Номер 258, страница 55 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 5. Многоугольники. Глава 2. Геометрические фигуры - номер 258, страница 55.

Условие.

258. Начертите два треугольника так, чтобы их общая часть была:

1) отрезком;

2) четырёхугольником;

3) пятиугольником.

Решение.

Решение 2.

1) отрезком
Чтобы общей частью двух треугольников был отрезок, достаточно расположить их так, чтобы они имели одну общую сторону, а их внутренние области не пересекались. То есть, третьи вершины треугольников должны лежать по разные стороны от прямой, содержащей общую сторону.

Например, пусть есть два треугольника $ \triangle ABC $ и $ \triangle ABD $. Они имеют общую сторону $ AB $. Если вершины $ C $ и $ D $ находятся в разных полуплоскостях относительно прямой $ AB $, то их общей частью (пересечением) будет только отрезок $ AB $.

Ответ: На рисунке показаны треугольники $ \triangle ABC $ и $ \triangle ABD $, общая часть которых — отрезок $ AB $.

2) четырёхугольником
Чтобы общей частью двух треугольников был четырёхугольник, можно расположить их следующим образом. Пусть один треугольник $ T_1 = \triangle ABC $. Второй треугольник $ T_2 = \triangle DEF $ расположим так, чтобы две его вершины ($ D $ и $ E $) находились внутри $ \triangle ABC $, а третья вершина ($ F $) — снаружи. При этом стороны $ FD $ и $ FE $, выходящие из внешней вершины $ F $, должны пересекать одну и ту же сторону $ \triangle ABC $ (например, сторону $ BC $ в точках $ P $ и $ Q $).

В этом случае пересечением треугольников будет четырёхугольник $ DEQP $. Его вершинами являются две вершины второго треугольника ($ D $ и $ E $) и две точки пересечения сторон ($ P $ и $ Q $) на стороне первого треугольника.

Ответ: На рисунке треугольники $ \triangle ABC $ и $ \triangle DEF $ пересекаются, образуя четырёхугольник $ DEQP $ (закрашенная фиолетовым область).

3) пятиугольником
Чтобы получить в пересечении двух треугольников пятиугольник, можно воспользоваться методом «срезания углов». Возьмём один треугольник $ T_1 = \triangle ABC $. Второй, достаточно большой треугольник $ T_2 = \triangle DEF $, расположим так, чтобы он «срезал» два угла первого треугольника, например, при вершинах $ B $ и $ C $.

Для этого одна сторона $ T_2 $ (скажем, $ DE $) должна пересекать стороны $ AB $ и $ BC $ треугольника $ T_1 $ (в точках $ Q $ и $ R $). Другая сторона $ T_2 $ (например, $ DF $) должна пересекать стороны $ AC $ и $ BC $ (в точках $ T $ и $ S $). Третья сторона $ T_2 $ ($ EF $) не должна пересекать $ T_1 $. В результате общая часть будет представлять собой пятиугольник $ AQRST $.

Ответ: На рисунке пересечением треугольников $ \triangle ABC $ и $ \triangle DEF $ является пятиугольник $ AQRST $ (закрашенная фиолетовым область).