Номер 851, страница 165 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 21. Длина окружности. Площадь круга. Глава 3. Дроби - номер 851, страница 165.

Условие.

851. (Задача Гиппократа1) Докажите, что сумма площадей закрашенных фигур («луночек») равна площади прямоугольника (рис. 128).

Рис. 128

3 см, 4 см, 5 см

Решение.

Решение 2.

Для доказательства утверждения введем обозначения. Пусть $a$ и $b$ — длины сторон прямоугольника, а $d$ — его диагональ. На рисунке показан прямоугольник со сторонами $a=3$ см и $b=4$ см. По теореме Пифагора его диагональ равна $d = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{3^2+4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$ см, что соответствует данным на рисунке.

Обозначим исконную сумму площадей закрашенных фигур («луночек») как $S_{лун}$, а площадь прямоугольника как $S_{прям}$.

1. Найдем сумму площадей четырех полукругов, построенных на сторонах прямоугольника как на диаметрах. Два полукруга имеют диаметр $a$, и два — диаметр $b$. Сумма их площадей, обозначим ее $S_{4пк}$, равна:

$S_{4пк} = 2 \cdot \left(\frac{1}{2}\pi \left(\frac{a}{2}\right)^2\right) + 2 \cdot \left(\frac{1}{2}\pi \left(\frac{b}{2}\right)^2\right) = \frac{\pi a^2}{4} + \frac{\pi b^2}{4} = \frac{\pi}{4}(a^2+b^2)$.

2. Найдем площадь круга, построенного на диагонали прямоугольника $d$ как на диаметре. Обозначим ее $S_{окр}$. Эта окружность является описанной около прямоугольника. Ее площадь равна:

$S_{окр} = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$.

3. Сравним полученные площади. Согласно теореме Пифагора для прямоугольника, $a^2 + b^2 = d^2$. Подставив это в выражение для $S_{4пк}$, получаем:

$S_{4пк} = \frac{\pi}{4}(a^2+b^2) = \frac{\pi d^2}{4} = S_{окр}$.

Таким образом, мы установили, что сумма площадей четырех полукругов на сторонах прямоугольника равна площади круга на его диагонали.

4. Выразим площади через составные части фигуры. Обозначим через $S_{сегм}$ общую площадь четырех незакрашенных сегментов, которые являются частями большого круга, но лежат вне прямоугольника.

Площадь большого круга $S_{окр}$ можно представить как сумму площади прямоугольника $S_{прям}$ и площади этих четырех сегментов $S_{сегм}$:

$S_{окр} = S_{прям} + S_{сегм}$.

Сумму площадей четырех полукругов $S_{4пк}$ можно представить как сумму площадей четырех луночек $S_{лун}$ и площади тех же самых четырех сегментов $S_{сегм}$:

$S_{4пк} = S_{лун} + S_{сегм}$.

5. Завершим доказательство. Поскольку мы ранее показали, что $S_{4пк} = S_{окр}$, мы можем приравнять правые части двух последних выражений:

$S_{прям} + S_{сегм} = S_{лун} + S_{сегм}$.

Вычитая $S_{сегм}$ из обеих частей равенства, мы получаем искомое тождество:

$S_{прям} = S_{лун}$.

Таким образом, доказано, что сумма площадей закрашенных фигур («луночек») равна площади прямоугольника.

Ответ: Утверждение доказано. Сумма площадей «луночек» равна площади прямоугольника. Для прямоугольника с данными сторонами эта площадь составляет $3 \text{ см} \times 4 \text{ см} = 12 \text{ см}^2$.