Страница 81 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

364. Велосипедист проехал 8 км за $\frac{2}{3}$ ч. С какой скоростью он ехал?

Чтобы определить скорость велосипедиста, необходимо разделить расстояние, которое он проехал, на время, затраченное на этот путь. Используем для этого основную формулу скорости:

$v = \frac{S}{t}$

где:

• $v$ — искомая скорость,
• $S$ — расстояние (по условию $S = 8$ км),
• $t$ — время (по условию $t = \frac{2}{3}$ ч).

Подставим известные значения в формулу:

$v = \frac{8}{\frac{2}{3}}$

Чтобы разделить число на дробь, нужно умножить это число на дробь, обратную делителю (то есть на «перевёрнутую» дробь):

$v = 8 \times \frac{3}{2}$

Теперь выполним вычисление:

$v = \frac{8 \times 3}{2} = \frac{24}{2} = 12$

Таким образом, скорость велосипедиста составляет 12 км/ч.

Ответ: 12 км/ч.

365. Сколько стоит 1 м ткани, если за $3\frac{1}{2}$ м этой ткани Мальвина заплатила $6\frac{1}{8}$ сольдо?

Для того чтобы найти, сколько стоит 1 метр ткани, нужно общую сумму, которую заплатила Мальвина, разделить на количество метров ткани, которое она купила.

Стоимость ткани: $6\frac{1}{8}$ сольдо.

Количество ткани: $3\frac{1}{2}$ м.

1. Сначала представим смешанные числа в виде неправильных дробей:

$6\frac{1}{8} = \frac{6 \times 8 + 1}{8} = \frac{49}{8}$

$3\frac{1}{2} = \frac{3 \times 2 + 1}{2} = \frac{7}{2}$

2. Теперь разделим стоимость на количество:

$\frac{49}{8} \div \frac{7}{2}$

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй:

$\frac{49}{8} \times \frac{2}{7} = \frac{49 \times 2}{8 \times 7}$

3. Сократим получившуюся дробь. Число 49 делится на 7 (получается 7), а 8 делится на 2 (получается 4):

$\frac{^7\cancel{49} \times ^1\cancel{2}}{^_4\cancel{8} \times _1\cancel{7}} = \frac{7 \times 1}{4 \times 1} = \frac{7}{4}$

4. Преобразуем неправильную дробь обратно в смешанное число:

$\frac{7}{4} = 1\frac{3}{4}$

Таким образом, 1 метр ткани стоит $1\frac{3}{4}$ сольдо.

Ответ: $1\frac{3}{4}$ сольдо.

366. Найдите число, если:

1) $\frac{3}{7}$;

2) $\frac{7}{11}$;

3) $\frac{21}{23}$ его составляют 42.

Чтобы найти целое число по его части, выраженной дробью, необходимо значение этой части разделить на данную дробь.

1) Найти число, если $ \frac{3}{7} $ его составляют 42.

Пусть искомое число равно $x$. Тогда можно составить уравнение:

$ \frac{3}{7} \cdot x = 42 $

Чтобы найти $x$, нужно 42 разделить на $ \frac{3}{7} $. Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную ей дробь:

$ x = 42 : \frac{3}{7} = 42 \cdot \frac{7}{3} $

Сократим 42 и 3 на 3:

$ x = \frac{42 \cdot 7}{3} = 14 \cdot 7 = 98 $

Ответ: 98

2) Найти число, если $ \frac{7}{11} $ его составляют 42.

Пусть искомое число равно $x$. Составим уравнение:

$ \frac{7}{11} \cdot x = 42 $

Найдем $x$, разделив 42 на $ \frac{7}{11} $:

$ x = 42 : \frac{7}{11} = 42 \cdot \frac{11}{7} $

Сократим 42 и 7 на 7:

$ x = \frac{42 \cdot 11}{7} = 6 \cdot 11 = 66 $

Ответ: 66

3) Найти число, если $ \frac{21}{28} $ его составляют 42.

Сначала упростим дробь $ \frac{21}{28} $, сократив ее на общий делитель 7:

$ \frac{21}{28} = \frac{21 : 7}{28 : 7} = \frac{3}{4} $

Теперь задача звучит так: найти число, если $ \frac{3}{4} $ его составляют 42. Пусть искомое число равно $x$:

$ \frac{3}{4} \cdot x = 42 $

Найдем $x$, разделив 42 на $ \frac{3}{4} $:

$ x = 42 : \frac{3}{4} = 42 \cdot \frac{4}{3} $

Сократим 42 и 3 на 3:

$ x = \frac{42 \cdot 4}{3} = 14 \cdot 4 = 56 $

Ответ: 56

367. Найдите число, если:

1) $\frac{2}{5}$;

2) $\frac{3}{10}$;

3) $\frac{5}{6}$ – его составляют 90.

1) Чтобы найти целое число по его части, выраженной дробью, необходимо значение этой части разделить на данную дробь.
По условию, $ \frac{2}{5} $ от искомого числа составляют 90. Обозначим искомое число как $x$. Тогда можно составить уравнение:
$ \frac{2}{5} \cdot x = 90 $
Чтобы найти $x$, нужно 90 разделить на $ \frac{2}{5} $. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:
$ x = 90 \div \frac{2}{5} = 90 \cdot \frac{5}{2} = \frac{90 \cdot 5}{2} = \frac{450}{2} = 225 $
Ответ: 225

2) Аналогично, найдем число, если $ \frac{3}{10} $ его составляют 90.
Обозначим искомое число как $x$. Составим уравнение:
$ \frac{3}{10} \cdot x = 90 $
Найдем $x$, разделив 90 на $ \frac{3}{10} $:
$ x = 90 \div \frac{3}{10} = 90 \cdot \frac{10}{3} = \frac{90 \cdot 10}{3} = \frac{900}{3} = 300 $
Ответ: 300

3) Теперь найдем число, если $ \frac{5}{6} $ его составляют 90.
Обозначим искомое число как $x$. Составим уравнение:
$ \frac{5}{6} \cdot x = 90 $
Найдем $x$, разделив 90 на $ \frac{5}{6} $:
$ x = 90 \div \frac{5}{6} = 90 \cdot \frac{6}{5} = \frac{90 \cdot 6}{5} = \frac{540}{5} = 108 $
Ответ: 108

368. В саду растёт 24 вишни, что составляет $\frac{2}{9}$ всех деревьев сада. Сколько всего деревьев растёт в саду?

Для решения этой задачи нам нужно найти целое число по его части. Нам известно, что 24 вишни — это $\frac{2}{9}$ от общего количества деревьев в саду.

1. Найдем, сколько деревьев составляет $\frac{1}{9}$ часть сада.
Если $\frac{2}{9}$ всех деревьев — это 24, то чтобы найти $\frac{1}{9}$, нужно разделить 24 на 2:

$24 : 2 = 12$ (деревьев) — составляет $\frac{1}{9}$ всех деревьев.

2. Найдем общее количество деревьев.
Все деревья в саду составляют целое, то есть $\frac{9}{9}$. Если $\frac{1}{9}$ — это 12 деревьев, то чтобы найти общее количество, нужно 12 умножить на 9:

$12 \cdot 9 = 108$ (деревьев).

Альтернативный способ (через уравнение):
Пусть $x$ — это общее количество деревьев в саду. Тогда, согласно условию:

$\frac{2}{9} \cdot x = 24$

Чтобы найти $x$, разделим 24 на дробь $\frac{2}{9}$:

$x = 24 : \frac{2}{9} = 24 \cdot \frac{9}{2} = \frac{24 \cdot 9}{2} = 12 \cdot 9 = 108$

Ответ: 108 деревьев.

369. За контрольную работу по математике оценку «4» получили 12 учащихся, что составляло $\frac{4}{11}$ учащихся класса. Сколько учащихся в этом классе?

Согласно условию, 12 учащихся, которые получили оценку «4», составляют $ \frac{4}{11} $ от общего числа учащихся в классе. Нам нужно найти общее число учащихся, то есть найти целое по его части.

Чтобы найти целое число, зная его часть, выраженную дробью, нужно эту часть (в данном случае 12) разделить на эту дробь (на $ \frac{4}{11} $).

Выполним деление:

$ 12 \div \frac{4}{11} $

Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную ей дробь. Обратная дробь для $ \frac{4}{11} $ — это $ \frac{11}{4} $.

$ 12 \cdot \frac{11}{4} = \frac{12 \cdot 11}{4} $

Сократим числитель и знаменатель на 4:

$ \frac{_3\cancel{12} \cdot 11}{\cancel{4}_1} = 3 \cdot 11 = 33 $

Таким образом, в классе всего 33 учащихся.

Ответ: 33 учащихся.

370. Какие цифры можно поставить вместо звёздочки, чтобы дробь $\frac{372}{3 * 7}$ была правильной?

Правильной называется дробь, у которой числитель меньше знаменателя. В задаче дана дробь $\frac{372}{3*7}$, где числитель равен 372, а знаменатель — это трёхзначное число $3*7$.

Чтобы дробь была правильной, должно выполняться неравенство:

$372 < 3*7$

Сравним поразрядно числитель 372 и знаменатель $3*7$, где звёздочка обозначает неизвестную цифру.

Цифра в разряде сотен у обоих чисел одинаковая — 3.

Чтобы знаменатель был больше числителя, нам нужно сравнить их, начиная со следующего старшего разряда — разряда десятков.

Рассмотрим, какие цифры можно подставить вместо звёздочки:

1. Если вместо звёздочки поставить цифру, которая меньше 7 (то есть 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6), то знаменатель получится меньше 370 (например, 307, 317, ..., 367). Любое из этих чисел меньше, чем 372. Следовательно, эти цифры не подходят.

2. Если на место звёздочки поставить цифру 7, знаменатель станет равен 377. Сравним: $372 < 377$. Неравенство верное, так как при равных сотнях и десятках, цифра единиц у знаменателя (7) больше, чем у числителя (2). Значит, цифра 7 подходит.

3. Если на место звёздочки поставить цифру, которая больше 7 (то есть 8 или 9), то знаменатель станет равен 387 или 397. В обоих случаях он будет очевидно больше 372, так как цифра в разряде десятков (8 или 9) будет больше, чем у числителя (7). Неравенства $372 < 387$ и $372 < 397$ верны. Значит, цифры 8 и 9 тоже подходят.

Таким образом, чтобы дробь была правильной, вместо звёздочки можно поставить цифры 7, 8 или 9.

Ответ: 7, 8, 9.

371. Какие цифры можно поставить вместо звёздочки, чтобы дробь $ \frac{2\text{*}5}{265} $ была неправильной?

Дробь является неправильной, если её числитель больше или равен знаменателю. В данном случае дана дробь $\frac{2*5}{265}$.

Чтобы эта дробь была неправильной, должно выполняться неравенство, в котором числитель больше или равен знаменателю:

$2*5 \ge 265$

Здесь $2*5$ — это трехзначное число, у которого цифра десятков неизвестна и обозначена звёздочкой (*). Нам нужно найти все возможные цифры (от 0 до 9), которые можно подставить вместо звёздочки, чтобы неравенство было верным.

Сравним левую и правую части неравенства. Цифры в разряде сотен у обоих чисел одинаковы и равны 2. Чтобы число $2*5$ было больше или равно числу $265$, его цифра в разряде десятков ($*$) должна быть больше или равна цифре в разряде десятков второго числа, то есть 6.

Таким образом, подходящими являются цифры, которые больше или равны 6.

Проверим эти цифры:
- Если вместо звёздочки подставить 6, получим $265 \ge 265$. Неравенство верно.
- Если вместо звёздочки подставить 7, получим $275 \ge 265$. Неравенство верно.
- Если вместо звёздочки подставить 8, получим $285 \ge 265$. Неравенство верно.
- Если вместо звёздочки подставить 9, получим $295 \ge 265$. Неравенство верно.

Если подставить любую цифру меньше 6 (например, 5), то числитель будет меньше знаменателя ($255 < 265$), и дробь будет правильной.

Ответ: 6, 7, 8, 9.

372. Какое наибольшее натуральное число удовлетворяет неравенству:

1) $n < \frac{70}{18};$

2) $\frac{117}{35} > n?$

1) Чтобы найти наибольшее натуральное число $n$, удовлетворяющее неравенству $n < \frac{70}{18}$, необходимо определить значение дроби в правой части.

Преобразуем неправильную дробь $\frac{70}{18}$ в смешанное число. Для этого разделим числитель на знаменатель с остатком:

$70 \div 18 = 3$ (остаток $16$).

Таким образом, мы можем записать: $\frac{70}{18} = 3\frac{16}{18}$.

Сократим дробную часть полученного смешанного числа:

$\frac{16}{18} = \frac{16 \div 2}{18 \div 2} = \frac{8}{9}$.

Следовательно, $\frac{70}{18} = 3\frac{8}{9}$.

Теперь неравенство имеет вид: $n < 3\frac{8}{9}$.

По условию, $n$ является натуральным числом. Натуральные числа, которые меньше $3\frac{8}{9}$, — это 1, 2 и 3. Наибольшее из этих чисел — 3.

Ответ: 3

2) Рассмотрим неравенство $\frac{117}{35} > n$. Его можно переписать в более привычном виде: $n < \frac{117}{35}$.

Чтобы найти наибольшее натуральное число $n$, преобразуем неправильную дробь $\frac{117}{35}$ в смешанное число. Разделим числитель на знаменатель с остатком:

$117 \div 35 = 3$ (остаток $12$).

Это означает, что $117 = 3 \times 35 + 12$.

Таким образом, мы можем записать дробь в виде смешанного числа:

$\frac{117}{35} = 3\frac{12}{35}$.

Теперь неравенство имеет вид: $n < 3\frac{12}{35}$.

Так как $n$ — натуральное число, нам нужно найти наибольшее натуральное число, которое меньше $3\frac{12}{35}$. Этому условию удовлетворяют числа 1, 2 и 3. Наибольшее из них — 3.

Ответ: 3

373. Какое наименьшее натуральное число удовлетворяет неравенству:

1) $m > \frac{25}{6};$

2) $\frac{173}{20} < m?$

1) Чтобы найти наименьшее натуральное число $m$, удовлетворяющее неравенству $m > \frac{25}{6}$, необходимо сначала преобразовать неправильную дробь $\frac{25}{6}$ в смешанное число.
Для этого разделим числитель 25 на знаменатель 6 с остатком:
$25 \div 6 = 4$ (остаток $1$).
Таким образом, $\frac{25}{6} = 4\frac{1}{6}$.
Теперь неравенство имеет вид: $m > 4\frac{1}{6}$.
Натуральные числа — это целые положительные числа (1, 2, 3, 4, 5, ...). Нам нужно найти самое маленькое натуральное число, которое больше, чем $4\frac{1}{6}$. Следующее за 4 натуральное число — это 5. Так как $5 > 4\frac{1}{6}$, то 5 является наименьшим натуральным числом, удовлетворяющим данному неравенству.
Ответ: 5

2) Чтобы найти наименьшее натуральное число $m$, удовлетворяющее неравенству $\frac{173}{20} < m$, преобразуем дробь $\frac{173}{20}$ в смешанное число.
Разделим числитель 173 на знаменатель 20 с остатком:
$173 \div 20 = 8$ (остаток $13$).
Следовательно, $\frac{173}{20} = 8\frac{13}{20}$.
Неравенство можно переписать в виде: $m > 8\frac{13}{20}$.
Мы ищем наименьшее натуральное число, которое больше $8\frac{13}{20}$. Следующее за 8 натуральное число — это 9. Так как $9 > 8\frac{13}{20}$, то 9 является наименьшим натуральным числом, которое удовлетворяет данному условию.
Ответ: 9

374. Сократите:

1) $ \frac{8 \cdot 14 + 8 \cdot 5}{16 \cdot 57} $;

2) $ \frac{13 \cdot 21}{13 \cdot 9 - 13 \cdot 2} $;

3) $ \frac{18 \cdot 3 + 7 \cdot 18}{90 \cdot 11 - 6 \cdot 90} $

1) Чтобы сократить дробь $ \frac{8 \cdot 14 + 8 \cdot 5}{16 \cdot 57} $, воспользуемся распределительным свойством умножения и вынесем общий множитель за скобки в числителе.

В числителе общий множитель — это 8. Выносим его за скобки:
$ 8 \cdot 14 + 8 \cdot 5 = 8 \cdot (14 + 5) = 8 \cdot 19 $.

Теперь наша дробь выглядит так:
$ \frac{8 \cdot 19}{16 \cdot 57} $.

Чтобы сократить дробь, разложим числа в знаменателе на множители. Мы знаем, что $ 16 = 2 \cdot 8 $ и $ 57 = 3 \cdot 19 $.
Подставим эти значения в знаменатель:
$ \frac{8 \cdot 19}{(2 \cdot 8) \cdot (3 \cdot 19)} $.

Теперь мы можем сократить одинаковые множители в числителе и знаменателе (8 и 19):
$ \frac{\cancel{8} \cdot \cancel{19}}{2 \cdot \cancel{8} \cdot 3 \cdot \cancel{19}} = \frac{1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{6} $.

Ответ: $ \frac{1}{6} $.

2) Рассмотрим дробь $ \frac{13 \cdot 21}{13 \cdot 9 - 13 \cdot 2} $.

В знаменателе есть общий множитель 13. Вынесем его за скобки, используя распределительное свойство умножения:
$ 13 \cdot 9 - 13 \cdot 2 = 13 \cdot (9 - 2) = 13 \cdot 7 $.

Подставим полученное выражение в знаменатель дроби:
$ \frac{13 \cdot 21}{13 \cdot 7} $.

Сократим общий множитель 13 в числителе и знаменателе:
$ \frac{\cancel{13} \cdot 21}{\cancel{13} \cdot 7} = \frac{21}{7} $.

Выполним деление:
$ \frac{21}{7} = 3 $.

Ответ: $ 3 $.

3) Дана дробь $ \frac{18 \cdot 3 + 7 \cdot 18}{90 \cdot 11 - 6 \cdot 90} $.

Сначала упростим числитель, вынеся общий множитель 18 за скобки:
$ 18 \cdot 3 + 7 \cdot 18 = 18 \cdot (3 + 7) = 18 \cdot 10 $.

Теперь упростим знаменатель, вынеся общий множитель 90 за скобки:
$ 90 \cdot 11 - 6 \cdot 90 = 90 \cdot (11 - 6) = 90 \cdot 5 $.

Наша дробь принимает вид:
$ \frac{18 \cdot 10}{90 \cdot 5} $.

Для дальнейшего сокращения представим число 90 в знаменателе как $ 9 \cdot 10 $:
$ \frac{18 \cdot 10}{(9 \cdot 10) \cdot 5} $.

Сократим общий множитель 10:
$ \frac{18 \cdot \cancel{10}}{9 \cdot \cancel{10} \cdot 5} = \frac{18}{9 \cdot 5} $.

Теперь сократим 18 и 9, так как $ 18 = 2 \cdot 9 $:
$ \frac{2 \cdot 9}{9 \cdot 5} = \frac{2 \cdot \cancel{9}}{\cancel{9} \cdot 5} = \frac{2}{5} $.

Ответ: $ \frac{2}{5} $.

375. Сократите:

1) $\frac{8 \cdot 17}{2 \cdot 29 + 2 \cdot 22}$;

2) $\frac{19 \cdot 35 - 35 \cdot 4}{12 \cdot 21}$;

3) $\frac{24 \cdot 11 + 24 \cdot 3}{41 \cdot 30 - 30 \cdot 9}$.

1) Чтобы сократить дробь $ \frac{8 \cdot 17}{2 \cdot 29 + 2 \cdot 22} $, сначала упростим знаменатель, вынеся за скобки общий множитель 2:
$ 2 \cdot 29 + 2 \cdot 22 = 2 \cdot (29 + 22) = 2 \cdot 51 $
Подставим полученное выражение обратно в дробь:
$ \frac{8 \cdot 17}{2 \cdot 51} $
Теперь сократим дробь. Разделим 8 и 2 на 2, а также 17 и 51 на 17:
$ \frac{8 \cdot 17}{2 \cdot 51} = \frac{4 \cdot 17}{51} = \frac{4 \cdot 1}{3} = \frac{4}{3} $
Ответ: $ \frac{4}{3} $.

2) Чтобы сократить дробь $ \frac{19 \cdot 35 - 35 \cdot 4}{12 \cdot 21} $, сначала упростим числитель, вынеся за скобки общий множитель 35:
$ 19 \cdot 35 - 35 \cdot 4 = 35 \cdot (19 - 4) = 35 \cdot 15 $
Подставим полученное выражение в дробь:
$ \frac{35 \cdot 15}{12 \cdot 21} $
Теперь сократим дробь. Сократим 35 и 21 на 7, а также 15 и 12 на 3:
$ \frac{35 \cdot 15}{12 \cdot 21} = \frac{(5 \cdot 7) \cdot (5 \cdot 3)}{(4 \cdot 3) \cdot (3 \cdot 7)} = \frac{5 \cdot 5}{4 \cdot 3} = \frac{25}{12} $
Ответ: $ \frac{25}{12} $.

3) Чтобы сократить дробь $ \frac{24 \cdot 11 + 24 \cdot 3}{41 \cdot 30 - 30 \cdot 9} $, вынесем общие множители за скобки в числителе и знаменателе.
В числителе общий множитель 24:
$ 24 \cdot 11 + 24 \cdot 3 = 24 \cdot (11 + 3) = 24 \cdot 14 $
В знаменателе общий множитель 30:
$ 41 \cdot 30 - 30 \cdot 9 = 30 \cdot (41 - 9) = 30 \cdot 32 $
Дробь принимает вид:
$ \frac{24 \cdot 14}{30 \cdot 32} $
Теперь последовательно сократим дробь. Сократим 24 и 30 на 6:
$ \frac{4 \cdot 14}{5 \cdot 32} $
Сократим 14 и 32 на 2:
$ \frac{4 \cdot 7}{5 \cdot 16} $
Сократим 4 и 16 на 4:
$ \frac{1 \cdot 7}{5 \cdot 4} = \frac{7}{20} $
Ответ: $ \frac{7}{20} $.

376. Найдите все натуральные значения x, при которых верно неравенство:

1) $\frac{11}{17} < \frac{x}{17} < 1$;

2) $\frac{1}{6} < \frac{x}{12} < \frac{2}{3}$.

Рассмотрим неравенство $\frac{11}{17} < \frac{x}{17} < 1$.
Чтобы найти натуральные значения $x$, преобразуем правую часть неравенства, представив 1 в виде дроби со знаменателем 17: $1 = \frac{17}{17}$.
Теперь неравенство можно записать в виде: $\frac{11}{17} < \frac{x}{17} < \frac{17}{17}$.
Поскольку знаменатели всех дробей в неравенстве одинаковы и положительны, мы можем сравнить их числители. Это дает нам новое неравенство: $11 < x < 17$.
Согласно условию, $x$ является натуральным числом. Натуральные числа, которые удовлетворяют этому неравенству, — это все целые числа, которые больше 11 и меньше 17.
К таким числам относятся: 12, 13, 14, 15, 16.

Ответ: 12, 13, 14, 15, 16.

Рассмотрим неравенство $\frac{1}{6} < \frac{x}{12} < \frac{2}{3}$.
Чтобы решить это неравенство, необходимо привести все дроби к общему знаменателю. Наименьшим общим знаменателем для чисел 6, 12 и 3 является 12.
Приведем дроби $\frac{1}{6}$ и $\frac{2}{3}$ к знаменателю 12:
$\frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{2}{12}$
$\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{8}{12}$
Теперь подставим полученные дроби в исходное неравенство:
$\frac{2}{12} < \frac{x}{12} < \frac{8}{12}$.
Так как знаменатели всех дробей одинаковы и положительны, мы можем перейти к неравенству для числителей: $2 < x < 8$.
Нам нужно найти все натуральные значения $x$, которые удовлетворяют этому неравенству. Натуральные числа, которые больше 2 и меньше 8, это: 3, 4, 5, 6, 7.

Ответ: 3, 4, 5, 6, 7.

377. Найдите все натуральные значения x, при которых верно неравенство:

1) $\frac{11}{21} < \frac{x}{21} < 1;$

2) $\frac{1}{4} < \frac{x}{28} < \frac{5}{14}.$

1) Чтобы найти все натуральные значения $x$, удовлетворяющие неравенству $ \frac{11}{21} < \frac{x}{21} < 1 $, приведем все части неравенства к общему знаменателю.

Представим число 1 в виде дроби со знаменателем 21: $ 1 = \frac{21}{21} $.

Теперь неравенство можно переписать в следующем виде:

$ \frac{11}{21} < \frac{x}{21} < \frac{21}{21} $

Поскольку знаменатели у всех дробей одинаковы, мы можем сравнить их числители. Так как знаменатель положителен, знаки неравенства сохраняются:

$ 11 < x < 21 $

Нам нужно найти все натуральные (целые положительные) числа $x$, которые больше 11 и меньше 21. Это числа: 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20.

Ответ: 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20.

2) Рассмотрим неравенство $ \frac{1}{4} < \frac{x}{28} < \frac{5}{14} $.

Для решения приведем все дроби к общему знаменателю. Наименьшим общим знаменателем для чисел 4, 28 и 14 является 28.

Приведем дроби к знаменателю 28:

$ \frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 7}{4 \cdot 7} = \frac{7}{28} $

$ \frac{5}{14} = \frac{5 \cdot 2}{14 \cdot 2} = \frac{10}{28} $

Теперь подставим эти значения в исходное неравенство:

$ \frac{7}{28} < \frac{x}{28} < \frac{10}{28} $

Так как знаменатели всех дробей одинаковы и положительны, можно перейти к сравнению числителей:

$ 7 < x < 10 $

Ищем натуральные числа $x$, которые больше 7 и меньше 10. Такими числами являются 8 и 9.

Ответ: 8, 9.