Страница 55 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

255. Постройте треугольник, стороны которого содержат 5 точек, изображенных на рисунке 53.

Рис. 53

Для решения задачи необходимо найти три прямые, которые в совокупности содержат все пять заданных точек и при этом образуют треугольник (то есть не являются параллельными и не пересекаются в одной точке).

Из расположения точек на рисунке видно, что никакие три из них не лежат на одной прямой. Это наблюдение является ключом к решению. Поскольку каждая прямая может содержать не более двух из заданных точек, мы можем распределить 5 точек между тремя сторонами треугольника. Один из возможных способов — разместить две точки на первой стороне, две точки на второй и одну точку на третьей.

Алгоритм построения искомого треугольника следующий:

1. Построение первой стороны. Выберем две любые из пяти точек (например, две самые левые точки на рисунке) и проведём через них прямую. Обозначим её $l_1$. Эта прямая будет содержать первую сторону будущего треугольника.
2. Построение второй стороны. Из оставшихся трёх точек выберем ещё две (например, две самые правые точки) и проведём через них вторую прямую, $l_2$. Эта прямая будет содержать вторую сторону треугольника.
3. Построение третьей стороны. Через последнюю, пятую, точку проведём третью прямую, $l_3$. Эту прямую нужно провести так, чтобы она пересекала прямые $l_1$ и $l_2$ в двух разных точках. Так как прямые $l_1$ и $l_2$, построенные по точкам на рисунке, очевидно не параллельны, такую прямую $l_3$ всегда можно построить (существует бесконечно много вариантов её проведения).

В результате такого построения мы получаем три прямые $l_1$, $l_2$ и $l_3$, которые образуют треугольник. При этом на его сторонах лежат все пять исходных точек: две на первой стороне (на прямой $l_1$), две на второй (на прямой $l_2$) и одна на третьей (на прямой $l_3$). Таким образом, условие задачи выполнено.

Ответ: Требуемый треугольник можно построить, проведя одну его сторону через две любые из данных точек, вторую сторону — через две другие из оставшихся точек, а третью сторону — через последнюю пятую точку так, чтобы она пересекала две первые прямые в различных точках, не проходя через точку их пересечения.

256. Постройте треугольник, стороны которого содержат 6 точек, изображенных на рисунке 54.

Рис. 54

Для решения задачи необходимо найти три прямые, которые, пересекаясь, образуют треугольник, и на сторонах (или их продолжениях) которых лежат все шесть заданных точек. Заданные точки расположены симметрично, образуя три ряда по две точки.

Обозначим точки для удобства, введя условную систему координат. Пусть точки имеют следующие координаты:

• Верхний ряд: $A=(0, 2)$, $B=(1, 2)$
• Средний ряд: $C=(0, 1)$, $D=(1, 1)$
• Нижний ряд: $E=(0, 0)$, $F=(1, 0)$

Анализ показывает, что единственная возможность разместить 6 точек на 3 сторонах треугольника — это когда каждая сторона содержит ровно две точки. Следовательно, необходимо разбить шесть точек на три пары так, чтобы прямые, проходящие через эти пары, образовывали треугольник (то есть не были параллельны и не пересекались в одной точке).

Рассмотрим один из возможных вариантов такого разбиения на пары:

1. Первая пара: точки $A$ и $D$.
2. Вторая пара: точки $B$ и $C$.
3. Третья пара: точки $E$ и $F$.

Построим прямые, проходящие через эти пары точек, которые и будут сторонами искомого треугольника.

1. Сторона через точки $A(0, 2)$ и $D(1, 1)$:
Уравнение прямой: $\frac{y - y_A}{x - x_A} = \frac{y_D - y_A}{x_D - x_A}$
$\frac{y - 2}{x - 0} = \frac{1 - 2}{1 - 0} \implies \frac{y - 2}{x} = -1 \implies y = -x + 2$.

2. Сторона через точки $B(1, 2)$ и $C(0, 1)$:
Уравнение прямой: $\frac{y - y_C}{x - x_C} = \frac{y_B - y_C}{x_B - x_C}$
$\frac{y - 1}{x - 0} = \frac{2 - 1}{1 - 0} \implies \frac{y - 1}{x} = 1 \implies y = x + 1$.

3. Сторона через точки $E(0, 0)$ и $F(1, 0)$:
Эта прямая является горизонтальной и совпадает с осью абсцисс. Ее уравнение: $y = 0$.

Полученные три прямые ($y = -x + 2$, $y = x + 1$ и $y = 0$) не параллельны друг другу (их угловые коэффициенты $-1$, $1$ и $0$ различны) и не пересекаются в одной точке, что доказывается нахождением их точек попарного пересечения (вершин треугольника):

• $V_1$: $y = -x + 2$ и $y = x + 1 \implies -x + 2 = x + 1 \implies 2x = 1 \implies x = 0.5, y = 1.5$.
• $V_2$: $y = -x + 2$ и $y = 0 \implies 0 = -x + 2 \implies x = 2$.
• $V_3$: $y = x + 1$ и $y = 0 \implies 0 = x + 1 \implies x = -1$.

Вершины $V_1(0.5, 1.5)$, $V_2(2, 0)$ и $V_3(-1, 0)$ являются тремя различными точками. Таким образом, эти три прямые образуют треугольник, на сторонах которого лежат все шесть заданных точек.

Стоит отметить, что существуют и другие комбинации точек, которые также дают верное решение. Например, можно провести прямые через пары (A, B), (C, F) и (D, E).

Ответ:
Ниже представлен чертеж, иллюстрирующий построение треугольника. Стороны треугольника — это три синие линии. Они проходят через пары точек (A, D), (B, C) и (E, F).

257. Начертите два треугольника так, чтобы их общая часть была:

1) точкой;

2) треугольником;

3) шестиугольником.

1) точкой

Чтобы общая часть двух треугольников была точкой, можно расположить их так, чтобы одна вершина одного треугольника совпадала с одной вершиной другого, а их внутренние области не пересекались. Например, начертим треугольник $ \triangle ABC $. Затем начертим второй треугольник $ \triangle CDE $ так, чтобы точка $ C $ была их единственной общей точкой. Этого можно достичь, если треугольники будут касаться друг друга вершинами, а все остальные их точки не будут общими.

Ответ: Два треугольника могут иметь в качестве общей части одну точку, если они соприкасаются вершинами.

2) треугольником

Чтобы общая часть двух треугольников была треугольником, можно, например, частично наложить один треугольник на другой. Возьмем треугольник $ \triangle ABC $. На его стороне $ AB $ отметим точку $ D $, а на стороне $ AC $ — точку $ E $. Второй треугольник, $ \triangle ADE $, будет иметь общую вершину $ A $ с первым. Пересечением (общей частью) этих двух треугольников будет сам треугольник $ \triangle ADE $. Другой простой случай — когда один треугольник полностью расположен внутри другого, тогда их пересечением будет внутренний треугольник.

Ответ: Два треугольника могут пересекаться так, что их общая часть образует новый треугольник.

3) шестиугольником

Чтобы общая часть двух треугольников была шестиугольником, их нужно расположить так, чтобы каждая сторона одного треугольника пересекала две стороны другого. Такое пересечение образуется, если наложить друг на друга два треугольника со смещением и поворотом. Классическим примером является фигура, известная как Звезда Давида, которая образуется пересечением двух равносторонних треугольников.
Чтобы построить такой случай для произвольных треугольников, можно выполнить следующие шаги:
1. Начертить произвольный треугольник $ \triangle ABC $.
2. Найти его центроид (точку пересечения медиан).
3. Построить второй треугольник $ \triangle DEF $, который равен (конгруэнтен) первому и получен путем поворота $ \triangle ABC $ на $ 180^{\circ} $ вокруг его центроида.
Область пересечения этих двух треугольников будет являться шестиугольником, вершины которого — это шесть точек пересечения сторон исходных треугольников.

Ответ: Два треугольника могут пересекаться так, что их общая часть образует шестиугольник.

258. Начертите два треугольника так, чтобы их общая часть была:

1) отрезком;

2) четырёхугольником;

3) пятиугольником.

1) отрезком
Чтобы общей частью двух треугольников был отрезок, достаточно расположить их так, чтобы они имели одну общую сторону, а их внутренние области не пересекались. То есть, третьи вершины треугольников должны лежать по разные стороны от прямой, содержащей общую сторону.

Например, пусть есть два треугольника $ \triangle ABC $ и $ \triangle ABD $. Они имеют общую сторону $ AB $. Если вершины $ C $ и $ D $ находятся в разных полуплоскостях относительно прямой $ AB $, то их общей частью (пересечением) будет только отрезок $ AB $.

Ответ: На рисунке показаны треугольники $ \triangle ABC $ и $ \triangle ABD $, общая часть которых — отрезок $ AB $.

2) четырёхугольником
Чтобы общей частью двух треугольников был четырёхугольник, можно расположить их следующим образом. Пусть один треугольник $ T_1 = \triangle ABC $. Второй треугольник $ T_2 = \triangle DEF $ расположим так, чтобы две его вершины ($ D $ и $ E $) находились внутри $ \triangle ABC $, а третья вершина ($ F $) — снаружи. При этом стороны $ FD $ и $ FE $, выходящие из внешней вершины $ F $, должны пересекать одну и ту же сторону $ \triangle ABC $ (например, сторону $ BC $ в точках $ P $ и $ Q $).

В этом случае пересечением треугольников будет четырёхугольник $ DEQP $. Его вершинами являются две вершины второго треугольника ($ D $ и $ E $) и две точки пересечения сторон ($ P $ и $ Q $) на стороне первого треугольника.

Ответ: На рисунке треугольники $ \triangle ABC $ и $ \triangle DEF $ пересекаются, образуя четырёхугольник $ DEQP $ (закрашенная фиолетовым область).

3) пятиугольником
Чтобы получить в пересечении двух треугольников пятиугольник, можно воспользоваться методом «срезания углов». Возьмём один треугольник $ T_1 = \triangle ABC $. Второй, достаточно большой треугольник $ T_2 = \triangle DEF $, расположим так, чтобы он «срезал» два угла первого треугольника, например, при вершинах $ B $ и $ C $.

Для этого одна сторона $ T_2 $ (скажем, $ DE $) должна пересекать стороны $ AB $ и $ BC $ треугольника $ T_1 $ (в точках $ Q $ и $ R $). Другая сторона $ T_2 $ (например, $ DF $) должна пересекать стороны $ AC $ и $ BC $ (в точках $ T $ и $ S $). Третья сторона $ T_2 $ ($ EF $) не должна пересекать $ T_1 $. В результате общая часть будет представлять собой пятиугольник $ AQRST $.

Ответ: На рисунке пересечением треугольников $ \triangle ABC $ и $ \triangle DEF $ является пятиугольник $ AQRST $ (закрашенная фиолетовым область).

259. Найдите периметр шестиугольника, изображённого на рисунке 55 (размеры даны в сантиметрах).

Рис. 55

Периметр многоугольника — это сумма длин всех его сторон. У данного шестиугольника есть две стороны, размеры которых указаны на рисунке: самая левая вертикальная сторона равна 8 см, а самая нижняя горизонтальная сторона равна 10 см.

Остальные четыре стороны имеют неизвестную длину. Однако, поскольку все углы фигуры прямые, можно установить следующие соотношения:

• Сумма длин всех вертикальных отрезков, образующих правую часть фигуры, должна быть равна длине левой вертикальной стороны. Таким образом, сумма длин этих отрезков равна 8 см.
• Аналогично, сумма длин всех горизонтальных отрезков, образующих верхнюю часть фигуры, должна быть равна длине нижней горизонтальной стороны. Таким образом, сумма длин этих отрезков равна 10 см.

Периметр $P$ шестиугольника равен сумме длин всех его сторон. Его можно вычислить, сложив длины всех вертикальных и всех горизонтальных сторон:

$P = (\text{левая сторона} + \text{сумма правых сторон}) + (\text{нижняя сторона} + \text{сумма верхних сторон})$

Подставим известные значения:

$P = (8 \text{ см} + 8 \text{ см}) + (10 \text{ см} + 10 \text{ см})$

$P = 16 \text{ см} + 20 \text{ см} = 36 \text{ см}$

Также можно заметить, что периметр данной фигуры равен периметру описанного прямоугольника со сторонами 8 см и 10 см. Периметр этого прямоугольника вычисляется по формуле:

$P = 2 \times (\text{длина} + \text{ширина})$

$P = 2 \times (10 \text{ см} + 8 \text{ см}) = 2 \times 18 \text{ см} = 36 \text{ см}$

Ответ: 36 см.

260. Найдите периметр восьмиугольника, изображённого на рисунке 56 (размеры даны в сантиметрах).

Рис. 56

Периметр многоугольника — это сумма длин всех его сторон. Восьмиугольник, изображённый на рисунке, состоит из горизонтальных и вертикальных отрезков.

Давайте найдём сумму длин всех горизонтальных сторон. Нижняя сторона равна 15 см. Три верхние горизонтальные стороны в сумме дают такую же длину, как и нижняя сторона, поскольку они покрывают то же расстояние по горизонтали. Таким образом, сумма длин всех горизонтальных сторон составляет:

$15 + 15 = 30$ см

Теперь найдём сумму длин всех вертикальных сторон. Правая сторона равна 6 см. Три левые вертикальные стороны в сумме дают такую же длину, как и правая сторона, так как они покрывают то же расстояние по вертикали. Таким образом, сумма длин всех вертикальных сторон составляет:

$6 + 6 = 12$ см

Периметр $P$ восьмиугольника равен сумме длин всех его сторон (горизонтальных и вертикальных):

$P = 30 + 12 = 42$ см

Другой способ решения — представить, что данный восьмиугольник вписан в прямоугольник. Длина этого прямоугольника будет 15 см, а ширина — 6 см. Периметр ступенчатой фигуры равен периметру описывающего ее прямоугольника. Периметр прямоугольника находится по формуле $P = 2 \times (a + b)$:

$P = 2 \times (15 + 6) = 2 \times 21 = 42$ см

Ответ: 42 см.