Номер 852, страница 165 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 21. Длина окружности. Площадь круга. Глава 3. Дроби - номер 852, страница 165.

Условие.

852. Два квадрата со стороной 1 см имеют общий центр (центр квадрата — точка пересечения его диагоналей) (рис. 129). Докажите, что площадь их общей части больше $ \frac{\pi}{4} $.

Рис. 129

Решение.

Решение 2.

Пусть даны два квадрата со стороной $a=1$ см и общим центром $O$. Обозначим площадь их общей части (пересечения) как $S$. Нам нужно доказать, что $S > \frac{\pi}{4}$.

Рассмотрим круг, вписанный в один из этих квадратов. Центр этого круга совпадает с общим центром квадратов $O$, а его радиус $R$ равен половине стороны квадрата: $R = \frac{a}{2} = \frac{1}{2}$ см.

Площадь этого круга $S_{круга}$ вычисляется по формуле:

$S_{круга} = \pi R^2 = \pi \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{\pi}{4}$ см$^2$.

По определению, вписанный круг полностью лежит внутри первого квадрата.

Второй квадрат получен из первого поворотом вокруг их общего центра $O$. Поскольку круг также имеет центр в точке $O$, он является вписанным и во второй квадрат. Это связано с тем, что при повороте квадрата вокруг его центра расстояние от центра до его сторон не меняется и остается равным $\frac{1}{2}$. Таким образом, вписанный круг полностью лежит и внутри второго квадрата.

Поскольку рассматриваемый круг лежит внутри первого квадрата и одновременно внутри второго квадрата, он должен полностью лежать и в их общей части (фигуре пересечения).

Из этого следует, что площадь общей части $S$ как минимум не меньше площади вписанного круга: $S \ge S_{круга}$, то есть $S \ge \frac{\pi}{4}$.

Равенство $S = \frac{\pi}{4}$ было бы возможно только в том случае, если бы фигура пересечения сама была этим кругом. Однако пересечение двух квадратов — это всегда многоугольник (в общем случае — восьмиугольник). Площадь многоугольника, который содержит внутри себя круг, всегда строго больше площади этого круга, поскольку у многоугольника есть вершины и стороны, часть которых находится за пределами окружности.

Следовательно, неравенство должно быть строгим: $S > \frac{\pi}{4}$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.