Номер 256, страница 55 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 5. Многоугольники. Глава 2. Геометрические фигуры - номер 256, страница 55.

Условие.

256. Постройте треугольник, стороны которого содержат 6 точек, изображенных на рисунке 54.

Рис. 54

Решение.

Решение 2.

Для решения задачи необходимо найти три прямые, которые, пересекаясь, образуют треугольник, и на сторонах (или их продолжениях) которых лежат все шесть заданных точек. Заданные точки расположены симметрично, образуя три ряда по две точки.

Обозначим точки для удобства, введя условную систему координат. Пусть точки имеют следующие координаты:

• Верхний ряд: $A=(0, 2)$, $B=(1, 2)$
• Средний ряд: $C=(0, 1)$, $D=(1, 1)$
• Нижний ряд: $E=(0, 0)$, $F=(1, 0)$

Анализ показывает, что единственная возможность разместить 6 точек на 3 сторонах треугольника — это когда каждая сторона содержит ровно две точки. Следовательно, необходимо разбить шесть точек на три пары так, чтобы прямые, проходящие через эти пары, образовывали треугольник (то есть не были параллельны и не пересекались в одной точке).

Рассмотрим один из возможных вариантов такого разбиения на пары:

1. Первая пара: точки $A$ и $D$.
2. Вторая пара: точки $B$ и $C$.
3. Третья пара: точки $E$ и $F$.

Построим прямые, проходящие через эти пары точек, которые и будут сторонами искомого треугольника.

1. Сторона через точки $A(0, 2)$ и $D(1, 1)$:
Уравнение прямой: $\frac{y - y_A}{x - x_A} = \frac{y_D - y_A}{x_D - x_A}$
$\frac{y - 2}{x - 0} = \frac{1 - 2}{1 - 0} \implies \frac{y - 2}{x} = -1 \implies y = -x + 2$.

2. Сторона через точки $B(1, 2)$ и $C(0, 1)$:
Уравнение прямой: $\frac{y - y_C}{x - x_C} = \frac{y_B - y_C}{x_B - x_C}$
$\frac{y - 1}{x - 0} = \frac{2 - 1}{1 - 0} \implies \frac{y - 1}{x} = 1 \implies y = x + 1$.

3. Сторона через точки $E(0, 0)$ и $F(1, 0)$:
Эта прямая является горизонтальной и совпадает с осью абсцисс. Ее уравнение: $y = 0$.

Полученные три прямые ($y = -x + 2$, $y = x + 1$ и $y = 0$) не параллельны друг другу (их угловые коэффициенты $-1$, $1$ и $0$ различны) и не пересекаются в одной точке, что доказывается нахождением их точек попарного пересечения (вершин треугольника):

• $V_1$: $y = -x + 2$ и $y = x + 1 \implies -x + 2 = x + 1 \implies 2x = 1 \implies x = 0.5, y = 1.5$.
• $V_2$: $y = -x + 2$ и $y = 0 \implies 0 = -x + 2 \implies x = 2$.
• $V_3$: $y = x + 1$ и $y = 0 \implies 0 = x + 1 \implies x = -1$.

Вершины $V_1(0.5, 1.5)$, $V_2(2, 0)$ и $V_3(-1, 0)$ являются тремя различными точками. Таким образом, эти три прямые образуют треугольник, на сторонах которого лежат все шесть заданных точек.

Стоит отметить, что существуют и другие комбинации точек, которые также дают верное решение. Например, можно провести прямые через пары (A, B), (C, F) и (D, E).

Ответ:
Ниже представлен чертеж, иллюстрирующий построение треугольника. Стороны треугольника — это три синие линии. Они проходят через пары точек (A, D), (B, C) и (E, F).