Номер 719, страница 137 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 17. Пропорции. Глава 3. Дроби - номер 719, страница 137.

Условие.

719. Решите с помощью пропорции задачу.

1) Для изготовления 8 одинаковых деталей необходимо 18 кг металла. Сколько таких деталей можно изготовить из 27 кг металла?

2) За 5 ч турист прошёл 24 км. Какое расстояние он пройдёт за 8 ч с той же скоростью?

3) Из 140 кг свежих вишен получают 21 кг сушёных. Сколько килограммов сушёных вишен получится из 160 кг свежих? Сколько килограммов свежих вишен необходимо взять, чтобы получить 31,5 кг сушёных?

4) Объём бруска, изготовленного из древесины вишни, равен $800 \text{ см}^3$, а его масса – 528 г. Какова масса бруска, изготовленного из этого же материала, если его объём равен $1500 \text{ см}^3$?

5) Из 45 т железной руды выплавляют 25 т железа. Сколько требуется тонн руды, чтобы выплавить 10 т железа?

6) Площадь поля 480 га. Пшеницей засеяли 24 % площади поля. Сколько гектаров земли засеяли пшеницей?

7) За первый час автомобиль проехал 70 км, что составило 14 % всего пути. Сколько километров составляет весь путь?

8) Сплав содержит 12 % цинка. Сколько килограммов цинка содержится в 80 кг сплава?

Решение.

Решение 2.

1) Обозначим искомое количество деталей через $x$. Поскольку количество деталей прямо пропорционально количеству металла, составим пропорцию:

8 деталей — 18 кг
$x$ деталей — 27 кг

Из пропорции следует соотношение: $\frac{8}{x} = \frac{18}{27}$.
Упростим правую часть, разделив числитель и знаменатель на 9: $\frac{18}{27} = \frac{2}{3}$.
Получаем: $\frac{8}{x} = \frac{2}{3}$.
Из этого уравнения находим $x$: $2 \cdot x = 8 \cdot 3 \Rightarrow 2x = 24 \Rightarrow x = \frac{24}{2} = 12$ (деталей).
Ответ: 12 деталей.

2) Обозначим искомое расстояние через $x$. Так как скорость туриста постоянна, пройденное расстояние прямо пропорционально времени в пути. Составим пропорцию:

За 5 ч — 24 км
За 8 ч — $x$ км

Соотношение: $\frac{5}{8} = \frac{24}{x}$.
Находим $x$: $5 \cdot x = 8 \cdot 24 \Rightarrow 5x = 192 \Rightarrow x = \frac{192}{5} = 38,4$ (км).
Ответ: 38,4 км.

3) Эта задача состоит из двух частей. Решим каждую с помощью пропорции.
а) Сколько килограммов сушёных вишен получится из 160 кг свежих?
Обозначим искомую массу через $x$.
Из 140 кг свежих — 21 кг сушёных
Из 160 кг свежих — $x$ кг сушёных
Пропорция: $\frac{140}{160} = \frac{21}{x}$. Упростим левую часть: $\frac{140}{160} = \frac{14}{16} = \frac{7}{8}$.
Тогда $\frac{7}{8} = \frac{21}{x}$, откуда $7x = 8 \cdot 21 \Rightarrow x = \frac{8 \cdot 21}{7} = 8 \cdot 3 = 24$ (кг).
б) Сколько килограммов свежих вишен необходимо взять, чтобы получить 31,5 кг сушёных?
Обозначим искомую массу через $y$.
$y$ кг свежих — 31,5 кг сушёных
140 кг свежих — 21 кг сушёных
Пропорция: $\frac{y}{140} = \frac{31,5}{21}$.
Отсюда $y = 140 \cdot \frac{31,5}{21}$. Так как $\frac{31,5}{21} = 1,5$, то $y = 140 \cdot 1,5 = 210$ (кг).
Ответ: 24 кг; 210 кг.

4) Масса бруска прямо пропорциональна его объёму, так как он изготовлен из одного и того же материала. Обозначим искомую массу через $x$.

Объём 800 см³ — масса 528 г
Объём 1500 см³ — масса $x$ г

Пропорция: $\frac{800}{1500} = \frac{528}{x}$.
Упростим левую часть: $\frac{800}{1500} = \frac{8}{15}$.
Получаем $\frac{8}{15} = \frac{528}{x}$.
Находим $x$: $8 \cdot x = 15 \cdot 528 \Rightarrow x = \frac{15 \cdot 528}{8}$.
Так как $528 \div 8 = 66$, то $x = 15 \cdot 66 = 990$ (г).
Ответ: 990 г.

5) Количество требуемой руды прямо пропорционально количеству выплавляемого железа. Обозначим искомое количество руды через $x$.

45 т руды — 25 т железа
$x$ т руды — 10 т железа

Пропорция: $\frac{45}{x} = \frac{25}{10}$.
Упростим правую часть: $\frac{25}{10} = \frac{5}{2}$.
Получаем $\frac{45}{x} = \frac{5}{2}$.
Находим $x$: $5 \cdot x = 45 \cdot 2 \Rightarrow 5x = 90 \Rightarrow x = \frac{90}{5} = 18$ (т).
Ответ: 18 т.

6) Площадь всего поля, 480 га, составляет 100%. Найдём, сколько гектаров составляют 24%. Обозначим эту площадь через $x$.

480 га — 100%
$x$ га — 24%

Пропорция: $\frac{480}{x} = \frac{100}{24}$.
Находим $x$: $100 \cdot x = 480 \cdot 24 \Rightarrow x = \frac{480 \cdot 24}{100} = 4,8 \cdot 24 = 115,2$ (га).
Ответ: 115,2 га.

7) Весь путь составляет 100%. Нам известно, что 70 км — это 14% пути. Обозначим весь путь через $x$.

70 км — 14%
$x$ км — 100%

Пропорция: $\frac{70}{x} = \frac{14}{100}$.
Находим $x$: $14 \cdot x = 70 \cdot 100 \Rightarrow x = \frac{70 \cdot 100}{14}$.
Так как $70 \div 14 = 5$, получаем $x = 5 \cdot 100 = 500$ (км).
Ответ: 500 км.

8) Масса всего сплава, 80 кг, составляет 100%. Найдём массу цинка, которая составляет 12% от массы сплава. Обозначим массу цинка через $x$.

80 кг сплава — 100%
$x$ кг цинка — 12%

Пропорция: $\frac{80}{x} = \frac{100}{12}$.
Находим $x$: $100 \cdot x = 80 \cdot 12 \Rightarrow x = \frac{80 \cdot 12}{100} = \frac{960}{100} = 9,6$ (кг).
Ответ: 9,6 кг.