Страница 162 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Какое число обозначают буквой $\pi$?

1. Буквой $ \pi $ (пи) обозначают одну из самых известных математических констант. Это иррациональное число, которое играет фундаментальную роль в геометрии, математическом анализе, теории чисел, физике и многих других областях науки.

Определение числа $ \pi $ связано с окружностью. Оно выражает постоянное отношение длины любой окружности ($ C $) к её диаметру ($ d $). Независимо от размера окружности, это соотношение всегда будет одним и тем же числом.

Математически это определение записывается формулой:

$ \pi = \frac{C}{d} $

Число $ \pi $ является иррациональным, что означает, что его нельзя представить в виде обыкновенной дроби $ \frac{m}{n} $, где $ m $ и $ n $ — целые числа. Его десятичное представление бесконечно и непериодично.

Первые знаки числа $ \pi $:

$ \pi \approx 3,1415926535... $

В практических расчетах, особенно в школе, часто используют его приближенные значения:

• $ \pi \approx 3,14 $
• $ \pi \approx \frac{22}{7} $ (приближение Архимеда)

Ответ: Буквой $ \pi $ обозначают иррациональное число, являющееся математической константой, которая равна отношению длины окружности к её диаметру. Его приблизительное значение составляет 3,14.

2. По каким формулам вычисляют длину окружности?

Длину окружности вычисляют по двум основным формулам, в зависимости от того, какая величина известна — радиус или диаметр.

Формула через радиус

Длина окружности ($C$) равна удвоенному произведению числа $\pi$ (пи) на её радиус ($r$).

$C = 2 \pi r$

Где:
$C$ — длина окружности;
$r$ — радиус окружности;
$\pi$ — математическая константа, приблизительно равная 3,14159.

Ответ: $C = 2 \pi r$

Формула через диаметр

Поскольку диаметр окружности ($d$) равен двум её радиусам ($d = 2r$), длину окружности ($C$) можно также вычислить как произведение числа $\pi$ на её диаметр ($d$).

$C = \pi d$

Где:
$C$ — длина окружности;
$d$ — диаметр окружности;
$\pi$ — та же константа пи.

Ответ: $C = \pi d$

3. По какой формуле вычисляют площадь круга?

Площадь круга — это величина, показывающая размер части плоскости, ограниченной окружностью. Для её вычисления существуют стандартные формулы, использующие радиус или диаметр круга.

Формула через радиус
Самая распространенная формула для нахождения площади круга ($S$) использует его радиус ($r$). Радиус — это расстояние от центра круга до любой точки на его окружности.
Формула выглядит следующим образом:
$S = \pi r^2$
В этой формуле:
- $S$ – искомая площадь круга.
- $r$ – радиус круга.
- $\pi$ (пи) – математическая константа, представляющая собой отношение длины окружности к её диаметру. Её приближенное значение равно 3,14159.

Формула через диаметр
Площадь круга также можно вычислить, если известен его диаметр ($d$). Диаметр — это отрезок, соединяющий две точки на окружности и проходящий через её центр. Он равен двум радиусам ($d = 2r$, откуда $r = \frac{d}{2}$).
Если подставить выражение для радиуса в основную формулу, получим:
$S = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$
Эта формула удобна, когда в условии задачи дан диаметр круга.

Ответ: Площадь круга вычисляют по формуле $S = \pi r^2$, где $S$ — площадь, а $r$ — радиус круга.

4. Назовите десятичное приближение числа $\pi$ до сотых.

Чтобы найти десятичное приближение числа $π$ до сотых, необходимо рассмотреть его значение с точностью до тысячных и выполнить округление.

Значение числа $π$ с несколькими знаками после запятой:

$π ≈ 3.14159...$

Округление до сотых означает, что мы должны оставить два знака после запятой. Для этого нужно посмотреть на третий знак после запятой (разряд тысячных).

• Первые два знака после запятой: 14.
• Третий знак после запятой: 1.

Согласно правилу округления, если цифра, следующая за округляемым разрядом, меньше 5 (0, 1, 2, 3, 4), то последняя оставляемая цифра не изменяется. В нашем случае, цифра в разряде тысячных — это 1, что меньше 5. Поэтому цифру в разряде сотых (4) мы оставляем без изменений, а все последующие цифры отбрасываем.

$3.141... ≈ 3.14$

Ответ: 3,14

1. Чему равен диаметр окружности, если он на 5,2 см больше радиуса окружности?

Обозначим радиус окружности как $r$, а её диаметр — как $d$.

Из определения диаметра окружности известно, что он в два раза больше радиуса. Это соотношение выражается формулой:
$d = 2r$

В условии задачи сказано, что диаметр на 5,2 см больше радиуса. Запишем это в виде математического уравнения:
$d = r + 5,2$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя переменными. Поскольку левые части обоих уравнений равны ($d$), мы можем приравнять их правые части:
$2r = r + 5,2$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти значение радиуса $r$. Для этого вычтем $r$ из обеих частей уравнения:
$2r - r = 5,2$
$r = 5,2$ см.

Мы нашли, что радиус окружности равен 5,2 см. Чтобы найти диаметр, подставим это значение в первую формулу $d = 2r$:
$d = 2 \times 5,2 = 10,4$ см.

Таким образом, диаметр окружности равен 10,4 см.

Ответ: 10,4 см.

2. Периметр квадрата равен 15 см. Чему будет равен периметр квадрата, если каждую из его сторон:

1) увеличить в 4 раза;

2) уменьшить в 3 раза?

Периметр квадрата ($P$) вычисляется по формуле $P = 4a$, где $a$ — длина его стороны. По условию, исходный периметр равен 15 см.

Из формулы следует, что периметр прямо пропорционален длине стороны. Это значит, что если изменить длину стороны в несколько раз, периметр изменится во столько же раз.

1) увеличить в 4 раза;

Если каждую сторону квадрата увеличить в 4 раза, то и новый периметр будет в 4 раза больше исходного.

$15 \text{ см} \times 4 = 60 \text{ см}$

Ответ: 60 см.

2) уменьшить в 3 раза?

Если каждую сторону квадрата уменьшить в 3 раза, то и новый периметр будет в 3 раза меньше исходного.

$15 \text{ см} \div 3 = 5 \text{ см}$

Ответ: 5 см.

3. Площадь квадрата равна $36 \text{ см}^2$. Какой станет площадь квадрата, если каждую из его сторон:

1) увеличить в 10 раз;

2) уменьшить в 2 раза?

Площадь квадрата ($S$) вычисляется по формуле $S = a^2$, где $a$ – длина его стороны.
По условию, исходная площадь квадрата равна $S_{исх} = 36 \text{ см}^2$.
Найдем длину стороны исходного квадрата:
$a_{исх} = \sqrt{S_{исх}} = \sqrt{36 \text{ см}^2} = 6 \text{ см}$.

1) увеличить в 10 раз
Если каждую сторону квадрата увеличить в 10 раз, то новая длина стороны ($a_1$) станет:
$a_1 = a_{исх} \times 10 = 6 \text{ см} \times 10 = 60 \text{ см}$.
Новая площадь квадрата ($S_1$) будет равна:
$S_1 = a_1^2 = (60 \text{ см})^2 = 3600 \text{ см}^2$.
Также можно заметить, что если сторона увеличивается в $k$ раз, то площадь увеличивается в $k^2$ раз. В данном случае $k=10$, значит площадь увеличится в $10^2 = 100$ раз.
$S_1 = S_{исх} \times 100 = 36 \text{ см}^2 \times 100 = 3600 \text{ см}^2$.
Ответ: $3600 \text{ см}^2$.

2) уменьшить в 2 раза
Если каждую сторону квадрата уменьшить в 2 раза, то новая длина стороны ($a_2$) станет:
$a_2 = a_{исх} \div 2 = 6 \text{ см} \div 2 = 3 \text{ см}$.
Новая площадь квадрата ($S_2$) будет равна:
$S_2 = a_2^2 = (3 \text{ см})^2 = 9 \text{ см}^2$.
Аналогично первому пункту, если сторона уменьшается в $k$ раз, то площадь уменьшается в $k^2$ раз. В данном случае $k=2$, значит площадь уменьшится в $2^2 = 4$ раза.
$S_2 = S_{исх} \div 4 = 36 \text{ см}^2 \div 4 = 9 \text{ см}^2$.
Ответ: $9 \text{ см}^2$.

4. Вычислите значение выражения $0.5a^2$, если $a=2$; $10$; $\frac{1}{2}$.

Если a = 2
Чтобы найти значение выражения, подставим $a=2$ в формулу $0,5a^2$:
$0,5 \cdot a^2 = 0,5 \cdot 2^2 = 0,5 \cdot 4 = 2$
Ответ: 2

Если a = 10
Подставим значение $a=10$ в выражение $0,5a^2$:
$0,5 \cdot a^2 = 0,5 \cdot 10^2 = 0,5 \cdot 100 = 50$
Ответ: 50

Если a = 1/2
Подставим значение $a=\frac{1}{2}$ в выражение $0,5a^2$. Для удобства вычислений представим десятичную дробь $0,5$ в виде обыкновенной дроби $\frac{1}{2}$.
$0,5 \cdot a^2 = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1^2}{2^2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{8}$
Также можно выполнить вычисления в десятичных дробях, зная, что $\frac{1}{2}=0,5$:
$0,5 \cdot a^2 = 0,5 \cdot (0,5)^2 = 0,5 \cdot 0,25 = 0,125$
Ответ: $\frac{1}{8}$ (или 0,125)

823. Вычислите длину окружности, диаметр которой равен 3,2 см.

Для вычисления длины окружности, зная ее диаметр, используется формула: $C = \pi d$, где $C$ — это длина окружности, $d$ — ее диаметр, а $\pi$ (пи) — это математическая константа. Для расчетов примем значение $\pi \approx 3,14$.

По условию задачи, диаметр окружности равен 3,2 см.

Подставим известные значения в формулу:
$C = \pi \cdot d \approx 3,14 \cdot 3,2$ см

Теперь выполним вычисление:
$3,14 \cdot 3,2 = 10,048$ см

Таким образом, длина окружности составляет приблизительно 10,048 см.

Ответ: 10,048 см.

824. Вычислите длину окружности, радиус которой равен 6 см.

Для вычисления длины окружности используется формула, связывающая длину окружности $C$ с её радиусом $r$:

$C = 2 \pi r$

По условию задачи, радиус окружности равен 6 см:
$r = 6$ см

Подставим значение радиуса в формулу, чтобы найти длину окружности:
$C = 2 \cdot \pi \cdot 6 = 12 \pi$ см

Это точный ответ. Для получения численного значения, используем приближенное значение числа $\pi \approx 3,14$:
$C \approx 12 \cdot 3,14 = 37,68$ см

Ответ: $12 \pi$ см (или приблизительно 37,68 см).

825. Вычислите площадь круга, радиус которого равен 8 см.

Для того чтобы вычислить площадь круга, необходимо воспользоваться формулой площади круга, которая связывает площадь $S$ с радиусом $r$:

$S = \pi r^2$

В данной задаче нам известен радиус круга: $r = 8$ см.

Подставим это значение в формулу:

$S = \pi \cdot (8 \text{ см})^2$

Сначала возведем радиус в квадрат:

$8^2 = 64$

Теперь умножим полученное значение на $\pi$:

$S = 64\pi \text{ см}^2$

Это точный ответ. Если требуется получить приближенное значение, можно использовать $\pi \approx 3,14$:

$S \approx 64 \cdot 3,14 = 200,96 \text{ см}^2$

Ответ: $64\pi \text{ см}^2$.

826. Вычислите площадь круга, диаметр которого равен 18 см.

Для вычисления площади круга используется формула:

$S = \pi r^2$, где $S$ — это площадь, а $r$ — радиус круга.

В условии задачи дан диаметр круга $d = 18$ см. Радиус круга в два раза меньше диаметра. Найдем радиус:

$r = \frac{d}{2} = \frac{18}{2} = 9$ см.

Теперь, когда мы знаем радиус, можем вычислить площадь круга, подставив значение радиуса в формулу:

$S = \pi \cdot (9)^2 = \pi \cdot 81 = 81\pi$ см².

Ответ: $81\pi$ см².