Номер 775, страница 153 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 19. Прямая и обратная пропорциональные зависимости. Глава 3. Дроби - номер 775, страница 153.

Условие.

775. Укажите, является ли зависимость между приведёнными величинами прямой пропорциональностью, или обратной пропорциональностью, или не является ни прямой пропорциональностью, ни обратной:

1) длина куска провода и его масса;

2) возраст человека и его рост;

3) количество рабочих, продуктивность труда которых одинакова, и время выполнения работы заданного объёма;

4) количество рабочих, продуктивность труда которых одинакова, и объём работы, выполненной ими за одно и то же время;

5) длина ребра куба и его объём;

6) масса одной конфеты и количество таких конфет, приходящихся на 1 кг;

7) количество проданных кондуктором трамвая билетов и размер сданной им в кассу выручки.

Решение.

Решение 2.

1) длина куска провода и его масса
Если провод однородный, то его масса прямо пропорциональна его длине. Если увеличить длину провода в несколько раз, его масса увеличится во столько же раз. Масса $M$ связана с длиной $L$ через линейную плотность $\rho$ (постоянная величина для данного провода) по формуле $M = \rho \cdot L$. Это зависимость вида $y=kx$, то есть прямая пропорциональность.
Ответ: прямая пропорциональность.

2) возраст человека и его рост
Рост человека увеличивается с возрастом, но не пропорционально. Например, за первый год жизни человек вырастает в среднем на 25 см, а с 10 до 11 лет — всего на 4-6 см. После достижения взрослого возраста рост прекращается, хотя возраст продолжает увеличиваться. Следовательно, эта зависимость не является ни прямой, ни обратной пропорциональностью.
Ответ: не является ни прямой пропорциональностью, ни обратной.

3) количество рабочих, продуктивность труда которых одинакова, и время выполнения работы заданного объёма
Объём работы $A$ равен произведению производительности $P$, количества рабочих $N$ и времени $t$: $A = P \cdot N \cdot t$. Если объём работы $A$ и производительность $P$ постоянны, то $N \cdot t = \frac{A}{P} = \text{const}$. Зависимость, при которой произведение величин постоянно ($xy=k$), является обратной пропорциональностью. Чем больше рабочих, тем меньше времени потребуется для выполнения того же объёма работы.
Ответ: обратная пропорциональность.

4) количество рабочих, продуктивность труда которых одинакова, и объём работы, выполненной ими за одно и то же время
Объём работы $A$ равен $A = P \cdot N \cdot t$. Если производительность $P$ и время $t$ постоянны, то зависимость объёма работы $A$ от количества рабочих $N$ выражается как $A = (P \cdot t) \cdot N$. Так как $P \cdot t$ — постоянная величина, это зависимость вида $y=kx$, то есть прямая пропорциональность. Во сколько раз больше рабочих, во столько же раз больший объём работы они выполнят за то же время.
Ответ: прямая пропорциональность.

5) длина ребра куба и его объём
Объём куба $V$ зависит от длины его ребра $a$ по формуле $V = a^3$. Эта зависимость не является линейной. Например, если увеличить длину ребра в 2 раза, то объём увеличится в $2^3 = 8$ раз, а не в 2 раза. Следовательно, это не прямая и не обратная пропорциональность.
Ответ: не является ни прямой пропорциональностью, ни обратной.

6) масса одной конфеты и количество таких конфет, приходящихся на 1 кг
Пусть $m$ — масса одной конфеты, а $n$ — их количество в 1 кг. Общая масса постоянна и равна 1 кг. Тогда $n \cdot m = 1$ кг. Зависимость, при которой произведение величин постоянно ($xy=k$), является обратной пропорциональностью. Чем больше масса одной конфеты, тем меньшее их количество поместится в 1 кг.
Ответ: обратная пропорциональность.

7) количество проданных кондуктором трамвая билетов и размер сданной им в кассу выручки
Выручка $V$ равна произведению количества проданных билетов $n$ на цену одного билета $c$: $V = n \cdot c$. Цена билета $c$ является постоянной величиной. Таким образом, это зависимость вида $y=kx$, то есть прямая пропорциональность. Во сколько раз больше билетов продано, во столько же раз больше выручка.
Ответ: прямая пропорциональность.