Номер 399, страница 83 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 8. Обыкновенные дроби. Глава 3. Дроби - номер 399, страница 83.

Условие.

399. Решите уравнение:

1) $7\frac{3}{10} + \frac{25}{28}x = 8\frac{13}{35}$;

2) $\frac{3}{8}x + \frac{7}{12}x - \frac{5}{6}x = \frac{9}{32}$;

3) $2\frac{1}{3} : x - 1\frac{1}{6} = 1\frac{5}{9}$;

4) $2\frac{1}{3} : \left(x - 1\frac{1}{6}\right) = 1\frac{5}{9}$.

Решение.

Решение 2.

1) $7\frac{3}{10} + \frac{25}{28}x = 8\frac{13}{35}$

Перенесем $7\frac{3}{10}$ в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:

$\frac{25}{28}x = 8\frac{13}{35} - 7\frac{3}{10}$

Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$8\frac{13}{35} = \frac{8 \cdot 35 + 13}{35} = \frac{280 + 13}{35} = \frac{293}{35}$

$7\frac{3}{10} = \frac{7 \cdot 10 + 3}{10} = \frac{73}{10}$

Подставим дроби в уравнение и найдем разность, приведя дроби к общему знаменателю 70 (НОК(35, 10) = 70):

$\frac{25}{28}x = \frac{293}{35} - \frac{73}{10} = \frac{293 \cdot 2}{35 \cdot 2} - \frac{73 \cdot 7}{10 \cdot 7} = \frac{586}{70} - \frac{511}{70} = \frac{75}{70}$

Сократим полученную дробь:

$\frac{75}{70} = \frac{15}{14}$

Теперь уравнение имеет вид:

$\frac{25}{28}x = \frac{15}{14}$

Найдем $x$, разделив правую часть на коэффициент при $x$:

$x = \frac{15}{14} : \frac{25}{28} = \frac{15}{14} \cdot \frac{28}{25} = \frac{15 \cdot 28}{14 \cdot 25} = \frac{(3 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 14)}{14 \cdot (5 \cdot 5)} = \frac{3 \cdot 2}{5} = \frac{6}{5}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$x = 1\frac{1}{5}$

Ответ: $1\frac{1}{5}$.

2) $\frac{3}{8}x + \frac{7}{12}x - \frac{5}{6}x = \frac{9}{32}$

Вынесем $x$ за скобки:

$(\frac{3}{8} + \frac{7}{12} - \frac{5}{6})x = \frac{9}{32}$

Выполним действия в скобках, приведя дроби к общему знаменателю 24 (НОК(8, 12, 6) = 24):

$\frac{3 \cdot 3}{8 \cdot 3} + \frac{7 \cdot 2}{12 \cdot 2} - \frac{5 \cdot 4}{6 \cdot 4} = \frac{9}{24} + \frac{14}{24} - \frac{20}{24} = \frac{9 + 14 - 20}{24} = \frac{3}{24}$

Сократим полученную дробь:

$\frac{3}{24} = \frac{1}{8}$

Уравнение принимает вид:

$\frac{1}{8}x = \frac{9}{32}$

Найдем $x$:

$x = \frac{9}{32} : \frac{1}{8} = \frac{9}{32} \cdot 8 = \frac{9 \cdot 8}{32} = \frac{9}{4}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$x = 2\frac{1}{4}$

Ответ: $2\frac{1}{4}$.

3) $2\frac{1}{3} : x - 1\frac{1}{6} = 1\frac{5}{9}$

В данном уравнении $2\frac{1}{3} : x$ является уменьшаемым. Чтобы его найти, нужно к разности прибавить вычитаемое:

$2\frac{1}{3} : x = 1\frac{5}{9} + 1\frac{1}{6}$

Преобразуем все смешанные числа в неправильные дроби:

$2\frac{1}{3} = \frac{7}{3}$; $1\frac{5}{9} = \frac{14}{9}$; $1\frac{1}{6} = \frac{7}{6}$

Уравнение принимает вид:

$\frac{7}{3} : x = \frac{14}{9} + \frac{7}{6}$

Выполним сложение в правой части, приведя дроби к общему знаменателю 18 (НОК(9, 6) = 18):

$\frac{14 \cdot 2}{9 \cdot 2} + \frac{7 \cdot 3}{6 \cdot 3} = \frac{28}{18} + \frac{21}{18} = \frac{49}{18}$

Получаем уравнение:

$\frac{7}{3} : x = \frac{49}{18}$

Чтобы найти неизвестный делитель $x$, нужно делимое разделить на частное:

$x = \frac{7}{3} : \frac{49}{18} = \frac{7}{3} \cdot \frac{18}{49} = \frac{7 \cdot 18}{3 \cdot 49} = \frac{1 \cdot 6}{1 \cdot 7} = \frac{6}{7}$

Ответ: $\frac{6}{7}$.

4) $2\frac{1}{3} : (x - 1\frac{1}{6}) = 1\frac{5}{9}$

В данном уравнении выражение в скобках $(x - 1\frac{1}{6})$ является неизвестным делителем. Чтобы его найти, нужно делимое разделить на частное.

Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$2\frac{1}{3} = \frac{7}{3}$; $1\frac{1}{6} = \frac{7}{6}$; $1\frac{5}{9} = \frac{14}{9}$

Уравнение принимает вид:

$\frac{7}{3} : (x - \frac{7}{6}) = \frac{14}{9}$

Находим выражение в скобках:

$x - \frac{7}{6} = \frac{7}{3} : \frac{14}{9} = \frac{7}{3} \cdot \frac{9}{14} = \frac{7 \cdot 9}{3 \cdot 14} = \frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 2} = \frac{3}{2}$

Теперь решаем простое уравнение:

$x - \frac{7}{6} = \frac{3}{2}$

Чтобы найти уменьшаемое $x$, нужно к разности прибавить вычитаемое:

$x = \frac{3}{2} + \frac{7}{6}$

Приведем дроби к общему знаменателю 6:

$x = \frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{7}{6} = \frac{9}{6} + \frac{7}{6} = \frac{16}{6}$

Сократим дробь и преобразуем ее в смешанное число:

$x = \frac{16}{6} = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3}$

Ответ: $2\frac{2}{3}$.