Номер 405, страница 84 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 8. Обыкновенные дроби. Глава 3. Дроби - номер 405, страница 84.

Условие.

405. Первый рабочий может выполнить задание за 45 ч, а второй – за 30 ч. За сколько часов они выполнят это задание, работая вместе? Какую часть задания при этом выполнит каждый из них?

Решение.

Решение 2.

Для решения задачи примем весь объем работы за 1 (единицу).

За сколько часов они выполнят это задание, работая вместе?

1. Определим производительность каждого рабочего. Производительность — это часть работы, которую рабочий выполняет за 1 час.

• Производительность первого рабочего: $P_1 = \frac{1}{45}$ задания в час.
• Производительность второго рабочего: $P_2 = \frac{1}{30}$ задания в час.

2. Найдем общую производительность при совместной работе, сложив их индивидуальные производительности.

$P_{общ} = P_1 + P_2 = \frac{1}{45} + \frac{1}{30}$

Для сложения дробей приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 45 и 30 — это 90.

$P_{общ} = \frac{2}{90} + \frac{3}{90} = \frac{5}{90}$

Сократим полученную дробь:

$P_{общ} = \frac{5 \div 5}{90 \div 5} = \frac{1}{18}$ задания в час.

3. Теперь найдем общее время ($T_{общ}$), за которое они выполнят всю работу. Для этого нужно весь объем работы (1) разделить на общую производительность.

$T_{общ} = \frac{1}{P_{общ}} = \frac{1}{\frac{1}{18}} = 18$ часов.

Ответ: Работая вместе, они выполнят задание за 18 часов.

Какую часть задания при этом выполнит каждый из них?

Чтобы найти, какую часть задания выполнил каждый рабочий, необходимо его индивидуальную производительность умножить на общее время работы (18 часов).

• Часть задания, выполненная первым рабочим ($W_1$):
  $W_1 = P_1 \times T_{общ} = \frac{1}{45} \times 18 = \frac{18}{45}$. Сократим дробь на 9: $W_1 = \frac{2}{5}$.
• Часть задания, выполненная вторым рабочим ($W_2$):
  $W_2 = P_2 \times T_{общ} = \frac{1}{30} \times 18 = \frac{18}{30}$. Сократим дробь на 6: $W_2 = \frac{3}{5}$.

Для проверки можно сложить выполненные части: $\frac{2}{5} + \frac{3}{5} = \frac{5}{5} = 1$, что составляет все задание.

Ответ: Первый рабочий выполнит $\frac{2}{5}$ задания, а второй — $\frac{3}{5}$ задания.