $\frac{2}{3}$. Запишем это в виде уравнения:
$\frac{2}{3} \cdot x = \frac{2}{3}$
Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на $\frac{2}{3}$:
$x = \frac{2}{3} \div \frac{2}{3}$
Любое число (кроме нуля), делённое само на себя, равно 1.
$x = 1$
Ответ: $1$

4) $\frac{1}{4}$ которого равна $\frac{1}{8}$

Чтобы найти число, зная его часть, выраженную дробью, нужно значение этой части разделить на эту дробь.
В данном случае $\frac{1}{4}$ от искомого числа $x$ равна $\frac{1}{8}$. Составляем уравнение:
$\frac{1}{4} \cdot x = \frac{1}{8}$
Находим $x$:
$x = \frac{1}{8} \div \frac{1}{4} = \frac{1}{8} \cdot \frac{4}{1} = \frac{4}{8}$
Сокращаем дробь:
$x = \frac{1}{2}$
Ответ: $\frac{1}{2}$

797. Масса Земли составляет 1820 % массы Меркурия, а масса Сатурна – 9516 % массы Земли. Сколько процентов массы Меркурия составляет масса Сатурна?

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $M_{М}$ — масса Меркурия.
• $M_{З}$ — масса Земли.
• $M_{С}$ — масса Сатурна.

Согласно условию, масса Земли составляет 1820% массы Меркурия. Чтобы выразить это соотношение в виде формулы, переведем проценты в десятичную дробь, разделив на 100:

$1820\% = \frac{1820}{100} = 18.2$

Таким образом, получаем первое равенство:

$M_{З} = 18.2 \cdot M_{М}$

Также по условию масса Сатурна составляет 9516% массы Земли. Аналогично переводим проценты в десятичную дробь:

$9516\% = \frac{9516}{100} = 95.16$

Отсюда следует второе равенство:

$M_{С} = 95.16 \cdot M_{З}$

Нам необходимо найти, сколько процентов массы Меркурия составляет масса Сатурна. Для этого нужно выразить $M_{С}$ через $M_{М}$. Подставим выражение для $M_{З}$ из первого равенства во второе:

$M_{С} = 95.16 \cdot (18.2 \cdot M_{М})$

Теперь вычислим произведение числовых коэффициентов:

$95.16 \cdot 18.2 = 1731.912$

Таким образом, мы получили соотношение между массой Сатурна и массой Меркурия:

$M_{С} = 1731.912 \cdot M_{М}$

Чтобы выразить это соотношение в процентах, необходимо умножить полученный коэффициент на 100:

$1731.912 \cdot 100\% = 173191.2\%$

Следовательно, масса Сатурна составляет 173191.2% от массы Меркурия.

Ответ: 173191.2%.

798. В двух магазинах проводят акции. В магазине «Модная одежда» любая рубашка некоторого производителя стоит 1800 р., а при покупке двух таких рубашек скидка на вторую составляет 60 %. В магазине «Современная одежда» рубашка этого же производителя стоит 1650 р., а при покупке двух таких рубашек скидка на вторую составляет 40 %. В каком магазине выгоднее приобрести две рубашки?

Для того чтобы определить, в каком магазине покупка будет выгоднее, необходимо рассчитать общую стоимость двух рубашек в каждом из магазинов с учетом действующих акций.

Магазин «Модная одежда»

Стоимость первой рубашки составляет 1800 р. Скидка на вторую рубашку составляет 60%, следовательно, её цена будет равна $100\% - 60\% = 40\%$ от первоначальной стоимости.

1. Рассчитаем стоимость второй рубашки со скидкой:
$1800 \cdot \frac{40}{100} = 1800 \cdot 0,4 = 720$ р.

2. Рассчитаем общую стоимость двух рубашек:
$1800 + 720 = 2520$ р.

Магазин «Современная одежда»

Стоимость первой рубашки составляет 1650 р. Скидка на вторую рубашку составляет 40%, следовательно, её цена будет равна $100\% - 40\% = 60\%$ от первоначальной стоимости.

1. Рассчитаем стоимость второй рубашки со скидкой:
$1650 \cdot \frac{60}{100} = 1650 \cdot 0,6 = 990$ р.

2. Рассчитаем общую стоимость двух рубашек:
$1650 + 990 = 2640$ р.

Сравним итоговые стоимости: 2520 р. в магазине «Модная одежда» и 2640 р. в магазине «Современная одежда».
Поскольку $2520 < 2640$, покупка в магазине «Модная одежда» будет выгоднее.

Ответ: выгоднее приобрести две рубашки в магазине «Модная одежда».

799. Андрей задумал натуральное число и умножил его на 19. Софья зачеркнула последнюю цифру числа, полученного Андреем, и в результате получила 32. Какое число задумал Андрей?

Пусть $x$ — это натуральное число, которое задумал Андрей.

Он умножил это число на 19, в результате чего получил число $y = 19 \cdot x$.

Затем Софья зачеркнула последнюю цифру числа $y$ и получила 32. Это значит, что число $y$ до зачеркивания последней цифры находилось в диапазоне от 320 до 329 включительно. Например, если бы число было 320, то после зачеркивания нуля получилось бы 32. Если бы число было 329, то после зачеркивания девятки тоже получилось бы 32.

Это условие можно записать в виде двойного неравенства:

$320 \le y \le 329$

Теперь подставим в это неравенство выражение для $y$:

$320 \le 19x \le 329$

Чтобы найти возможное значение для $x$, разделим все части этого неравенства на 19:

$\frac{320}{19} \le x \le \frac{329}{19}$

Вычислим приближенные значения границ:

$320 \div 19 \approx 16.84$

$329 \div 19 \approx 17.31$

Таким образом, наше неравенство принимает вид:

$16.84 \dots \le x \le 17.31 \dots$

Поскольку по условию задачи $x$ — это натуральное число, то единственное натуральное число, которое удовлетворяет этому неравенству, — это 17.

Выполним проверку:

1. Андрей задумал число 17.

2. Он умножил его на 19: $17 \times 19 = 323$.

3. Софья зачеркнула последнюю цифру в числе 323, то есть цифру 3.

4. В результате получилось число 32, что полностью соответствует условию задачи.

Ответ: 17