Номер 257, страница 55 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 5. Многоугольники. Глава 2. Геометрические фигуры - номер 257, страница 55.

Условие.

257. Начертите два треугольника так, чтобы их общая часть была:

1) точкой;

2) треугольником;

3) шестиугольником.

Решение.

Решение 2.

1) точкой

Чтобы общая часть двух треугольников была точкой, можно расположить их так, чтобы одна вершина одного треугольника совпадала с одной вершиной другого, а их внутренние области не пересекались. Например, начертим треугольник $ \triangle ABC $. Затем начертим второй треугольник $ \triangle CDE $ так, чтобы точка $ C $ была их единственной общей точкой. Этого можно достичь, если треугольники будут касаться друг друга вершинами, а все остальные их точки не будут общими.

Ответ: Два треугольника могут иметь в качестве общей части одну точку, если они соприкасаются вершинами.

2) треугольником

Чтобы общая часть двух треугольников была треугольником, можно, например, частично наложить один треугольник на другой. Возьмем треугольник $ \triangle ABC $. На его стороне $ AB $ отметим точку $ D $, а на стороне $ AC $ — точку $ E $. Второй треугольник, $ \triangle ADE $, будет иметь общую вершину $ A $ с первым. Пересечением (общей частью) этих двух треугольников будет сам треугольник $ \triangle ADE $. Другой простой случай — когда один треугольник полностью расположен внутри другого, тогда их пересечением будет внутренний треугольник.

Ответ: Два треугольника могут пересекаться так, что их общая часть образует новый треугольник.

3) шестиугольником

Чтобы общая часть двух треугольников была шестиугольником, их нужно расположить так, чтобы каждая сторона одного треугольника пересекала две стороны другого. Такое пересечение образуется, если наложить друг на друга два треугольника со смещением и поворотом. Классическим примером является фигура, известная как Звезда Давида, которая образуется пересечением двух равносторонних треугольников.
Чтобы построить такой случай для произвольных треугольников, можно выполнить следующие шаги:
1. Начертить произвольный треугольник $ \triangle ABC $.
2. Найти его центроид (точку пересечения медиан).
3. Построить второй треугольник $ \triangle DEF $, который равен (конгруэнтен) первому и получен путем поворота $ \triangle ABC $ на $ 180^{\circ} $ вокруг его центроида.
Область пересечения этих двух треугольников будет являться шестиугольником, вершины которого — это шесть точек пересечения сторон исходных треугольников.

Ответ: Два треугольника могут пересекаться так, что их общая часть образует шестиугольник.