Номер 841, страница 164 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 21. Длина окружности. Площадь круга. Глава 3. Дроби - номер 841, страница 164.

Условие.

841. Начертите прямоугольник со сторонами 3 см и 4 см. Проведите диагонали прямоугольника. Приняв точку пересечения диагоналей за центр окружности, а половину диагонали – за радиус, проведите эту окружность. Измерьте линейкой диаметр полученной окружности (в сантиметрах, с точностью до единиц). На сколько квадратных сантиметров площадь круга, ограниченного этой окружностью, больше площади прямоугольника?

Решение.

Решение 2.

Для решения задачи выполним следующие шаги:

1. Найдем длину диагонали прямоугольника.

   Стороны прямоугольника $a = 3$ см и $b = 4$ см образуют с диагональю $d$ прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора найдем длину диагонали:

   $d^2 = a^2 + b^2$

   $d = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ см.

2. Найдем радиус и диаметр окружности.

   По условию, центр окружности находится в точке пересечения диагоналей, а радиус $r$ равен половине диагонали. Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам.

   Радиус окружности: $r = \frac{d}{2} = \frac{5}{2} = 2.5$ см.

   Диаметр окружности $D$ равен двум радиусам или целой диагонали:

   $D = 2r = 2 \times 2.5 = 5$ см.

   При измерении линейкой диаметр полученной окружности с точностью до единиц будет равен 5 см.

   Ответ: 5 см.

3. Сравним площади круга и прямоугольника.

   Сначала найдем площадь прямоугольника ($S_{прям}$):

   $S_{прям} = a \times b = 3 \text{ см} \times 4 \text{ см} = 12 \text{ см}^2$.

   Теперь найдем площадь круга ($S_{круга}$), используя найденный радиус $r = 2.5$ см и значение $\pi \approx 3.14$:

   $S_{круга} = \pi r^2 \approx 3.14 \times (2.5 \text{ см})^2 = 3.14 \times 6.25 \text{ см}^2 = 19.625 \text{ см}^2$.

   Чтобы найти, на сколько площадь круга больше площади прямоугольника, вычтем из площади круга площадь прямоугольника:

   $\Delta S = S_{круга} - S_{прям} \approx 19.625 \text{ см}^2 - 12 \text{ см}^2 = 7.625 \text{ см}^2$.

   Ответ: Площадь круга больше площади прямоугольника на 7.625 см².