Страница 154 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

782. В таблице приведены соответственные значения величин $x$ и $y$. Установите, являются ли эти величины прямо пропорциональными.

1) $x$: 2, 6, 7, 9
$y$: 6, 18, 21, 27

2) $x$: 1,2, 2,4, 6, 9
$y$: 1, 2, 5, 6

3) $x$: 0,4, 1,6, 2,3, 3,1
$y$: 0,8, 3,6, 4,6, 6,2

4) $x$: 1, $\frac{3}{4}$, $\frac{5}{8}$, $\frac{9}{16}$
$y$: $\frac{2}{3}$, $\frac{1}{2}$, $\frac{5}{12}$, $\frac{3}{8}$

Две величины $x$ и $y$ являются прямо пропорциональными, если их отношение $k = y/x$ постоянно для всех пар соответствующих значений (коэффициент пропорциональности $k$ должен быть одинаковым). Проверим это условие для каждой таблицы.

1)

Найдем отношение $y/x$ для каждой пары значений из таблицы:
$y/x = 6/2 = 3$
$y/x = 18/6 = 3$
$y/x = 21/7 = 3$
$y/x = 27/9 = 3$
Так как отношение для всех пар значений постоянно и равно 3, то величины являются прямо пропорциональными.
Ответ: Да, величины являются прямо пропорциональными.

2)

Найдем отношение $y/x$ для каждой пары значений из таблицы:
$y/x = 1 / 1,2 = 10 / 12 = 5/6$
$y/x = 2 / 2,4 = 20 / 24 = 5/6$
$y/x = 5/6$
$y/x = 6/9 = 2/3$
Так как $5/6 \neq 2/3$, отношение не является постоянным для всех пар. Следовательно, величины не являются прямо пропорциональными.
Ответ: Нет, величины не являются прямо пропорциональными.

3)

Найдем отношение $y/x$ для каждой пары значений из таблицы:
$y/x = 0,8 / 0,4 = 2$
$y/x = 3,6 / 1,6 = 36 / 16 = 9/4 = 2,25$
Так как уже для первых двух пар отношение $y/x$ различно ($2 \neq 2,25$), можно сделать вывод, что величины не являются прямо пропорциональными.
Ответ: Нет, величины не являются прямо пропорциональными.

4)

Найдем отношение $y/x$ для каждой пары значений из таблицы:
$y/x = \frac{2}{3} : 1 = \frac{2}{3}$
$y/x = \frac{1}{2} : \frac{3}{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$
$y/x = \frac{5}{12} : \frac{5}{8} = \frac{5}{12} \cdot \frac{8}{5} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$
$y/x = \frac{3}{8} : \frac{9}{16} = \frac{3}{8} \cdot \frac{16}{9} = \frac{3 \cdot 16}{8 \cdot 9} = \frac{48}{72} = \frac{2}{3}$
Так как отношение для всех пар значений постоянно и равно $2/3$, то величины являются прямо пропорциональными.
Ответ: Да, величины являются прямо пропорциональными.

783. Значение одной из двух обратно пропорциональных величин увеличилось в 5 раз. Как изменилось значение второй величины?

Две величины называются обратно пропорциональными, если их произведение является постоянной величиной (константой). Обозначим эти величины как $x$ и $y$, а константу как $k$. Тогда их зависимость можно выразить формулой:
$x \cdot y = k$

Пусть начальные значения величин были $x_1$ и $y_1$. Тогда справедливо равенство:
$x_1 \cdot y_1 = k$

Согласно условию, значение одной из величин, например $x$, увеличилось в 5 раз. Новое значение этой величины, $x_2$, станет:
$x_2 = 5 \cdot x_1$

Пусть новое значение второй величины будет $y_2$. Так как величины обратно пропорциональны, их произведение должно остаться равным той же константе $k$:
$x_2 \cdot y_2 = k$

Поскольку оба произведения $x_1 \cdot y_1$ и $x_2 \cdot y_2$ равны $k$, мы можем их приравнять:
$x_1 \cdot y_1 = x_2 \cdot y_2$

Подставим в это равенство выражение для $x_2$:
$x_1 \cdot y_1 = (5 \cdot x_1) \cdot y_2$

Чтобы определить, как изменилось значение второй величины, выразим $y_2$ из этого уравнения, разделив обе части на $5 \cdot x_1$ (предполагая, что $x_1 \neq 0$):
$y_2 = \frac{x_1 \cdot y_1}{5 \cdot x_1}$

Сократив $x_1$, получим:
$y_2 = \frac{y_1}{5}$

Таким образом, новое значение второй величины ($y_2$) стало в 5 раз меньше ее первоначального значения ($y_1$).

Ответ: значение второй величины уменьшилось в 5 раз.

784. Значение одной из двух обратно пропорциональных величин уменьшилось в 4 раза. Как изменилось значение другой величины?

Две величины называются обратно пропорциональными, если их произведение является постоянной величиной (константой). Это можно записать в виде формулы:

$x \cdot y = k$

где $x$ и $y$ — это значения величин, а $k$ — постоянный коэффициент пропорциональности.

Пусть начальные значения наших величин были $x_1$ и $y_1$. Тогда для них справедливо равенство:

$x_1 \cdot y_1 = k$

Согласно условию, значение одной из величин (например, $x$) уменьшилось в 4 раза. Обозначим новое значение этой величины как $x_2$:

$x_2 = \frac{x_1}{4}$

Новое значение второй величины обозначим как $y_2$. Поскольку зависимость между величинами обратно пропорциональная, их произведение должно остаться прежним, то есть равным $k$:

$x_2 \cdot y_2 = k$

Так как левые части обоих произведений равны одному и тому же числу $k$, мы можем их приравнять:

$x_1 \cdot y_1 = x_2 \cdot y_2$

Теперь подставим в это равенство выражение для $x_2$:

$x_1 \cdot y_1 = \left(\frac{x_1}{4}\right) \cdot y_2$

Чтобы найти, как изменилось значение $y$, выразим $y_2$ через $y_1$. Для этого сначала разделим обе части уравнения на $x_1$ (так как $x_1$ не равно нулю):

$y_1 = \frac{1}{4} \cdot y_2$

Теперь, чтобы найти $y_2$, умножим обе части уравнения на 4:

$4 \cdot y_1 = y_2$

Из полученного равенства $y_2 = 4 \cdot y_1$ видно, что новое значение второй величины в 4 раза больше её первоначального значения.

Таким образом, при уменьшении одной из обратно пропорциональных величин в 4 раза, другая величина увеличивается в 4 раза.

Ответ: Значение другой величины увеличилось в 4 раза.

785. Автомобиль проезжает некоторое расстояние за 10 ч. За какое время он проедет это же расстояние, если его скорость:

1) увеличится в 2 раза;

2) уменьшится в 1,2 раза?

Для решения этой задачи используем основную формулу движения: $S = v \cdot t$, где $S$ — расстояние, $v$ — скорость, а $t$ — время.

По условию, автомобиль проезжает некоторое расстояние $S$ за $t_1 = 10$ часов с начальной скоростью $v_1$. Таким образом, $S = v_1 \cdot 10$.

Поскольку расстояние $S$ в обоих случаях остается тем же, скорость и время находятся в обратно пропорциональной зависимости. Это означает, что если скорость увеличивается в $k$ раз, то время, необходимое для преодоления того же расстояния, уменьшается в $k$ раз. И наоборот, если скорость уменьшается в $k$ раз, то время увеличивается в $k$ раз.

1) увеличится в 2 раза
Если скорость автомобиля увеличится в 2 раза, то время в пути уменьшится в 2 раза. Найдем новое время $t_2$:
$t_2 = t_1 / 2 = 10 \text{ часов} / 2 = 5 \text{ часов}$.
Ответ: 5 часов.

2) уменьшится в 1,2 раза
Если скорость автомобиля уменьшится в 1,2 раза, то время в пути увеличится в 1,2 раза. Найдем новое время $t_3$:
$t_3 = t_1 \cdot 1,2 = 10 \text{ часов} \cdot 1,2 = 12 \text{ часов}$.
Ответ: 12 часов.

786. Длина прямоугольника равна 30 см. Какой станет длина, если при неизменной площади ширину прямоугольника:

1) увеличить в 1,5 раза;

2) уменьшить в 3,2 раза?

Площадь прямоугольника $S$ вычисляется по формуле $S = a \cdot b$, где $a$ – длина, а $b$ – ширина.

По условию задачи, площадь прямоугольника $S$ остается неизменной. Это означает, что длина и ширина являются обратно пропорциональными величинами. Если одна из сторон (например, ширина) изменяется в $k$ раз, то другая сторона (длина) должна измениться в $1/k$ раз, чтобы их произведение осталось постоянным.

Исходная длина прямоугольника $a_1 = 30$ см.

1) увеличить в 1,5 раза

Если ширину увеличить в 1,5 раза, то для сохранения неизменной площади длину необходимо уменьшить в 1,5 раза.

Найдем новую длину $a_2$:
$a_2 = 30 / 1,5 = 20$ см.

Ответ: 20 см.

2) уменьшить в 3,2 раза

Если ширину уменьшить в 3,2 раза, то для сохранения неизменной площади длину необходимо увеличить в 3,2 раза.

Найдем новую длину $a_2$:
$a_2 = 30 \cdot 3,2 = 96$ см.

Ответ: 96 см.

787. В таблице приведены соответственные значения величин $x$ и $y$. Установите, являются ли эти величины обратно пропорциональными.

1) $x$: 2, 3, 4, 6

$y$: 6, 4, 3, 2

2) $x$: $\frac{1}{3}$, 2, 0,25, $\frac{4}{9}$

$y$: 3, 0,5, 4, $2\frac{3}{4}$

1)

Две величины называются обратно пропорциональными, если их произведение является постоянным числом (константой). Чтобы определить, являются ли величины $x$ и $y$ в данной таблице обратно пропорциональными, необходимо вычислить их произведение для каждой пары значений и проверить, будет ли оно одинаковым.

Вычислим произведение $x \cdot y$ для каждой пары значений из таблицы:

• При $x = 2$ и $y = 6$: $2 \cdot 6 = 12$
• При $x = 3$ и $y = 4$: $3 \cdot 4 = 12$
• При $x = 4$ и $y = 3$: $4 \cdot 3 = 12$
• При $x = 6$ и $y = 2$: $6 \cdot 2 = 12$

Поскольку произведение $x \cdot y$ для всех пар значений постоянно и равно 12, можно сделать вывод, что данные величины являются обратно пропорциональными. Коэффициент обратной пропорциональности $k = 12$.

Ответ: да, величины являются обратно пропорциональными.

2)

Аналогично проверим вторую таблицу. Вычислим произведение $x \cdot y$ для каждой пары значений. Для удобства вычислений представим десятичные дроби и смешанное число в виде обыкновенных дробей.

$0,5 = \frac{1}{2}$

$0,25 = \frac{1}{4}$

$2\frac{3}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{11}{4}$

Теперь вычислим произведения:

• При $x = \frac{1}{3}$ и $y = 3$: $\frac{1}{3} \cdot 3 = 1$
• При $x = 2$ и $y = 0,5$: $2 \cdot 0,5 = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$
• При $x = 0,25$ и $y = 4$: $0,25 \cdot 4 = \frac{1}{4} \cdot 4 = 1$
• При $x = \frac{4}{9}$ и $y = 2\frac{3}{4}$: $\frac{4}{9} \cdot 2\frac{3}{4} = \frac{4}{9} \cdot \frac{11}{4} = \frac{11}{9} = 1\frac{2}{9}$

Как видно из расчетов, произведение $x \cdot y$ не является постоянной величиной для всех пар. Для первых трех пар оно равно 1, а для четвертой пары оно равно $1\frac{2}{9}$. Так как $1 \neq 1\frac{2}{9}$, то величины $x$ и $y$ не являются обратно пропорциональными.

Ответ: нет, величины не являются обратно пропорциональными.

788. Заполните таблицу, если величина $y$ прямо пропорциональна величине $x$.

Поскольку величина y прямо пропорциональна величине x, их зависимость можно выразить формулой $y = kx$, где $k$ — коэффициент пропорциональности. Для нахождения этого коэффициента воспользуемся известной парой значений из таблицы: $x = 3,2$ и $y = 9,6$.

Найдем коэффициент $k$:

$k = \frac{y}{x} = \frac{9,6}{3,2} = 3$

Таким образом, формула прямой пропорциональности для данной задачи: $y = 3x$. Теперь мы можем найти все неизвестные значения в таблице.

1. Найдем y, если x = 0,3

Подставим значение $x$ в формулу $y = 3x$:

$y = 3 \cdot 0,3 = 0,9$

Ответ: 0,9

2. Найдем y, если x = 8

Подставим значение $x$ в формулу $y = 3x$:

$y = 3 \cdot 8 = 24$

Ответ: 24

3. Найдем x, если y = 2,7

Выразим $x$ из формулы: $x = \frac{y}{k}$ или $x = \frac{y}{3}$.

Подставим значение $y$:

$x = \frac{2,7}{3} = 0,9$

Ответ: 0,9

4. Найдем x, если y = 42

Используем ту же формулу $x = \frac{y}{3}$:

$x = \frac{42}{3} = 14$

Ответ: 14

Заполненная таблица выглядит следующим образом: