Страница 60 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

264. Начертите окружность с центром $O$ и радиусом 3 см. Проведите прямую через точку $O$ и обозначьте точки её пересечения с окружностью буквами $A$ и $B$.

1) Как называют отрезки $OA$ и $OB$?

2) Какова длина отрезка $OA$?

3) Как называют отрезок $AB$?

4) Какова длина отрезка $AB$?

1) Как называют отрезки ОА и ОВ?
Отрезок, который соединяет центр окружности с любой точкой, лежащей на этой окружности, называется радиусом. В данной задаче точка О — центр окружности, а точки А и В лежат на ней. Следовательно, отрезки ОА и ОВ являются радиусами окружности.
Ответ: радиусы.

2) Какова длина отрезка ОА?
По условию задачи, радиус окружности равен 3 см. Так как отрезок ОА является радиусом, его длина равна длине радиуса окружности.
Ответ: 3 см.

3) Как называют отрезок АВ?
Отрезок, который соединяет две точки на окружности и проходит через её центр, называется диаметром. Отрезок АВ соединяет точки А и В, лежащие на окружности, и проходит через центр О.
Ответ: диаметр.

4) Какова длина отрезка АВ?
Длина диаметра окружности в два раза больше длины её радиуса. Длина отрезка АВ равна сумме длин отрезков (радиусов) ОА и ОВ.
$AB = OA + OB$
$AB = 3 \text{ см} + 3 \text{ см} = 6 \text{ см}$
Таким образом, длина отрезка АВ составляет 6 см.
Ответ: 6 см.

265. На рисунке 70 изображена окружность с центром $M$. Перечислите все изображённые на рисунке: 1) радиусы; 2) хорды; 3) диаметры.

Рис. 70

1) Радиусы:

$\overline{MA}$, $\overline{MB}$, $\overline{MC}$, $\overline{MD}$, $\overline{ME}$, $\overline{MF}$

2) Хорды:

$\overline{AB}$, $\overline{CD}$, $\overline{EF}$, $\overline{AD}$

3) Диаметры:

$\overline{AB}$

1) радиусы;

Радиусом окружности называется отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой, лежащей на этой окружности. На данном рисунке центр окружности обозначен точкой $M$. Точки $A, B, C$ и $D$ лежат на окружности и соединены с центром $M$.
Таким образом, на рисунке изображены следующие радиусы: $MA, MB, MC, MD$.
Ответ: $MA, MB, MC, MD$.

2) хорды;

Хордой окружности называется отрезок, соединяющий две любые точки, лежащие на этой окружности. На рисунке можно выделить следующие отрезки, концы которых находятся на окружности:

• $EF$ (концы $E$ и $F$ лежат на окружности)
• $CB$ (концы $C$ и $B$ лежат на окружности)
• $AD$ (концы $A$ и $D$ лежат на окружности)

Таким образом, все изображённые хорды — это $EF, CB$ и $AD$.
Ответ: $EF, CB, AD$.

3) диаметры.

Диаметром окружности называется хорда, которая проходит через её центр. Из всех найденных хорд ($EF, CB, AD$) через центр $M$ проходит только хорда $AD$.
Следовательно, единственным диаметром, изображённым на рисунке, является отрезок $AD$.
Ответ: $AD$.

266. На рисунке 71 изображён круг с центром О.

1) Какие из точек, обозначенных на рисунке, принадлежат кругу? не принадлежат кругу?

2) Назовите отрезки, являющиеся радиусами круга.

3) Сравните отрезки $OM$ и $OP$ с радиусом круга.

Рис. 71

1) Какие из точек, обозначенных на рисунке, принадлежат кругу? не принадлежат кругу?

Круг — это часть плоскости, которая включает в себя окружность (границу) и все точки внутри неё. Точка принадлежит кругу, если расстояние от этой точки до центра круга меньше или равно радиусу.

• Точки, расстояние от которых до центра O равно радиусу, лежат на окружности. Это точки K, N, T, S. Они принадлежат кругу.
• Точки, расстояние от которых до центра O меньше радиуса, лежат внутри круга. Это центр O и точка P. Они принадлежат кругу.
• Точки, расстояние от которых до центра O больше радиуса, лежат вне круга. Это точка M. Она не принадлежит кругу.

Ответ: Кругу принадлежат точки O, P, K, N, T, S. Кругу не принадлежит точка M.

2) Назовите отрезки, являющиеся радиусами круга.

Радиус круга — это отрезок, соединяющий центр круга с любой точкой на его окружности. Центром данного круга является точка O.

На рисунке отрезки, соединяющие центр O с точками на окружности, это:

• OK
• ON
• OT
• OS

Ответ: Радиусами круга являются отрезки OK, ON, OT, OS.

3) Сравните отрезки OM и OP с радиусом круга.

Обозначим радиус круга буквой $R$. Длина любого радиуса (например, OK) равна $R$.

• Точка P находится внутри круга. Расстояние от центра круга до любой точки внутри него всегда меньше радиуса. Длина отрезка OP — это расстояние от центра O до точки P. Следовательно, длина отрезка OP меньше радиуса круга: $OP < R$.
• Точка M находится вне круга. Расстояние от центра круга до любой точки вне его всегда больше радиуса. Длина отрезка OM — это расстояние от центра O до точки M. Следовательно, длина отрезка OM больше радиуса круга: $OM > R$.

Ответ: Длина отрезка OP меньше радиуса круга ($OP < R$), а длина отрезка OM больше радиуса круга ($OM > R$).

267. На рисунке 72 точка $O_1$ — центр круга, ограниченного окружностью голубого цвета, точка $O_2$ — центр круга, ограниченного окружностью зелёного цвета. Сравните на глаз диаметры этих кругов. Проверьте свой вывод измерением.

Рис. 72

Эта задача состоит из двух частей: визуального сравнения и проверки результата с помощью измерений. Она демонстрирует известную оптическую иллюзию Эббингауза.

Сравните на глаз диаметры этих кругов

При визуальном сравнении внутреннего круга, ограниченного голубой окружностью (с центром в точке $O_1$), и внутреннего круга, ограниченного зелёной окружностью (с центром в точке $O_2$), возникает обманчивое впечатление. Кажется, что зелёный круг больше голубого. Этот эффект возникает из-за окружающих колец: большое серое кольцо вокруг голубого круга заставляет его казаться меньше, в то время как меньшее серое кольцо вокруг зелёного круга заставляет его казаться больше.

Проверьте свой вывод измерением

Для проверки вывода, сделанного "на глаз", необходимо измерить диаметры обоих внутренних кругов с помощью линейки. Обозначим диаметр голубого круга как $d_1$, а диаметр зелёного круга как $d_2$.

Если приложить линейку к изображению и измерить диаметры, то окажется, что они равны. То есть, $d_1 = d_2$.

Таким образом, первоначальное предположение, основанное на визуальном восприятии, является неверным из-за оптической иллюзии.

Ответ: На глаз кажется, что диаметр круга, ограниченного зелёной окружностью, больше диаметра круга, ограниченного голубой окружностью. Однако проверка измерением показывает, что диаметры этих двух кругов равны.

268. Найдите диаметр окружности, радиус которой равен:

1) $14 \text{ см}$;

2) $4 \text{ см } 5 \text{ мм}$;

3) $3.6 \text{ дм}$.

Диаметр окружности ($d$) в два раза больше ее радиуса ($r$). Для нахождения диаметра используется формула: $d = 2r$.

1)

Радиус окружности равен $r = 14$ см. Чтобы найти диаметр, умножим радиус на 2:

$d = 2 \times 14 \text{ см} = 28 \text{ см}$.

Ответ: 28 см.

2)

Радиус окружности равен $r = 4$ см 5 мм. Для удобства вычислений переведем радиус в одну единицу измерения. Так как 1 см = 10 мм, то 5 мм = 0,5 см. Таким образом, радиус равен:

$r = 4 \text{ см} + 0,5 \text{ см} = 4,5 \text{ см}$.

Теперь найдем диаметр:

$d = 2 \times 4,5 \text{ см} = 9 \text{ см}$.

Ответ: 9 см.

3)

Радиус окружности равен $r = 3,6$ дм. Найдем диаметр, умножив радиус на 2:

$d = 2 \times 3,6 \text{ дм} = 7,2 \text{ дм}$.

Ответ: 7,2 дм.

269. Найдите радиус окружности, диаметр которой равен:

1) 8 см;

2) 5 см;

3) 9,2 дм.

Радиус окружности ($r$) равен половине ее диаметра ($d$). Эта зависимость выражается формулой: $r = \frac{d}{2}$.

1)

Диаметр окружности равен 8 см. Чтобы найти радиус, необходимо разделить значение диаметра на 2.

$r = \frac{8 \text{ см}}{2} = 4 \text{ см}$

Ответ: 4 см.

2)

Диаметр окружности равен 5 см. Найдем радиус, разделив диаметр на 2.

$r = \frac{5 \text{ см}}{2} = 2,5 \text{ см}$

Ответ: 2,5 см.

3)

Диаметр окружности равен 9,2 дм. Для нахождения радиуса разделим это значение на 2.

$r = \frac{9,2 \text{ дм}}{2} = 4,6 \text{ дм}$

Ответ: 4,6 дм.

270. Начертите окружность радиуса 2 см 5 мм с центром $M$. Вычислите диаметр этой окружности.

По условию задачи, радиус окружности ($r$) равен 2 см 5 мм. Диаметр окружности ($d$) в два раза больше ее радиуса. Для вычисления диаметра используется следующая формула:

$d = 2 \cdot r$

Перед тем как приступить к вычислениям, необходимо перевести значение радиуса в одну единицу измерения. Переведем сантиметры в миллиметры, используя соотношение 1 см = 10 мм:

$r = 2 \text{ см } 5 \text{ мм} = (2 \cdot 10) \text{ мм} + 5 \text{ мм} = 20 \text{ мм} + 5 \text{ мм} = 25 \text{ мм}$

Теперь, когда радиус выражен в одной единице измерения, подставим его значение в формулу для нахождения диаметра:

$d = 2 \cdot 25 \text{ мм} = 50 \text{ мм}$

Полученный результат можно также выразить в сантиметрах:

$50 \text{ мм} = 5 \text{ см}$

Ответ: 5 см.

271. Начертите окружность радиуса 3 см 2 мм с центром K. Вычислите диаметр этой окружности.

Задача состоит из двух частей: построения окружности и вычисления её диаметра.

Начертите окружность радиуса 3 см 2 мм с центром К.

Чтобы начертить окружность, нужно выполнить следующие шаги:

1. Отметить на листе бумаги точку и обозначить её буквой К. Эта точка будет центром окружности.
2. Взять циркуль и с помощью линейки установить расстояние между его иголкой и грифелем равным 3 см 2 мм. Это будет радиус окружности.
3. Поставить иголку циркуля в точку К.
4. Аккуратно вращая циркуль, провести замкнутую линию. Эта линия и есть окружность с центром в точке К и радиусом 3 см 2 мм.

Вычислите диаметр этой окружности.

Диаметр окружности ($d$) — это отрезок, соединяющий две любые точки на окружности и проходящий через её центр. Диаметр всегда в два раза больше радиуса ($r$).

Формула для нахождения диаметра:

$d = 2 \cdot r$

По условию задачи, радиус окружности равен:

$r = 3 \text{ см } 2 \text{ мм}$

Подставим это значение в формулу и вычислим диаметр:

$d = 2 \cdot (3 \text{ см } 2 \text{ мм}) = (2 \cdot 3 \text{ см}) + (2 \cdot 2 \text{ мм}) = 6 \text{ см } 4 \text{ мм}$

Также можно выполнить вычисления, переведя все в миллиметры. Учитывая, что $1 \text{ см } = 10 \text{ мм}$:

$r = 3 \text{ см } 2 \text{ мм } = 30 \text{ мм } + 2 \text{ мм } = 32 \text{ мм}$

$d = 2 \cdot 32 \text{ мм} = 64 \text{ мм}$

Переведем результат обратно: $64 \text{ мм } = 6 \text{ см } 4 \text{ мм}$.

Ответ: 6 см 4 мм.