Страница 67 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

288. Найдите сумму длин всех рёбер, площадь поверхности и объём прямоугольного параллелепипеда, измерения которого равны 5 см, 6 см и 10 см.

Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда равны $a = 5$ см (длина), $b = 6$ см (ширина) и $c = 10$ см (высота).

Сумма длин всех рёбер
Прямоугольный параллелепипед имеет 12 рёбер: по 4 ребра каждой длины. Сумма длин всех рёбер ($L$) вычисляется по формуле:
$L = 4(a + b + c)$
Подставим значения измерений:
$L = 4(5 + 6 + 10) = 4 \cdot 21 = 84$ см.
Ответ: 84 см.

Площадь поверхности
Площадь полной поверхности ($S$) прямоугольного параллелепипеда равна сумме площадей всех его шести граней. Поскольку противоположные грани равны, формула для вычисления имеет вид:
$S = 2(ab + bc + ac)$
Подставим значения измерений:
$S = 2(5 \cdot 6 + 6 \cdot 10 + 5 \cdot 10) = 2(30 + 60 + 50) = 2 \cdot 140 = 280$ см².
Ответ: 280 см².

Объём
Объём ($V$) прямоугольного параллелепипеда вычисляется как произведение трёх его измерений:
$V = a \cdot b \cdot c$
Подставим значения измерений:
$V = 5 \cdot 6 \cdot 10 = 300$ см³.
Ответ: 300 см³.

289. Найдите сумму длин всех рёбер, площадь поверхности и объём куба, ребро которого равно 4 см.

По условию задачи, длина ребра куба $a = 4$ см.

Сумма длин всех рёбер
Куб имеет 12 рёбер одинаковой длины. Сумма длин всех рёбер ($L$) вычисляется по формуле:
$L = 12 \cdot a$
Подставляем значение длины ребра:
$L = 12 \cdot 4 = 48 \text{ см}$
Ответ: $48 \text{ см}$.

Площадь поверхности
Поверхность куба состоит из 6 одинаковых граней, каждая из которых является квадратом со стороной $a$. Площадь поверхности ($S$) равна сумме площадей всех граней и вычисляется по формуле:
$S = 6 \cdot a^2$
Подставляем значение длины ребра:
$S = 6 \cdot 4^2 = 6 \cdot 16 = 96 \text{ см}^2$
Ответ: $96 \text{ см}^2$.

Объём куба
Объём куба ($V$) вычисляется как длина его ребра, возведённая в третью степень, по формуле:
$V = a^3$
Подставляем значение длины ребра:
$V = 4^3 = 64 \text{ см}^3$
Ответ: $64 \text{ см}^3$.

290. На рисунке 83 изображена пирамида $MABC$. Укажите:

1) основание пирамиды;

2) вершину пирамиды;

3) боковые грани пирамиды;

4) боковые рёбра пирамиды;

5) рёбра основания пирамиды;

6) сколько эта пирамида имеет вершин, граней, рёбер.

Рис. 83

1) основание пирамиды

Основание пирамиды — это многоугольник, из вершин которого выходят боковые рёбра, сходящиеся в одной точке (вершине пирамиды). В пирамиде MABC основанием является треугольник, образованный вершинами A, B и C.

Ответ: треугольник ABC ( $\triangle ABC$ ).

2) вершину пирамиды

Вершина пирамиды — это точка, не лежащая в плоскости основания и соединённая рёбрами со всеми вершинами основания. Для пирамиды MABC такой точкой является M.

Ответ: точка M.

3) боковые грани пирамиды

Боковые грани — это треугольники, которые имеют общую вершину (вершину пирамиды) и одну сторону, совпадающую со стороной основания. У пирамиды MABC боковыми гранями являются треугольники, сходящиеся в вершине M: MAB, MBC и MAC.

Ответ: треугольники MAB, MBC, MAC ( $\triangle MAB$, $\triangle MBC$, $\triangle MAC$ ).

4) боковые рёбра пирамиды

Боковые рёбра — это отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами её основания. В данном случае это отрезки, исходящие из вершины M к вершинам основания A, B и C.

Ответ: рёбра MA, MB, MC.

5) рёбра основания пирамиды

Рёбра основания — это стороны многоугольника, лежащего в основании. Так как основанием является треугольник ABC, его рёбрами (сторонами) являются отрезки AB, BC и AC.

Ответ: рёбра AB, BC, AC.

6) сколько эта пирамида имеет вершин, граней, рёбер

Для определения количества элементов пирамиды MABC (треугольной пирамиды) подсчитаем их:

• Вершины: точки, в которых сходятся рёбра. Это вершины основания (A, B, C) и вершина пирамиды (M). Всего 4 вершины.
• Грани: плоские поверхности, ограничивающие пирамиду. Это основание ( $\triangle ABC$ ) и три боковые грани ( $\triangle MAB$, $\triangle MBC$, $\triangle MAC$ ). Всего 4 грани.
• Рёбра: отрезки, по которым пересекаются грани. Это три ребра основания (AB, BC, AC) и три боковых ребра (MA, MB, MC). Всего 6 рёбер.

Ответ: 4 вершины, 4 грани, 6 рёбер.

291. На рисунке 84 изображена пирамида $SABCD$. Укажите:

1) основание пирамиды;

2) вершину пирамиды;

3) боковые грани пирамиды;

4) боковые рёбра пирамиды;

5) рёбра основания пирамиды;

6) сколько эта пирамида имеет вершин, граней, рёбер.

Рис. 84

1) основание пирамиды

Основанием пирамиды является многоугольник, на котором она "стоит". В данном случае, судя по рисунку и обозначению $SABCD$, основанием является четырехугольник $ABCD$.

Ответ: четырехугольник $ABCD$.

2) вершину пирамиды

Вершина пирамиды — это точка, в которой сходятся все боковые грани (треугольники), и которая не лежит в плоскости основания. Для пирамиды $SABCD$ это точка $S$.

Ответ: точка $S$.

3) боковые грани пирамиды

Боковыми гранями пирамиды являются треугольники, у которых одна сторона является стороной основания, а две другие — боковыми рёбрами. В данной пирамиде это четыре треугольника, сходящиеся в вершине $S$.

Ответ: $\triangle SAB$, $\triangle SBC$, $\triangle SCD$, $\triangle SDA$.

4) боковые рёбра пирамиды

Боковые рёбра — это отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами её основания. Это отрезки, выходящие из точки $S$.

Ответ: $SA$, $SB$, $SC$, $SD$.

5) рёбра основания пирамиды

Рёбра основания — это стороны многоугольника, лежащего в основании пирамиды. Это стороны четырехугольника $ABCD$.

Ответ: $AB$, $BC$, $CD$, $DA$.

6) сколько эта пирамида имеет вершин, граней, рёбер

Чтобы определить количество вершин, граней и рёбер, подсчитаем их:

• Вершины: это точки $A$, $B$, $C$, $D$ (вершины основания) и точка $S$ (вершина пирамиды). Всего 5 вершин.
• Грани: это основание $ABCD$ и четыре боковые грани ($\triangle SAB$, $\triangle SBC$, $\triangle SCD$, $\triangle SDA$). Всего 5 граней.
• Рёбра: это четыре ребра основания ($AB$, $BC$, $CD$, $DA$) и четыре боковых ребра ($SA$, $SB$, $SC$, $SD$). Всего 8 рёбер.

Ответ: 5 вершин, 5 граней, 8 рёбер.

292. Фигуры, изображённые на рисунке 85, составлены из кубов с ребром 1 см. Найдите объём каждой фигуры.

Рис. 85

а

б

Объём фигуры, составленной из одинаковых кубов, можно найти, умножив объём одного куба на их общее количество.

По условию, ребро каждого куба равно 1 см. Найдём объём одного такого куба ($V_{куба}$):

$V_{куба} = a^3 = (1 \text{ см})^3 = 1 \text{ см}^3$.

Теперь, чтобы найти объём каждой фигуры, необходимо посчитать, из скольких кубов она состоит.

a

Для подсчета кубов в фигуре а представим её в виде набора вертикальных столбиков и посчитаем их общее количество, группируя по рядам в глубину.

• В переднем (ближайшем к нам) ряду находятся 3 столбика, каждый высотой в 1 куб. Всего: $3 \times 1 = 3$ куба.
• В среднем ряду — 4 столбика высотой в 1 куб. Всего: $4 \times 1 = 4$ куба.
• В заднем ряду — 3 столбика высотой в 1 куб и одна башня высотой в 5 кубов. Всего: $3 \times 1 + 5 = 8$ кубов.

Сложим количество кубов во всех рядах, чтобы найти их общее число ($N_a$):

$N_a = 3 + 4 + 8 = 15$ кубов.

Теперь найдём объём фигуры а ($V_a$):

$V_a = N_a \cdot V_{куба} = 15 \cdot 1 \text{ см}^3 = 15 \text{ см}^3$.

Ответ: $15 \text{ см}^3$.

б

Для подсчёта кубов в фигуре б разделим её на горизонтальные слои и посчитаем количество кубов в каждом слое, двигаясь снизу вверх.

• 1-й слой (основание): состоит из двух отдельных блоков, в каждом по 2 куба. Всего: $2 + 2 = 4$ куба.
• 2-й слой: на нём начинаются опоры арки, состоит из 2 кубов.
• 3-й слой: продолжает опоры арки и также состоит из 2 кубов.
• 4-й слой (самый верхний): это перекладина арки, состоящая из 3 кубов.

Общее количество кубов в фигуре б ($N_б$) равно сумме кубов во всех слоях:

$N_б = 4 + 2 + 2 + 3 = 11$ кубов.

Теперь найдём объём фигуры б ($V_б$):

$V_б = N_б \cdot V_{куба} = 11 \cdot 1 \text{ см}^3 = 11 \text{ см}^3$.

Ответ: $11 \text{ см}^3$.