Страница 93 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

495. Из одного города в противоположных направлениях одновременно отправились два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 72,5 км/ч, что на 8,6 км/ч больше, чем скорость второго. Какое расстояние будет между ними через 3,5 ч после начала движения?

Для решения задачи сначала найдем скорость второго автомобиля, затем определим скорость их удаления друг от друга и, наконец, вычислим расстояние между ними через заданное время.

1. Находим скорость второго автомобиля.

По условию, скорость первого автомобиля ($v_1$) равна $72,5 \text{ км/ч}$, и она на $8,6 \text{ км/ч}$ больше скорости второго автомобиля ($v_2$). Следовательно, чтобы найти скорость второго автомобиля, нужно из скорости первого вычесть $8,6 \text{ км/ч}$.

$v_2 = v_1 - 8,6 \text{ км/ч} = 72,5 \text{ км/ч} - 8,6 \text{ км/ч} = 63,9 \text{ км/ч}$

2. Находим скорость удаления автомобилей.

Поскольку автомобили движутся из одной точки в противоположных направлениях, расстояние между ними увеличивается. Скорость, с которой они удаляются друг от друга, называется скоростью удаления ($v_{уд}$) и равна сумме их скоростей.

$v_{уд} = v_1 + v_2 = 72,5 \text{ км/ч} + 63,9 \text{ км/ч} = 136,4 \text{ км/ч}$

3. Находим расстояние между автомобилями через 3,5 ч.

Чтобы найти расстояние ($S$), которое будет между автомобилями через определенное время ($t$), нужно скорость удаления умножить на это время. В данном случае $t = 3,5 \text{ ч}$.

$S = v_{уд} \times t = 136,4 \text{ км/ч} \times 3,5 \text{ ч} = 477,4 \text{ км}$

Ответ: через 3,5 ч после начала движения расстояние между автомобилями будет 477,4 км.

496. Из двух сёл навстречу друг другу одновременно начали движение велосипедист и пешеход. Пешеход шёл со скоростью $3.2 \text{ км/ч}$, что в $4.5$ раза меньше скорости велосипедиста. Найдите расстояние между сёлами, если велосипедист и пешеход встретились через $1.6 \text{ ч}$ после начала движения.

1. Найдём скорость велосипедиста.

Скорость пешехода равна $3,2$ км/ч. По условию, это в $4,5$ раза меньше скорости велосипедиста. Следовательно, чтобы найти скорость велосипедиста, нужно скорость пешехода умножить на $4,5$.

$3,2 \cdot 4,5 = 14,4$ (км/ч) – скорость велосипедиста.

2. Найдём скорость сближения.

Так как пешеход и велосипедист движутся навстречу друг другу, их скорость сближения (общая скорость) равна сумме их индивидуальных скоростей.

$3,2 + 14,4 = 17,6$ (км/ч) – скорость сближения.

3. Найдём расстояние между сёлами.

Расстояние, которое они вместе преодолели до встречи, равно их скорости сближения, умноженной на время в пути. Время до встречи по условию составляет $1,6$ ч.

$17,6 \cdot 1,6 = 28,16$ (км) – расстояние между сёлами.

Ответ: 28,16 км.

497. В таблице приведены цены за упаковку очищенных грецких орехов различных фирм-производителей. Определите, у какой фирмы-производителя цена за килограмм грецких орехов: 1) наименьшая; 2) наибольшая.

Фирма-производитель | Масса орехов в упаковке, кг | Цена одной упаковки, р.

A | 0,14 | 259

Б | 0,11 | 209

В | 0,15 | 270

Г | 0,25 | 410

Для того чтобы определить, у какой фирмы цена за килограмм орехов наименьшая, а у какой — наибольшая, необходимо для каждой фирмы рассчитать стоимость одного килограмма. Для этого нужно разделить цену упаковки на массу орехов в этой упаковке.

Расчет цены за 1 кг для фирмы А:
Цена упаковки — 259 р., масса — 0,14 кг.
Стоимость 1 кг: $259 / 0,14 = 1850$ р.

Расчет цены за 1 кг для фирмы Б:
Цена упаковки — 209 р., масса — 0,11 кг.
Стоимость 1 кг: $209 / 0,11 = 1900$ р.

Расчет цены за 1 кг для фирмы В:
Цена упаковки — 270 р., масса — 0,15 кг.
Стоимость 1 кг: $270 / 0,15 = 1800$ р.

Расчет цены за 1 кг для фирмы Г:
Цена упаковки — 410 р., масса — 0,25 кг.
Стоимость 1 кг: $410 / 0,25 = 1640$ р.

Теперь сравним полученные цены за килограмм:

• Фирма А: 1850 р.
• Фирма Б: 1900 р.
• Фирма В: 1800 р.
• Фирма Г: 1640 р.

1) наименьшая
Сравнивая полученные значения, находим наименьшее: $1640$ р. Эта цена соответствует фирме Г.
Ответ: наименьшая цена у фирмы Г.

2) наибольшая
Сравнивая полученные значения, находим наибольшее: $1900$ р. Эта цена соответствует фирме Б.
Ответ: наибольшая цена у фирмы Б.

498. Какое наименьшее количество банок ёмкостью 0,3 л необходимо взять, чтобы разлить в них 5 л варенья?

Для того чтобы определить наименьшее количество банок, необходимо разделить общий объём варенья на ёмкость одной банки.

Общий объём варенья составляет 5 л, а ёмкость одной банки — 0,3 л.

Выполним деление общего объёма на ёмкость одной банки, чтобы найти необходимое количество:
$5 \div 0,3 = \frac{5}{0,3} = \frac{50}{3} = 16 \frac{2}{3}$

Полученное число $16 \frac{2}{3}$ означает, что 16 банок будут полностью заполнены, но останется ещё варенье, для которого потребуется дополнительная банка. Поскольку количество банок должно быть целым числом, необходимо округлить результат деления в большую сторону. Таким образом, потребуется 17 банок.

Ответ: 17.

499. Какое наименьшее количество бидонов ёмкостью 6,25 л необходимо взять, чтобы разлить в них 70 л молока?

Чтобы найти наименьшее количество бидонов, необходимо разделить общий объем молока на емкость одного бидона.

Общий объем молока составляет $70$ л.
Емкость одного бидона составляет $6,25$ л.

Вычислим необходимое количество бидонов, разделив общий объем на емкость одного бидона: $70 \div 6,25$

Для удобства вычислений можно избавиться от десятичной дроби в делителе, умножив и делимое, и делитель на 100: $70 \div 6,25 = (70 \times 100) \div (6,25 \times 100) = 7000 \div 625$

Теперь выполним деление: $7000 \div 625 = 11,2$

Результат $11,2$ означает, что 11 бидонов будут полностью заполнены, но этого будет недостаточно для всего молока. В 11 бидонов поместится $11 \times 6,25 = 68,75$ л. Оставшиеся $70 - 68,75 = 1,25$ л молока нужно будет разлить в еще один бидон.

Так как количество бидонов не может быть дробным, мы должны взять целое число бидонов. Округляем полученный результат $11,2$ в большую сторону до ближайшего целого числа. Таким образом, нам понадобится 12 бидонов.

Ответ: 12.

500. Найдите значение выражения:

1) $2,9 : 0,58 - 4,64 : 5,8 - 60 : 48;$

2) $(57,12 : 1,4 + 4,324 : 0,46) \cdot 1,5.$

Для нахождения значения выражения $2,9 : 0,58 - 4,64 : 5,8 - 60 : 48$ необходимо выполнить действия в правильном порядке. Согласно правилам, сначала выполняются операции деления, а затем вычитания слева направо.

1. Выполним первое деление: $2,9 : 0,58$. Чтобы упростить деление, избавимся от десятичной дроби в делителе, умножив делимое и делитель на 100: $2,9 \cdot 100 = 290$ $0,58 \cdot 100 = 58$ $290 : 58 = 5$

2. Выполним второе деление: $4,64 : 5,8$. Умножим делимое и делитель на 10: $4,64 \cdot 10 = 46,4$ $5,8 \cdot 10 = 58$ $46,4 : 58 = 0,8$

3. Выполним третье деление: $60 : 48$. Представим это деление в виде дроби и сократим ее: $\frac{60}{48} = \frac{12 \cdot 5}{12 \cdot 4} = \frac{5}{4} = 1,25$

4. Теперь подставим полученные результаты в исходное выражение и выполним вычитания: $5 - 0,8 - 1,25 = 4,2 - 1,25 = 2,95$

Ответ: $2,95$

Для нахождения значения выражения $(57,12 : 1,4 + 4,324 : 0,46) \cdot 1,5$ сначала выполняются действия в скобках (деление, затем сложение), а после этого — умножение.

1. Выполним первое действие в скобках — деление: $57,12 : 1,4$. Умножим делимое и делитель на 10: $57,12 \cdot 10 = 571,2$ $1,4 \cdot 10 = 14$ $571,2 : 14 = 40,8$

2. Выполним второе действие в скобках — деление: $4,324 : 0,46$. Умножим делимое и делитель на 100: $4,324 \cdot 100 = 432,4$ $0,46 \cdot 100 = 46$ $432,4 : 46 = 9,4$

3. Выполним третье действие — сложение результатов в скобках: $40,8 + 9,4 = 50,2$

4. Теперь выполним последнее действие — умножение результата, полученного в скобках, на 1,5: $50,2 \cdot 1,5 = 75,3$

Ответ: $75,3$

501. Найдите значение выражения:

1) $(2,6 \cdot 1,34 - 2,404) : 4,5;$

2) $(55,08 : 1,8 - 4,056 : 0,52) \cdot 6,5.$

1) $(2,6 \cdot 1,34 - 2,404) : 4,5$

Решим выражение по действиям, соблюдая порядок их выполнения. Сначала выполняются действия в скобках (умножение, затем вычитание), а после этого — деление.

1. Выполним умножение в скобках:
$2,6 \cdot 1,34 = 3,484$

2. Выполним вычитание в скобках:
$3,484 - 2,404 = 1,08$

3. Выполним деление:
$1,08 : 4,5 = 10,8 : 45 = 0,24$

Таким образом, значение выражения равно 0,24.
Ответ: 0,24

2) $(55,08 : 1,8 - 4,056 : 0,52) \cdot 6,5$

Решим выражение по действиям. Сначала выполняются действия в скобках (деление, затем вычитание), а после этого — умножение.

1. Выполним первое деление в скобках:
$55,08 : 1,8 = 550,8 : 18 = 30,6$

2. Выполним второе деление в скобках:
$4,056 : 0,52 = 405,6 : 52 = 7,8$

3. Выполним вычитание в скобках:
$30,6 - 7,8 = 22,8$

4. Выполним умножение:
$22,8 \cdot 6,5 = 148,2$

Таким образом, значение выражения равно 148,2.
Ответ: 148,2

502. Найдите корень уравнения:

1) $(x + 19,64) \cdot 0,18 = 14,4;$

2) $x : 100 - 1,2367 = 2,9633;$

3) $9 : (7 - x) = 3,6;$

4) $b - 0,87b + 1,24 = 7,74.$

1) $(x + 19,64) \cdot 0,18 = 14,4$
В этом уравнении выражение в скобках $(x + 19,64)$ является неизвестным множителем. Чтобы его найти, нужно произведение $14,4$ разделить на известный множитель $0,18$.
$x + 19,64 = 14,4 : 0,18$
Для удобства деления умножим делимое и делитель на 100, чтобы избавиться от дробей:
$x + 19,64 = 1440 : 18$
$x + 19,64 = 80$
Теперь $x$ — неизвестное слагаемое. Чтобы его найти, нужно из суммы $80$ вычесть известное слагаемое $19,64$.
$x = 80 - 19,64$
$x = 60,36$
Ответ: 60,36

2) $x : 100 - 1,2367 = 2,9633$
В этом уравнении выражение $x : 100$ является неизвестным уменьшаемым. Чтобы его найти, нужно к разности $2,9633$ прибавить вычитаемое $1,2367$.
$x : 100 = 2,9633 + 1,2367$
$x : 100 = 4,2$
Теперь $x$ — неизвестное делимое. Чтобы его найти, нужно частное $4,2$ умножить на делитель $100$.
$x = 4,2 \cdot 100$
$x = 420$
Ответ: 420

3) $9 : (7 - x) = 3,6$
В этом уравнении выражение в скобках $(7 - x)$ является неизвестным делителем. Чтобы его найти, нужно делимое $9$ разделить на частное $3,6$.
$7 - x = 9 : 3,6$
Для удобства деления умножим делимое и делитель на 10:
$7 - x = 90 : 36$
$7 - x = 2,5$
Теперь $x$ — неизвестное вычитаемое. Чтобы его найти, нужно из уменьшаемого $7$ вычесть разность $2,5$.
$x = 7 - 2,5$
$x = 4,5$
Ответ: 4,5

4) $b - 0,87b + 1,24 = 7,74$
Сначала упростим левую часть уравнения, объединив члены с переменной $b$. Учтем, что $b$ это то же самое, что и $1 \cdot b$.
$(1 - 0,87)b + 1,24 = 7,74$
$0,13b + 1,24 = 7,74$
Теперь выражение $0,13b$ является неизвестным слагаемым. Чтобы его найти, нужно из суммы $7,74$ вычесть известное слагаемое $1,24$.
$0,13b = 7,74 - 1,24$
$0,13b = 6,5$
Теперь $b$ — неизвестный множитель. Чтобы его найти, нужно произведение $6,5$ разделить на известный множитель $0,13$.
$b = 6,5 : 0,13$
Умножим делимое и делитель на 100:
$b = 650 : 13$
$b = 50$
Ответ: 50

503. Решите уравнение:

1) $1.7(1.6 - x) = 2.38$;

2) $1.28 : x + 3.24 = 4.84$.

1) $1,7(1,6 - x) = 2,38$

Чтобы найти неизвестный множитель $(1,6 - x)$, разделим произведение $2,38$ на известный множитель $1,7$.

$1,6 - x = 2,38 : 1,7$

$1,6 - x = 1,4$

Теперь найдем неизвестное вычитаемое $x$. Для этого из уменьшаемого $1,6$ вычтем разность $1,4$.

$x = 1,6 - 1,4$

$x = 0,2$

Ответ: $0,2$.

2) $1,28 : x + 3,24 = 4,84$

Найдем неизвестное слагаемое $(1,28 : x)$. Для этого из суммы $4,84$ вычтем известное слагаемое $3,24$.

$1,28 : x = 4,84 - 3,24$

$1,28 : x = 1,6$

Теперь найдем неизвестный делитель $x$. Для этого делимое $1,28$ разделим на частное $1,6$.

$x = 1,28 : 1,6$

$x = 0,8$

Ответ: $0,8$.

504. Расстояние между двумя станциями равно 14,4 км. С этих станций в одном направлении одновременно вышли два поезда. Сзади двигался поезд со скоростью 59,3 км/ч. Через 3,2 ч после начала движения он догнал поезд, шедший впереди. Найдите скорость поезда, шедшего впереди.

Для решения этой задачи воспользуемся понятием скорости сближения. Когда два объекта движутся в одном направлении, скорость, с которой один догоняет другой (скорость сближения), равна разности их скоростей.

Введем обозначения:
$S = 14,4$ км – начальное расстояние между поездами.
$v_1 = 59,3$ км/ч – скорость поезда, который движется сзади (догоняющего).
$v_2$ – скорость поезда, который движется впереди (скорость, которую нужно найти).
$t = 3,2$ ч – время, за которое первый поезд догнал второй.

1. Найдем скорость сближения поездов.
Чтобы догоняющий поезд сократил первоначальное расстояние в $14,4$ км за $3,2$ ч, он должен приближаться к переднему поезду с определенной скоростью. Эта скорость сближения ($v_{сбл}$) вычисляется как отношение расстояния ко времени:
$v_{сбл} = \frac{S}{t} = \frac{14,4}{3,2} = 4,5$ км/ч.

2. Найдем скорость поезда, шедшего впереди.
Скорость сближения при движении в одном направлении является разностью скоростей догоняющего и уходящего объектов:
$v_{сбл} = v_1 - v_2$
Теперь мы можем выразить из этой формулы искомую скорость $v_2$:
$v_2 = v_1 - v_{сбл}$
Подставим известные значения:
$v_2 = 59,3 - 4,5 = 54,8$ км/ч.

Ответ: 54,8 км/ч.