Номер 742, страница 140 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 17. Пропорции. Глава 3. Дроби - номер 742, страница 140.

Условие.

742. На столе лежат четыре чёрные палочки разной длины, причём сумма их длин равна 40 см, и пять белых палочек, сумма длин которых так-же равна 40 см. Можно ли разрезать те и другие палочки так, чтобы потом расположить их парами, в каждой из которых длины палочек будут одинаковыми, а цвета – разными?

Решение.

Решение 2.

Да, это возможно. Для того чтобы доказать это, представим себе следующий способ разрезания палочек.

Возьмём все четыре чёрные палочки и выложим их в одну линию, друг за другом, без промежутков. В результате получится одна длинная составная палочка чёрного цвета. Обозначим длины исходных чёрных палочек как $b_1, b_2, b_3, b_4$. Сумма их длин по условию равна 40 см: $b_1 + b_2 + b_3 + b_4 = 40$ см. На получившейся 40-сантиметровой чёрной линии отметим точки, где соединяются исходные палочки. Таких точек будет три.

Аналогично поступим с белыми палочками. Выложим все пять белых палочек в одну линию. Обозначим их длины как $w_1, w_2, w_3, w_4, w_5$. Сумма их длин также равна 40 см: $w_1 + w_2 + w_3 + w_4 + w_5 = 40$ см. На этой 40-сантиметровой белой линии будет четыре точки, где соединяются исходные палочки.

Теперь мысленно наложим одну 40-сантиметровую линию на другую. Мы получим одну общую 40-сантиметровую линию, на которой будут отмечены все точки соединений как от чёрных, так и от белых палочек. Общее число таких отметок будет не более $3 + 4 = 7$ (некоторые отметки могут совпасть, если сумма длин нескольких чёрных палочек окажется равна сумме длин нескольких белых).

Теперь произведём разрезы. Разрежем и чёрную, и белую составные палочки во всех отмеченных точках. Поскольку мы используем один и тот же набор точек для разрезания обеих линий, обе они распадутся на совершенно одинаковые наборы кусочков. То есть, для каждого получившегося кусочка чёрного цвета найдётся равный ему по длине кусочек белого цвета.

Таким образом, все получившиеся после разрезания кусочки можно будет расположить парами, в каждой из которых будет одна чёрная и одна белая палочка одинаковой длины. Это доказывает, что требуемое разрезание возможно при любых исходных длинах палочек.

Ответ: да, можно.