Страница 163 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

827. Вычислите радиус окружности, длина которой равна 18,84 см.

Для нахождения радиуса окружности, зная ее длину, используется формула длины окружности:
$C = 2\pi r$
где $C$ – это длина окружности, $r$ – это ее радиус, а $\pi$ (пи) – это математическая константа, приблизительно равная 3,14.

В условии задачи дано, что длина окружности $C = 18,84$ см.
Чтобы найти радиус $r$, нужно выразить его из формулы:
$r = \frac{C}{2\pi}$

Теперь подставим известные значения в эту формулу и выполним вычисления:
$r = \frac{18,84}{2 \times 3,14}$
$r = \frac{18,84}{6,28}$
$r = 3$
Таким образом, радиус окружности равен 3 см.

Ответ: 3 см.

828. Найдите радиус круга, площадь которого равна $314\text{ см}^2$.

Площадь круга ($S$) вычисляется по формуле:

$S = \pi r^2$

где $r$ — это радиус круга, а $\pi$ — это математическая константа, которую для удобства вычислений в данной задаче примем равной $3,14$.

Из условия нам известно, что площадь круга $S = 314 \, \text{см}^2$.

Чтобы найти радиус, выразим $r^2$ из формулы площади:

$r^2 = \frac{S}{\pi}$

Теперь подставим известные значения в эту формулу:

$r^2 = \frac{314}{3,14}$

$r^2 = 100$

Чтобы найти радиус $r$, нужно извлечь квадратный корень из $100$. Так как радиус является длиной, он может быть только положительным числом.

$r = \sqrt{100}$

$r = 10 \, \text{см}$

Ответ: 10 см.

829. Проехав 400 м, колесо сделало 150 оборотов. Найдите радиус колеса в сантиметрах. Ответ округлите до единиц.

За один полный оборот колесо проходит расстояние, равное длине его окружности. Длина окружности $C$ связана с радиусом $R$ формулой $C = 2\pi R$.

Общее расстояние $S$, пройденное колесом, равно произведению длины окружности $C$ на количество оборотов $N$: $S = N \cdot C$.

По условию задачи, $S = 400$ м, а $N = 150$ оборотов. Нам нужно найти радиус $R$ в сантиметрах, поэтому сначала переведем расстояние в сантиметры:
$S = 400 \text{ м} = 400 \times 100 \text{ см} = 40000 \text{ см}$.

Теперь найдем длину окружности колеса, разделив общее расстояние на количество оборотов:
$C = \frac{S}{N} = \frac{40000 \text{ см}}{150} = \frac{4000}{15} \text{ см} = \frac{800}{3} \text{ см}$.

Зная длину окружности, можем выразить и найти радиус:
$R = \frac{C}{2\pi} = \frac{800/3}{2\pi} = \frac{800}{6\pi} = \frac{400}{3\pi}$.

Для вычисления численного значения используем приближение $\pi \approx 3.14159$:
$R \approx \frac{400}{3 \times 3.14159} \approx \frac{400}{9.42477} \approx 42.441 \text{ см}$.

Округлим полученный результат до единиц (до целого числа):
$42.441 \approx 42$.

Ответ: 42

830. Длина окружности равна 100,48 см. Найдите площадь круга, ограниченного этой окружностью.

Чтобы найти площадь круга, нам сначала нужно определить его радиус, используя известную длину окружности.

1. Нахождение радиуса окружности.

Формула длины окружности $C$ связана с ее радиусом $r$ следующим соотношением:

$C = 2 \pi r$

Из условия задачи нам известно, что $C = 100,48$ см. В качестве значения $\pi$ будем использовать общепринятое приближение $\pi \approx 3,14$.

Выразим радиус $r$ из формулы:

$r = \frac{C}{2 \pi}$

Подставим известные значения и вычислим радиус:

$r = \frac{100,48}{2 \times 3,14} = \frac{100,48}{6,28} = 16$ см.

2. Нахождение площади круга.

Формула для вычисления площади круга $S$ с радиусом $r$:

$S = \pi r^2$

Теперь подставим в эту формулу найденное значение радиуса $r = 16$ см и значение $\pi \approx 3,14$:

$S = 3,14 \times 16^2 = 3,14 \times 256 = 803,84$ см$^2$.

Ответ: 803,84 см$^2$.

831. Выполните необходимые измерения и вычислите площадь закрашенного кольца (рис. 121).

Рис. 121

Площадь закрашенного кольца можно найти как разность площадей большего (внешнего) и меньшего (внутреннего) кругов. Формула для вычисления площади кольца ($S_{к}$):

$S_{к} = S_{Б} - S_{М} = \pi R^2 - \pi r^2 = \pi(R^2 - r^2)$,

где $R$ — радиус внешнего круга, а $r$ — радиус внутреннего круга.

Выполним измерения, используя сетку на рисунке. Примем сторону одной клетки за единицу измерения.

1. Радиус внешнего круга $R$ равен расстоянию от центра до его окружности. По рисунку видно, что это расстояние составляет 2 клетки. Таким образом, $R = 2$ ед.

2. Радиус внутреннего круга $r$ равен расстоянию от центра до его окружности. По рисунку видно, что это расстояние составляет 1 клетку. Таким образом, $r = 1$ ед.

Подставим значения радиусов в формулу площади кольца:

$S_{к} = \pi(2^2 - 1^2) = \pi(4 - 1) = 3\pi$ (кв. ед.)

Если необходимо получить числовое значение, примем $\pi \approx 3,14$:

$S_{к} \approx 3 \cdot 3,14 = 9,42$ (кв. ед.)

Ответ: $3\pi$ кв. ед. (или приблизительно $9,42$ кв. ед.).

832. 1) Радиус первой окружности равен 6 см, а радиус второй – 2 см. Во сколько раз длина первой окружности больше длины второй?

2) Радиус первой окружности в 4 раза больше радиуса второй. Во сколько раз длина первой окружности больше длины второй?

1)

Для нахождения длины окружности используется формула $C = 2\pi R$, где $C$ – это длина окружности, а $R$ – ее радиус.

Дано, что радиус первой окружности $R_1 = 6$ см, а радиус второй окружности $R_2 = 2$ см.

Найдем длину первой окружности:

$C_1 = 2\pi R_1 = 2\pi \cdot 6 = 12\pi$ см.

Найдем длину второй окружности:

$C_2 = 2\pi R_2 = 2\pi \cdot 2 = 4\pi$ см.

Чтобы определить, во сколько раз длина первой окружности больше длины второй, найдем их отношение:

$\frac{C_1}{C_2} = \frac{12\pi}{4\pi} = 3$.

Ответ: в 3 раза.

2)

Пусть $R_1$ и $C_1$ – радиус и длина первой окружности, а $R_2$ и $C_2$ – радиус и длина второй окружности.

По условию, радиус первой окружности в 4 раза больше радиуса второй, что можно записать как $R_1 = 4R_2$.

Отношение длин двух окружностей равно отношению их радиусов:

$\frac{C_1}{C_2} = \frac{2\pi R_1}{2\pi R_2} = \frac{R_1}{R_2}$.

Подставим в это соотношение известное нам условие $R_1 = 4R_2$:

$\frac{C_1}{C_2} = \frac{4R_2}{R_2} = 4$.

Таким образом, если радиус одной окружности в 4 раза больше радиуса другой, то и ее длина будет в 4 раза больше.

Ответ: в 4 раза.

833. Диаметр обода зеркала оптического телескопа (рефлектора), расположенного в Крыму в посёлке городского типа Научный, равен 2,6 м. Диаметр обода зеркала оптического телескопа, находящегося в горах Западного Кавказа в селе Нижний Архыз, равен 6 м. Найдите отношение длин ободов зеркал этих телескопов. Ответ округлите до десятых.

Для решения данной задачи необходимо найти отношение длин ободов зеркал двух оптических телескопов. Обод зеркала имеет форму окружности, а его длина равна длине окружности.

Длина окружности ($C$) вычисляется по формуле $C = \pi d$, где $d$ — диаметр окружности.

Обозначим данные из условия:
Диаметр зеркала телескопа в Крыму: $d_1 = 2,6$ м.
Диаметр зеркала телескопа на Кавказе: $d_2 = 6$ м.

Соответствующие длины ободов равны:
$C_1 = \pi d_1 = 2,6\pi$ м.
$C_2 = \pi d_2 = 6\pi$ м.

Отношение длин ободов будет равно отношению их диаметров. Найдем отношение длины обода большего зеркала (на Кавказе) к длине обода меньшего зеркала (в Крыму):
$\frac{C_2}{C_1} = \frac{\pi d_2}{\pi d_1} = \frac{d_2}{d_1}$

Подставим значения диаметров и произведем расчет:
$\frac{6}{2,6} = \frac{60}{26} = \frac{30}{13} \approx 2,30769...$

Согласно условию, результат необходимо округлить до десятых. Для этого посмотрим на цифру в разряде сотых. В числе $2,30769...$ это цифра 0. Так как $0 < 5$, то цифру в разряде десятых оставляем без изменений.
$2,30769... \approx 2,3$

Ответ: 2,3

834. Радиус окружности увеличили на 1 см. На сколько увеличилась при этом длина окружности?

Для решения этой задачи воспользуемся формулой длины окружности. Длина окружности $C$ вычисляется по формуле: $C = 2 \pi r$, где $r$ – это радиус окружности.

Пусть первоначальный радиус окружности был равен $r_1$. Тогда ее первоначальная длина $C_1$ была равна: $C_1 = 2 \pi r_1$

По условию задачи, радиус увеличили на 1 см. Новый радиус $r_2$ стал равен: $r_2 = r_1 + 1$ см

Длина новой окружности $C_2$ с новым радиусом $r_2$ будет равна: $C_2 = 2 \pi r_2 = 2 \pi (r_1 + 1)$

Чтобы найти, на сколько увеличилась длина окружности, нужно найти разность между новой и первоначальной длинами ($C_2 - C_1$): $C_2 - C_1 = 2 \pi (r_1 + 1) - 2 \pi r_1$

Раскроем скобки: $C_2 - C_1 = 2 \pi r_1 + 2 \pi \cdot 1 - 2 \pi r_1$

Теперь упростим выражение, сократив $2 \pi r_1$ и $-2 \pi r_1$: $C_2 - C_1 = 2 \pi$

Таким образом, увеличение длины окружности не зависит от ее первоначального радиуса и составляет $2 \pi$ см.

Ответ: на $2 \pi$ см.

835. Как изменится радиус окружности, если длину окружности увеличить на 9,42 см?

Для решения этой задачи воспользуемся формулой длины окружности: $C = 2\pi R$, где $C$ — длина окружности, а $R$ — её радиус.

Пусть $C_1$ и $R_1$ — это первоначальные длина и радиус окружности, а $C_2$ и $R_2$ — новые значения после увеличения длины.

Из формулы длины окружности мы можем выразить радиус: $R = \frac{C}{2\pi}$.

Таким образом, у нас есть два соотношения:

• $R_1 = \frac{C_1}{2\pi}$
• $R_2 = \frac{C_2}{2\pi}$

По условию задачи, длина окружности увеличилась на $9,42$ см, то есть $C_2 = C_1 + 9,42$.

Найдем, на сколько изменился радиус. Для этого вычтем из нового радиуса первоначальный:

$\Delta R = R_2 - R_1 = \frac{C_2}{2\pi} - \frac{C_1}{2\pi} = \frac{C_2 - C_1}{2\pi}$

Теперь подставим известное нам изменение длины окружности ($C_2 - C_1 = 9,42$ см) в полученную формулу:

$\Delta R = \frac{9,42}{2\pi}$

Для вычисления используем приближенное значение числа $\pi \approx 3,14$:

$\Delta R = \frac{9,42}{2 \times 3,14} = \frac{9,42}{6,28} = 1,5$ см.

Следовательно, радиус окружности увеличится на 1,5 см.

Ответ: радиус окружности увеличится на 1,5 см.

836. Найдите длину дуги, составляющей 0,6 окружности, радиус которой равен 3,5 см.

Чтобы найти длину дуги, необходимо сначала вычислить длину всей окружности, а затем найти её часть, указанную в условии.

1. Длина окружности ($C$) вычисляется по формуле $C = 2\pi R$, где $R$ – радиус окружности.

Подставим в формулу заданное значение радиуса $R = 3,5$ см:

$C = 2 \times \pi \times 3,5 = 7\pi$ см.

2. Длина дуги ($L$) составляет 0,6 от длины всей окружности. Чтобы найти её, умножим длину окружности на 0,6:

$L = C \times 0,6$

$L = 7\pi \times 0,6 = 4,2\pi$ см.

Ответ: $4,2\pi$ см.

837. Найдите длину дуги, составляющей $\frac{5}{12}$ окружности, радиус которой равен 36 дм.

Чтобы найти длину дуги, нужно сначала вычислить длину всей окружности, а затем найти её часть, указанную в условии задачи.

1. Длина окружности (C) вычисляется по формуле $C = 2 \pi R$, где $R$ - это радиус окружности.

В нашем случае радиус $R = 36$ дм.

Подставим значение радиуса в формулу, чтобы найти длину всей окружности:

$C = 2 \cdot \pi \cdot 36 = 72\pi$ дм.

2. Теперь найдём длину дуги, которая составляет $\frac{5}{12}$ от длины всей окружности. Для этого умножим длину окружности на эту дробь:

Длина дуги $= C \cdot \frac{5}{12} = 72\pi \cdot \frac{5}{12}$.

Сократим 72 и 12: $72 \div 12 = 6$.

Длина дуги $= 6\pi \cdot 5 = 30\pi$ дм.

Ответ: $30\pi$ дм.

838. Вычислите длину синей линии, изображённой на рисунке 122.

Рис. 122

a

6 см

9 см

б

8 см

а

Синяя линия на рисунке а состоит из двух одинаковых горизонтальных отрезков и двух одинаковых дуг, являющихся полуокружностями.

Длина каждого горизонтального отрезка составляет 9 см. Их общая длина равна:
$2 \times 9 = 18$ см.

Две дуги представляют собой полуокружности с диаметром $d = 6$ см. Вместе они образуют одну полную окружность. Длина окружности вычисляется по формуле $C = \pi d$. Таким образом, суммарная длина двух дуг равна:
$C = \pi \times 6 = 6\pi$ см.

Чтобы найти общую длину синей линии, сложим длины прямых отрезков и дуг:
$L_a = 18 + 6\pi$ см.

Приблизительное значение, если принять $\pi \approx 3.14$:
$L_a \approx 18 + 6 \times 3.14 = 18 + 18.84 = 36.84$ см.

Ответ: $(18 + 6\pi)$ см.

б

Синяя линия на рисунке б представляет собой замкнутую кривую, состоящую из пяти дуг, являющихся полуокружностями. Размеры дуг определяются сторонами центрального квадрата (который не является частью линии) со стороной 8 см.

Линия состоит из:
1. Трех больших полуокружностей, диаметр каждой из которых равен стороне квадрата, то есть $d_1 = 8$ см.
2. Двух малых полуокружностей, расположенных на нижней стороне. Их суммарный диаметр равен 8 см, и они одинаковы, следовательно, диаметр каждой из них $d_2 = 8 / 2 = 4$ см.

Найдем общую длину трех больших полуокружностей. Длина одной такой полуокружности равна $\frac{1}{2}\pi d_1$. Их суммарная длина:
$3 \times (\frac{1}{2} \pi \times 8) = 3 \times 4\pi = 12\pi$ см.

Теперь найдем общую длину двух малых полуокружностей. Длина одной такой полуокружности равна $\frac{1}{2}\pi d_2$. Их суммарная длина:
$2 \times (\frac{1}{2} \pi \times 4) = 2 \times 2\pi = 4\pi$ см.

Общая длина всей синей линии равна сумме длин всех дуг:
$L_б = 12\pi + 4\pi = 16\pi$ см.

Приблизительное значение, если принять $\pi \approx 3.14$:
$L_б \approx 16 \times 3.14 = 50.24$ см.

Ответ: $16\pi$ см.