Страница 158 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

800. Разделите:

1) число 138 в отношении $18 : 5;$

2) число 70 в отношении $3 : 6 : 8 : 11.$

1) Чтобы разделить число 138 в отношении 18 : 5 : 2, нужно найти общее количество частей и значение одной части.

1. Сначала найдем сумму всех частей в отношении:
$18 + 5 + 2 = 25$ (частей)

2. Теперь определим, какая величина приходится на одну часть, разделив исходное число на сумму частей:
$138 \div 25 = 5.52$

3. Наконец, найдем искомые числа, умножив значение одной части на соответствующее количество частей в отношении:
Первое число: $18 \times 5.52 = 99.36$
Второе число: $5 \times 5.52 = 27.6$
Третье число: $2 \times 5.52 = 11.04$

Для проверки сложим полученные числа: $99.36 + 27.6 + 11.04 = 138$. Сумма верна.

Ответ: 99.36, 27.6, 11.04.

2) Аналогично разделим число 70 в отношении 3 : 6 : 8 : 11.

1. Найдем сумму всех частей в отношении:
$3 + 6 + 8 + 11 = 28$ (частей)

2. Определим величину одной части:
$70 \div 28 = 2.5$

3. Найдем искомые числа:
Первое число: $3 \times 2.5 = 7.5$
Второе число: $6 \times 2.5 = 15$
Третье число: $8 \times 2.5 = 20$
Четвертое число: $11 \times 2.5 = 27.5$

Проверка: $7.5 + 15 + 20 + 27.5 = 70$. Сумма верна.

Ответ: 7.5, 15, 20, 27.5.

801. Разделите:

1) число 72 в отношении $7 : 11$;

2) число 92 в отношении $2 : 3 : 5$.

1) Чтобы разделить число 72 в отношении 7 : 11, нужно найти сумму частей отношения, а затем определить, какая величина приходится на одну часть.

1. Найдем общее количество частей в отношении:
$7 + 11 = 18$ (частей).

2. Найдем, какое значение соответствует одной части, разделив исходное число на общее количество частей:
$72 \div 18 = 4$.
Таким образом, одна часть равна 4.

3. Теперь найдем каждое из чисел, умножив количество их частей на значение одной части:
Первое число: $7 \times 4 = 28$.
Второе число: $11 \times 4 = 44$.

Проверка: $28 + 44 = 72$. Отношение $28:44$ можно сократить на 4, получив $7:11$. Решение верное.

Ответ: 28 и 44.

2) Чтобы разделить число 92 в отношении 2 : 3 : 5, выполним аналогичные действия.

1. Найдем общее количество частей в отношении:
$2 + 3 + 5 = 10$ (частей).

2. Найдем, какое значение соответствует одной части:
$92 \div 10 = 9.2$.
Одна часть равна 9,2.

3. Найдем каждое из чисел:
Первое число: $2 \times 9.2 = 18.4$.
Второе число: $3 \times 9.2 = 27.6$.
Третье число: $5 \times 9.2 = 46$.

Проверка: $18.4 + 27.6 + 46 = 46 + 46 = 92$. Решение верное.

Ответ: 18,4; 27,6 и 46.

802. Для приготовления солевого раствора берут 3 части соли и 14 частей воды. Сколько надо взять граммов соли, чтобы приготовить 85 г раствора?

Согласно условию, солевой раствор готовится в соотношении 3 части соли к 14 частям воды.

1. Сначала найдем общее количество частей, из которых состоит весь раствор. Для этого сложим части соли и части воды:
$3 + 14 = 17$ (частей).

Таким образом, весь раствор массой 85 г состоит из 17 равных по массе частей.

2. Теперь найдем, какая масса приходится на одну часть. Для этого разделим общую массу раствора на общее количество частей:
$85 \text{ г} \div 17 \text{ частей} = 5$ (г).
Следовательно, масса одной части составляет 5 граммов.

3. По условию, для приготовления раствора требуется 3 части соли. Чтобы найти необходимую массу соли, умножим количество частей соли на массу одной части:
$3 \text{ части} \times 5 \text{ г/часть} = 15$ (г).

Ответ: 15 г.

803. Самир любит напиток, настоянный на смеси чёрного чая и душицы. Для этого он смешивает 3 части чая и 2 части душицы. Сколько ему необходимо взять граммов душицы, чтобы приготовить 180 г смеси?

Согласно условию, напиток состоит из смеси чёрного чая и душицы в соотношении 3 части чая к 2 частям душицы.

1. Найдем общее количество частей в смеси.
Для этого сложим количество частей чая и душицы:
$3 + 2 = 5$ (частей)
Таким образом, вся смесь состоит из 5 равных частей.

2. Найдем, сколько граммов приходится на одну часть смеси.
Общая масса смеси, которую нужно приготовить, составляет 180 г. Эта масса приходится на 5 частей. Чтобы найти массу одной части, разделим общую массу на количество частей:
$180 \div 5 = 36$ (г)
Значит, одна часть смеси весит 36 граммов.

3. Рассчитаем необходимое количество душицы.
По рецепту для смеси требуется 2 части душицы. Поскольку одна часть весит 36 г, то для двух частей потребуется:
$36 \times 2 = 72$ (г)
Следовательно, для приготовления 180 г смеси необходимо взять 72 г душицы.

Ответ: 72 г.

804. Для изготовления сока берут 12 частей ягод и 17 частей воды (все части имеют одинаковую массу). Сколько килограммов ягод необходимо взять, чтобы получить 232 кг сока?

Для того чтобы решить задачу, необходимо выполнить следующие действия:

1. Найдем общее количество частей в соке.

Сок состоит из 12 частей ягод и 17 частей воды. Сложим количество этих частей, чтобы найти общее количество частей в смеси:

$12 + 17 = 29$ (частей)

Таким образом, весь сок состоит из 29 равных по массе частей.

2. Найдем массу одной части.

Общая масса сока равна 232 кг, что соответствует 29 частям. Чтобы найти массу одной части, разделим общую массу сока на общее количество частей:

$232 \div 29 = 8$ (кг)

Следовательно, масса одной части составляет 8 кг.

3. Найдем необходимую массу ягод.

Для приготовления сока необходимо взять 12 частей ягод. Поскольку масса одной части равна 8 кг, умножим количество частей ягод на массу одной части:

$12 \times 8 = 96$ (кг)

Ответ: чтобы получить 232 кг сока, необходимо взять 96 кг ягод.

805. Для царя Гороха изготовили новую корону из сплава, состоящего из 7 частей золота и 5 частей платины (все части имеют одинаковую массу). Сколько граммов каждого металла взяли, если масса короны равна 2 кг 460 г?

Для решения этой задачи необходимо сначала найти общую массу короны в граммах, затем определить массу одной части сплава и после этого вычислить массу каждого металла.

1. Переведем массу короны в граммы. В одном килограмме 1000 граммов, поэтому:

$2 \text{ кг } 460 \text{ г} = 2 \times 1000 \text{ г} + 460 \text{ г} = 2000 \text{ г} + 460 \text{ г} = 2460 \text{ г}$.

2. Сплав состоит из 7 частей золота и 5 частей платины. Найдем общее количество частей в сплаве:

$7 \text{ частей} + 5 \text{ частей} = 12 \text{ частей}$.

3. Теперь, зная общую массу короны и общее количество частей, можем найти массу одной части сплава:

$2460 \text{ г} \div 12 = 205 \text{ г}$.

Таким образом, масса одной части сплава составляет 205 граммов.

4. Рассчитаем массу золота и платины в короне.

Масса золота (7 частей):

$7 \times 205 \text{ г} = 1435 \text{ г}$.

Масса платины (5 частей):

$5 \times 205 \text{ г} = 1025 \text{ г}$.

Проверка: $1435 \text{ г} + 1025 \text{ г} = 2460 \text{ г}$, что равно общей массе короны.

Ответ: для изготовления короны взяли 1435 граммов золота и 1025 граммов платины.

806. Периметр треугольника равен 48 см, а его стороны относятся как $7 : 9 : 8$. Найдите стороны треугольника.

Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон. Обозначим стороны треугольника как $a$, $b$ и $c$. По условию, периметр $P = 48$ см.

Соотношение сторон треугольника равно $7:9:8$. Это означает, что длины сторон можно представить через коэффициент пропорциональности $x$.
Пусть первая сторона $a = 7x$, вторая сторона $b = 9x$, а третья сторона $c = 8x$.

Сумма длин сторон равна периметру, поэтому мы можем составить уравнение:
$7x + 9x + 8x = 48$

Сложим все части с $x$:
$(7 + 9 + 8)x = 48$
$24x = 48$

Теперь найдем значение $x$:
$x = \frac{48}{24}$
$x = 2$

Зная коэффициент пропорциональности, мы можем найти длины каждой стороны, подставив значение $x = 2$:
Первая сторона: $a = 7 \cdot 2 = 14$ см.
Вторая сторона: $b = 9 \cdot 2 = 18$ см.
Третья сторона: $c = 8 \cdot 2 = 16$ см.

Проверка: $14 + 18 + 16 = 48$ см. Периметр сходится.

Ответ: стороны треугольника равны 14 см, 18 см и 16 см.

807. Стороны треугольника относятся как $5 : 7 : 11$, а сумма наибольшей и наименьшей сторон равна 80 см. Вычислите периметр треугольника.

Пусть $x$ — коэффициент пропорциональности. Тогда стороны треугольника можно выразить как $5x$, $7x$ и $11x$.

Из условия известно, что сумма наименьшей ($5x$) и наибольшей ($11x$) сторон равна 80 см. Составим и решим уравнение:
$5x + 11x = 80$
$16x = 80$
$x = \frac{80}{16}$
$x = 5$

Теперь, зная коэффициент пропорциональности, найдем длины каждой стороны треугольника:
Наименьшая сторона: $5x = 5 \cdot 5 = 25$ см
Средняя сторона: $7x = 7 \cdot 5 = 35$ см
Наибольшая сторона: $11x = 11 \cdot 5 = 55$ см

Периметр треугольника ($P$) равен сумме длин всех его сторон:
$P = 25 + 35 + 55 = 115$ см.

Ответ: 115 см.

808. Начертите развёрнутый угол ABC и проведите луч BD так, чтобы градусные меры углов ABD и CBD относились как 5 : 13.

Развёрнутый угол $ABC$ имеет градусную меру $180^{\circ}$. Луч $BD$, проведённый из вершины этого угла, делит его на два смежных угла: $\angle ABD$ и $\angle CBD$. Сумма смежных углов равна $180^{\circ}$, следовательно, $\angle ABD + \angle CBD = 180^{\circ}$.

По условию задачи градусные меры углов $\angle ABD$ и $\angle CBD$ относятся как $5:13$. Это означает, что мы можем представить величины этих углов как $5x$ и $13x$, где $x$ — некоторая общая мера (коэффициент пропорциональности).

Составим уравнение, используя свойство смежных углов:

$5x + 13x = 180$

Решим это уравнение:

$18x = 180$

$x = \frac{180}{18}$

$x = 10$

Теперь, зная значение $x$, мы можем найти градусные меры каждого из углов:

Градусная мера угла $\angle ABD = 5x = 5 \cdot 10^{\circ} = 50^{\circ}$.

Градусная мера угла $\angle CBD = 13x = 13 \cdot 10^{\circ} = 130^{\circ}$.

Для построения необходимо начертить прямую, отметить на ней точку $B$. По разные стороны от точки $B$ отметить точки $A$ и $C$, чтобы получился развёрнутый угол $ABC$. Затем с помощью транспортира отложить от луча $BA$ угол $50^{\circ}$ и провести луч $BD$.

Ответ: $\angle ABD = 50^{\circ}$, $\angle CBD = 130^{\circ}$.

809. Начертите угол $\angle MKE$, градусная мера которого равна $130^\circ$. Между сторонами этого угла проведите луч $KO$ так, чтобы градусные меры углов $\angle MKO$ и $\angle EKO$ относились как $19 : 7$.

По условию задачи, дан угол $\angle MKE$, градусная мера которого равна $130°$. Между его сторонами $KM$ и $KE$ проходит луч $KO$, который делит угол $\angle MKE$ на два угла: $\angle MKO$ и $\angle EKO$.

Свойство измерения углов гласит, что если луч делит угол на два угла, то градусная мера всего угла равна сумме градусных мер этих углов. Таким образом, мы можем записать:

$\angle MKO + \angle EKO = \angle MKE = 130°$

Известно, что градусные меры углов $\angle MKO$ и $\angle EKO$ относятся как $19:7$. Пусть $x$ — коэффициент пропорциональности, тогда градусная мера одной части угла равна $x$. В таком случае:

$\angle MKO = 19x$

$\angle EKO = 7x$

Подставим эти выражения в наше уравнение:

$19x + 7x = 130$

Сложим коэффициенты при $x$:

$26x = 130$

Теперь найдем $x$, разделив обе части уравнения на 26:

$x = \frac{130}{26} = 5$

Мы нашли, что одна часть составляет $5°$. Теперь можем вычислить градусные меры каждого из углов:

$\angle MKO = 19 \cdot 5 = 95°$

$\angle EKO = 7 \cdot 5 = 35°$

Проверим полученный результат:

Сумма углов: $95° + 35° = 130°$, что соответствует градусной мере угла $\angle MKE$.

Отношение углов: $\frac{95}{35} = \frac{19 \cdot 5}{7 \cdot 5} = \frac{19}{7}$, что соответствует заданному условию.

Для построения чертежа необходимо с помощью транспортира начертить угол $\angle MKE = 130°$. Затем от луча $KM$ отложить угол $\angle MKO = 95°$ и провести луч $KO$.

Ответ: луч $KO$ делит угол $MKE$ на два угла: $\angle MKO = 95°$ и $\angle EKO = 35°$.

810. Площадь земель фермерского хозяйства распределена между зерновыми и овощными культурами в отношении $17 : 8$. Сколько процентов площади земель хозяйства составляет площадь земель, отведённых под овощные культуры?

Пусть вся площадь земель фермерского хозяйства представляет собой целое, разделенное на части. Согласно условию, отношение площадей под зерновыми и овощными культурами составляет $17:8$.

Это означает, что на каждые 17 частей земли, занятых зерновыми культурами, приходится 8 частей земли, занятых овощными культурами.

1. Найдем общее количество частей, на которые разделена вся площадь земель хозяйства. Для этого сложим части, приходящиеся на зерновые и овощные культуры:

$17 + 8 = 25$ (частей)

Таким образом, вся площадь фермерского хозяйства состоит из 25 равных частей.

2. Определим, какую долю от всей площади составляют земли, отведенные под овощные культуры. На овощные культуры приходится 8 частей из 25. Запишем это в виде дроби:

$\frac{8}{25}$

3. Чтобы выразить эту долю в процентах, необходимо умножить полученную дробь на 100%. Вся площадь хозяйства составляет 100%.

$\frac{8}{25} \times 100\% = \frac{8 \times 100}{25}\% = 8 \times 4\% = 32\%$

Следовательно, 32% площади земель хозяйства отведено под овощные культуры.

Ответ: 32%.

811. В парке отдыха для продажи заготовили некоторое количество воздушных шариков трёх цветов – белого, синего и красного, количества которых относятся как $9 : 5 : 6$ соответственно. Сколько процентов от количества всех шариков составляют красные?

Для решения этой задачи необходимо определить, какую долю от общего числа шариков составляют красные, и затем выразить эту долю в процентах.

В условии дано соотношение количеств белых, синих и красных шариков: $9 : 5 : 6$. Это означает, что если разделить все шарики на равные части, то 9 частей будут белыми, 5 частей — синими, а 6 частей — красными.

Сначала найдем общее количество частей, на которые можно разделить все шарики. для этого сложим все части отношения:

$9 + 5 + 6 = 20$ (частей)

Таким образом, общее количество шариков составляет 20 частей.

Из них на красные шарики приходится 6 частей. Чтобы найти, какой процент от общего количества составляют красные шарики, нужно найти их долю и умножить на 100%.

Доля красных шариков составляет $\frac{6}{20}$.

Теперь переведем эту долю в проценты:

$\frac{6}{20} \times 100\% = 0,3 \times 100\% = 30\%$

Ответ: 30%.

812. Первый оператор набирает на компьютере 12 страниц в час, а второй—15 страниц. Как разделить между ними рукопись в 180 страниц, чтобы они работали одинаковое время?

Для решения этой задачи необходимо, чтобы время, затраченное каждым оператором, было одинаковым. Обозначим это время как $t$ (в часах).

За время $t$ первый оператор наберет объем работы, равный произведению его скорости на время:$S_1 = 12 \times t$ страниц.

За то же самое время $t$ второй оператор наберет:$S_2 = 15 \times t$ страниц.

Сумма страниц, набранных обоими операторами, должна быть равна общему объему рукописи, то есть 180 страниц. Составим уравнение:

$S_1 + S_2 = 180$

Подставим выражения для $S_1$ и $S_2$:

$12t + 15t = 180$

Сложим коэффициенты при $t$:

$27t = 180$

Теперь найдем время $t$:

$t = \frac{180}{27}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 9:

$t = \frac{20}{3}$ часа.

Зная время, мы можем найти, сколько страниц должен набрать каждый оператор.

Количество страниц для первого оператора:

$S_1 = 12 \times \frac{20}{3} = \frac{12 \times 20}{3} = 4 \times 20 = 80$ страниц.

Количество страниц для второго оператора:

$S_2 = 15 \times \frac{20}{3} = \frac{15 \times 20}{3} = 5 \times 20 = 100$ страниц.

Проверим, что общая сумма страниц равна 180: $80 + 100 = 180$.

Ответ: чтобы операторы работали одинаковое время, первому нужно дать 80 страниц рукописи, а второму — 100 страниц.