Номер 6, страница 87 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Решаем устно. Параграф 9. Десятичные дроби. Глава 3. Дроби - номер 6, страница 87.

Условие.

6. Сократимой или несократимой дробью является значение выражения $ \frac{4563}{10^3-1} $?

Решение.

Решение 2.

Для того чтобы определить, является ли значение выражения сократимой или несократимой дробью, нужно выяснить, имеют ли числитель и знаменатель этой дроби общие делители, отличные от 1.

Рассмотрим выражение $\frac{4563}{10^3 - 1}$.

Сначала упростим знаменатель:$10^3 - 1 = 1000 - 1 = 999$.

Таким образом, нам нужно проанализировать дробь $\frac{4563}{999}$.

Дробь является сократимой, если ее числитель и знаменатель имеют общий делитель больше 1. Воспользуемся признаками делимости, чтобы найти общие делители.

Проверим делимость на 3. Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.

• Для числителя 4563: сумма цифр равна $4 + 5 + 6 + 3 = 18$. Так как 18 делится на 3, то и число 4563 делится на 3.
• Для знаменателя 999: сумма цифр равна $9 + 9 + 9 = 27$. Так как 27 делится на 3, то и число 999 делится на 3.

Поскольку и числитель, и знаменатель делятся на 3, у них есть общий делитель, равный 3. Этого достаточно, чтобы утверждать, что дробь является сократимой.

Можно также найти наибольший общий делитель (НОД) этих чисел, чтобы полностью сократить дробь.$999 = 9 \times 111 = 9 \times 3 \times 37 = 3^3 \times 37$.Проверим, делится ли 4563 на 27 ($3^3$):Сумма цифр 4563 равна 18, что делится на 9. Значит, 4563 делится на 9.$4563 \div 9 = 507$.Сумма цифр 507 равна $5 + 0 + 7 = 12$, что делится на 3. Значит, 507 делится на 3.$507 \div 3 = 169$.Следовательно, $4563 = 9 \times 507 = 9 \times 3 \times 169 = 27 \times 169$.

Теперь мы можем сократить дробь:$\frac{4563}{999} = \frac{27 \times 169}{27 \times 37} = \frac{169}{37}$.

Так как исходная дробь была успешно сокращена, она является сократимой.

Ответ: сократимой.