Страница 153 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

775. Укажите, является ли зависимость между приведёнными величинами прямой пропорциональностью, или обратной пропорциональностью, или не является ни прямой пропорциональностью, ни обратной:

1) длина куска провода и его масса;

2) возраст человека и его рост;

3) количество рабочих, продуктивность труда которых одинакова, и время выполнения работы заданного объёма;

4) количество рабочих, продуктивность труда которых одинакова, и объём работы, выполненной ими за одно и то же время;

5) длина ребра куба и его объём;

6) масса одной конфеты и количество таких конфет, приходящихся на 1 кг;

7) количество проданных кондуктором трамвая билетов и размер сданной им в кассу выручки.

1) длина куска провода и его масса
Если провод однородный, то его масса прямо пропорциональна его длине. Если увеличить длину провода в несколько раз, его масса увеличится во столько же раз. Масса $M$ связана с длиной $L$ через линейную плотность $\rho$ (постоянная величина для данного провода) по формуле $M = \rho \cdot L$. Это зависимость вида $y=kx$, то есть прямая пропорциональность.
Ответ: прямая пропорциональность.

2) возраст человека и его рост
Рост человека увеличивается с возрастом, но не пропорционально. Например, за первый год жизни человек вырастает в среднем на 25 см, а с 10 до 11 лет — всего на 4-6 см. После достижения взрослого возраста рост прекращается, хотя возраст продолжает увеличиваться. Следовательно, эта зависимость не является ни прямой, ни обратной пропорциональностью.
Ответ: не является ни прямой пропорциональностью, ни обратной.

3) количество рабочих, продуктивность труда которых одинакова, и время выполнения работы заданного объёма
Объём работы $A$ равен произведению производительности $P$, количества рабочих $N$ и времени $t$: $A = P \cdot N \cdot t$. Если объём работы $A$ и производительность $P$ постоянны, то $N \cdot t = \frac{A}{P} = \text{const}$. Зависимость, при которой произведение величин постоянно ($xy=k$), является обратной пропорциональностью. Чем больше рабочих, тем меньше времени потребуется для выполнения того же объёма работы.
Ответ: обратная пропорциональность.

4) количество рабочих, продуктивность труда которых одинакова, и объём работы, выполненной ими за одно и то же время
Объём работы $A$ равен $A = P \cdot N \cdot t$. Если производительность $P$ и время $t$ постоянны, то зависимость объёма работы $A$ от количества рабочих $N$ выражается как $A = (P \cdot t) \cdot N$. Так как $P \cdot t$ — постоянная величина, это зависимость вида $y=kx$, то есть прямая пропорциональность. Во сколько раз больше рабочих, во столько же раз больший объём работы они выполнят за то же время.
Ответ: прямая пропорциональность.

5) длина ребра куба и его объём
Объём куба $V$ зависит от длины его ребра $a$ по формуле $V = a^3$. Эта зависимость не является линейной. Например, если увеличить длину ребра в 2 раза, то объём увеличится в $2^3 = 8$ раз, а не в 2 раза. Следовательно, это не прямая и не обратная пропорциональность.
Ответ: не является ни прямой пропорциональностью, ни обратной.

6) масса одной конфеты и количество таких конфет, приходящихся на 1 кг
Пусть $m$ — масса одной конфеты, а $n$ — их количество в 1 кг. Общая масса постоянна и равна 1 кг. Тогда $n \cdot m = 1$ кг. Зависимость, при которой произведение величин постоянно ($xy=k$), является обратной пропорциональностью. Чем больше масса одной конфеты, тем меньшее их количество поместится в 1 кг.
Ответ: обратная пропорциональность.

7) количество проданных кондуктором трамвая билетов и размер сданной им в кассу выручки
Выручка $V$ равна произведению количества проданных билетов $n$ на цену одного билета $c$: $V = n \cdot c$. Цена билета $c$ является постоянной величиной. Таким образом, это зависимость вида $y=kx$, то есть прямая пропорциональность. Во сколько раз больше билетов продано, во столько же раз больше выручка.
Ответ: прямая пропорциональность.

776. Значение одной из двух прямо пропорциональных величин увеличилось в 4 раза. Как изменилось значение второй величины?

Две величины называются прямо пропорциональными, если при увеличении (или уменьшении) одной из них в несколько раз, другая величина увеличивается (или уменьшается) во столько же раз. Математически такая зависимость выражается формулой:

$y = kx$

где $x$ и $y$ — это сами величины, а $k$ — постоянный коэффициент пропорциональности.

Пусть начальные значения величин были $x_1$ и $y_1$. Их взаимосвязь описывается уравнением $y_1 = kx_1$.

По условию задачи, значение одной из величин, например $x$, увеличилось в 4 раза. Новое значение этой величины, $x_2$, будет равно:

$x_2 = 4x_1$

Чтобы найти, как изменилось значение второй величины, $y$, найдем ее новое значение, $y_2$. Поскольку зависимость между величинами прямо пропорциональная, для новых значений также будет выполняться равенство $y_2 = kx_2$.

Подставим в это равенство выражение для $x_2$:

$y_2 = k \cdot (4x_1)$

Используя свойство умножения, перегруппируем множители:

$y_2 = 4 \cdot (kx_1)$

Мы знаем, что $kx_1 = y_1$. Заменим выражение в скобках на $y_1$:

$y_2 = 4y_1$

Полученное равенство показывает, что новое значение второй величины в 4 раза больше ее первоначального значения. Следовательно, вторая величина также увеличилась в 4 раза.

Ответ: значение второй величины также увеличилось в 4 раза.

777. Значение одной из двух прямо пропорциональных величин уменьшилось в 10,273 раза. Как изменилось значение второй величины?

Две величины называются прямо пропорциональными, если их отношение постоянно. Это означает, что если одна величина изменяется в определенное количество раз, то и вторая величина изменяется во столько же раз. Математически это выражается формулой $y = kx$, где $x$ и $y$ — прямо пропорциональные величины, а $k$ — постоянный коэффициент пропорциональности.

Пусть начальные значения двух величин были $x_1$ и $y_1$. Их связь описывается уравнением $y_1 = kx_1$.

Согласно условию задачи, значение одной из величин (пусть это будет $x$) уменьшилось в $10,273$ раза. Новое значение этой величины, $x_2$, равно: $x_2 = \frac{x_1}{10,273}$

Найдем, как изменилось значение второй величины. Новое значение, $y_2$, по-прежнему связано с $x_2$ той же пропорциональной зависимостью: $y_2 = kx_2$

Подставим в это уравнение выражение для $x_2$: $y_2 = k \cdot \left(\frac{x_1}{10,273}\right) = \frac{kx_1}{10,273}$

Так как из начального условия мы знаем, что $y_1 = kx_1$, мы можем заменить выражение $kx_1$ на $y_1$: $y_2 = \frac{y_1}{10,273}$

Это равенство показывает, что новое значение второй величины ($y_2$) равно старому значению ($y_1$), деленному на $10,273$. Следовательно, вторая величина также уменьшилась в $10,273$ раза.

Ответ: значение второй величины уменьшилось в 10,273 раза.

778. За некоторое время поезд прошёл 320 км. Какое расстояние пройдёт поезд за то же время, если его скорость:

1) увеличить в 3 раза;

2) уменьшить в 4 раза?

Для решения этой задачи воспользуемся основной формулой для расчета расстояния: $S = v \cdot t$, где $S$ — это расстояние, $v$ — скорость, а $t$ — время.

В условии задачи сказано, что время $t$ остается неизменным. Это означает, что расстояние $S$ находится в прямой пропорциональной зависимости от скорости $v$. Другими словами, во сколько раз изменится скорость поезда, во столько же раз изменится и расстояние, которое он пройдет за то же самое время.

Изначально поезд прошел расстояние $S_1 = 320$ км.

1) увеличить в 3 раза;
Если скорость поезда увеличить в 3 раза, то и расстояние, пройденное за то же время, также увеличится в 3 раза.
$320 \text{ км} \cdot 3 = 960 \text{ км}$.
Ответ: 960 км.

2) уменьшить в 4 раза?
Если скорость поезда уменьшить в 4 раза, то и расстояние, пройденное за то же время, уменьшится в 4 раза.
$320 \text{ км} : 4 = 80 \text{ км}$.
Ответ: 80 км.

779. Площадь прямоугольника равна 60 $\text{см}^2$. Какой станет его площадь, если ширина останется без изменений, а длину:

1) увеличить в 5 раз;

2) уменьшить в 12 раз?

Площадь прямоугольника вычисляется по формуле $S = a \cdot b$, где $a$ — длина, а $b$ — ширина. Из этой формулы видно, что при постоянной ширине площадь прямо пропорциональна длине. Это означает, что если длину увеличить или уменьшить в несколько раз, площадь изменится во столько же раз.

Изначальная площадь прямоугольника $S_{1} = 60 \text{ см}^2$.

1) увеличить в 5 раз;
Если ширина остается без изменений, а длину увеличить в 5 раз, то и площадь увеличится в 5 раз.
$S_{2} = S_{1} \cdot 5 = 60 \text{ см}^2 \cdot 5 = 300 \text{ см}^2$.
Ответ: 300 см².

2) уменьшить в 12 раз?
Если ширина остается без изменений, а длину уменьшить в 12 раз, то и площадь уменьшится в 12 раз.
$S_{3} = S_{1} / 12 = 60 \text{ см}^2 / 12 = 5 \text{ см}^2$.
Ответ: 5 см².

780. За несколько метров ткани заплатили 540 р. Сколько надо было бы за- платить за такую ткань, если бы её купили:

1) в 6 раз меньше;

2) в 2 раза больше?

1) в 6 раз меньше;

Стоимость покупки прямо пропорциональна количеству купленной ткани. Если количество ткани уменьшилось в 6 раз, то и заплатить за нее нужно в 6 раз меньше.
Найдем новую стоимость, разделив первоначальную сумму на 6:
$540 \div 6 = 90$ р.
Ответ: 90 р.

2) в 2 раза больше?

Если количество ткани увеличилось в 2 раза, то и ее стоимость также увеличится в 2 раза.
Найдем новую стоимость, умножив первоначальную сумму на 2:
$540 \times 2 = 1080$ р.
Ответ: 1080 р.

781. Двое токарей изготовили за некоторое время 24 детали.

1) Скольким токарям необходимо работать, чтобы за то же время изготовить 48 деталей? 120 деталей?

2) Сколько деталей изготовят эти два токаря за время в 3 раза большее? В 4 раза меньшее?

Дайте ответы на поставленные вопросы, считая, что производительность труда всех токарей одинакова.

1) Скольким токарям необходимо работать, чтобы за то же время изготовить 48 деталей? 120 деталей?

По условию, двое токарей изготавливают 24 детали за некоторое время. Так как производительность всех токарей одинакова, то один токарь за это же время изготовит в два раза меньше деталей:
$24 \div 2 = 12$ деталей.

Теперь можно определить, сколько токарей потребуется для изготовления 48 деталей за то же самое время. Для этого разделим общее количество деталей на производительность одного токаря:
$48 \div 12 = 4$ токаря.

Аналогично рассчитаем количество токарей для изготовления 120 деталей:
$120 \div 12 = 10$ токарей.

Ответ: для изготовления 48 деталей потребуется 4 токаря, а для 120 деталей — 10 токарей.

2) Сколько деталей изготовят эти двое токарей за время в 3 раза большее? В 4 раза меньшее?

Количество изготовленных деталей прямо пропорционально времени работы при неизменном количестве работников.

Если время работы увеличить в 3 раза, то и количество изготовленных деталей увеличится в 3 раза:
$24 \times 3 = 72$ детали.

Если время работы уменьшить в 4 раза, то и количество изготовленных деталей уменьшится в 4 раза:
$24 \div 4 = 6$ деталей.

Ответ: за время в 3 раза большее двое токарей изготовят 72 детали, а за время в 4 раза меньшее — 6 деталей.