Номер 1, страница 96 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы в параграфе. Параграф 10. Преобразование обыкновенной дроби в десятичную. Глава 3. Дроби - номер 1, страница 96.

Условие.

1. В каком случае несократимую дробь можно преобразовать в десятичную?

Решение.

Решение 2.

Несократимую обыкновенную дробь можно преобразовать в конечную десятичную дробь тогда и только тогда, когда её знаменатель при разложении на простые множители не содержит никаких других чисел, кроме 2 и 5.

Это правило следует из определения десятичной дроби. Конечная десятичная дробь — это дробь, знаменатель которой является степенью числа 10 (например, 10, 100, 1000 и т.д.). Разложение числа 10 на простые множители — это $10 = 2 \cdot 5$. Соответственно, любая степень числа 10 будет состоять только из множителей 2 и 5: $10^n = (2 \cdot 5)^n = 2^n \cdot 5^n$.

Поэтому, чтобы обыкновенную дробь $\frac{a}{b}$ можно было привести к знаменателю вида $10^n$, необходимо, чтобы её собственный знаменатель $b$ состоял только из простых множителей 2 и 5. Если в знаменателе есть другие простые множители (3, 7, 11 и т.д.), то домножением на целое число его невозможно превратить в степень десяти, и такая дробь обратится в бесконечную периодическую.

Пример 1: Дробь $\frac{3}{20}$.
Дробь несократимая. Разложим знаменатель на простые множители: $20 = 2 \cdot 10 = 2 \cdot 2 \cdot 5 = 2^2 \cdot 5^1$. Знаменатель содержит только множители 2 и 5, значит, дробь можно преобразовать в конечную десятичную. Для этого нужно домножить числитель и знаменатель на $5$ так, чтобы степени у множителей 2 и 5 в знаменателе стали одинаковыми:$\frac{3}{20} = \frac{3}{2^2 \cdot 5^1} = \frac{3 \cdot 5}{2^2 \cdot 5^1 \cdot 5} = \frac{15}{2^2 \cdot 5^2} = \frac{15}{10^2} = \frac{15}{100} = 0,15$.

Пример 2: Дробь $\frac{5}{6}$.
Дробь несократимая. Разложим знаменатель на простые множители: $6 = 2 \cdot 3$. Поскольку в разложении знаменателя присутствует множитель 3, эту дробь нельзя преобразовать в конечную десятичную. При делении получится бесконечная периодическая дробь: $5 \div 6 = 0,8333... = 0,8(3)$.

Ответ: Несократимую дробь можно преобразовать в конечную десятичную дробь в том случае, если разложение её знаменателя на простые множители содержит только множители 2 и 5.