Номер 635, страница 120 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 14. Проценты. Нахождение процентов от числа. Глава 3. Дроби - номер 635, страница 120.

Условие.

635. В 6 классе диктант по русскому языку писали 30 учеников. Вася Ленивцев сделал больше всех ошибок – 14. Покажите, что по крайней мере три ученика сделали одинаковое количество ошибок (в этом классе могли быть ученики, которые не сделали ни одной ошибки).

Решение.

Решение 2.

Для решения этой задачи воспользуемся принципом Дирихле.

По условию, в классе 30 учеников. Вася Ленивцев сделал 14 ошибок, и это больше, чем у любого другого ученика. Это означает, что остальные ученики сделали от 0 до 13 ошибок включительно.

Рассмотрим всех учеников, кроме Васи. Их количество: $30 - 1 = 29$.

Возможные варианты количества ошибок, которые могли допустить эти 29 учеников, — это целые числа от 0 до 13. Подсчитаем количество таких вариантов: $13 - 0 + 1 = 14$ вариантов.

Теперь у нас есть 29 учеников ("голубей"), которых нужно распределить по 14 возможным категориям числа ошибок ("ящикам").

Предположим от противного: пусть в каждой категории (с одинаковым числом ошибок) находится не более двух учеников. В таком случае максимальное количество учеников в классе (кроме Васи) было бы $14 \text{ (категорий)} \times 2 \text{ (ученика)} = 28$.

Но у нас 29 учеников (не считая Васю). Это создает противоречие. Значит, наше предположение неверно, и обязательно найдется такая категория числа ошибок, в которую попадут как минимум три ученика.

Иначе говоря, согласно обобщенному принципу Дирихле, если 29 учеников распределить по 14 категориям, то хотя бы в одной категории окажется не менее $\lceil 29 / 14 \rceil = 3$ учеников.

Таким образом, доказано, что по крайней мере три ученика сделали одинаковое количество ошибок.

Ответ: Утверждение доказано.