Номер 406, страница 84 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 8. Обыкновенные дроби. Глава 3. Дроби - номер 406, страница 84.

Условие.

406. Первый тракторист может вспахать поле за 12 ч, а второй – за 24 ч. За сколько часов они могут вместе вспахать поле? Какую часть поля при этом вспашет каждый из них?

Решение.

Решение 2.

За сколько часов они могут вместе вспахать поле?

Для решения этой задачи необходимо сначала определить производительность каждого тракториста, то есть какую часть поля каждый из них вспахивает за один час.

1. Производительность первого тракториста:
Если он вспахивает все поле (которое мы принимаем за 1) за 12 часов, то его производительность составляет $ \frac{1}{12} $ поля в час.

2. Производительность второго тракториста:
Если он вспахивает все поле за 24 часа, то его производительность составляет $ \frac{1}{24} $ поля в час.

3. Совместная производительность:
Чтобы найти, какую часть поля они вспашут вместе за один час, нужно сложить их производительности:
$ \frac{1}{12} + \frac{1}{24} = \frac{2}{24} + \frac{1}{24} = \frac{3}{24} = \frac{1}{8} $
Вместе они вспахивают $ \frac{1}{8} $ поля в час.

4. Время на выполнение всей работы вместе:
Чтобы найти общее время, нужно всю работу (1) разделить на их совместную производительность ($ \frac{1}{8} $):
$ t = 1 \div \frac{1}{8} = 1 \times 8 = 8 $ часов.

Ответ: вместе они могут вспахать поле за 8 часов.

Какую часть поля при этом вспашет каждый из них?

Чтобы найти, какую часть поля вспашет каждый, нужно производительность каждого тракториста умножить на общее время работы (8 часов).

1. Часть поля, вспаханная первым трактористом:
$ \frac{1}{12} \text{ (поля/час)} \times 8 \text{ (часов)} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} $ поля.

2. Часть поля, вспаханная вторым трактористом:
$ \frac{1}{24} \text{ (поля/час)} \times 8 \text{ (часов)} = \frac{8}{24} = \frac{1}{3} $ поля.

Проверка: $ \frac{2}{3} + \frac{1}{3} = \frac{3}{3} = 1 $ (все поле).

Ответ: первый тракторист вспашет $ \frac{2}{3} $ поля, а второй — $ \frac{1}{3} $ поля.