Страница 52 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Сравните:

1) 73 см и 1 м;

2) 4 см и 38 мм;

3) 150 см и 1 м 60 см;

4) 10 дм и 1 м.

1) 73 см и 1 м

Для сравнения приведем обе величины к одной единице измерения, например, к сантиметрам. Мы знаем, что в одном метре содержится 100 сантиметров: $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$. Теперь сравним 73 см и 100 см. Поскольку число $73$ меньше числа $100$, то $73 \text{ см} < 100 \text{ см}$. Следовательно, $73 \text{ см} < 1 \text{ м}$.
Ответ: $73 \text{ см} < 1 \text{ м}$.

2) 4 см и 38 мм

Приведем обе величины к миллиметрам. В одном сантиметре содержится 10 миллиметров: $1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$. Значит, $4 \text{ см} = 4 \times 10 \text{ мм} = 40 \text{ мм}$. Теперь сравним 40 мм и 38 мм. Поскольку $40 > 38$, то $40 \text{ мм} > 38 \text{ мм}$. Следовательно, $4 \text{ см} > 38 \text{ мм}$.
Ответ: $4 \text{ см} > 38 \text{ мм}$.

3) 150 см и 1 м 60 см

Для сравнения представим вторую величину полностью в сантиметрах. Так как $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$, то $1 \text{ м } 60 \text{ см} = 100 \text{ см} + 60 \text{ см} = 160 \text{ см}$. Теперь сравним 150 см и 160 см. Поскольку $150 < 160$, то $150 \text{ см} < 160 \text{ см}$. Следовательно, $150 \text{ см} < 1 \text{ м } 60 \text{ см}$.
Ответ: $150 \text{ см} < 1 \text{ м } 60 \text{ см}$.

4) 10 дм и 1 м

Приведем обе величины к дециметрам. В одном метре содержится 10 дециметров: $1 \text{ м} = 10 \text{ дм}$. Теперь сравним 10 дм и 10 дм. Поскольку $10 = 10$, то эти величины равны. Следовательно, $10 \text{ дм} = 1 \text{ м}$.
Ответ: $10 \text{ дм} = 1 \text{ м}$.

2. Вычислите:

1) $43 \cdot 29 + 43 \cdot 71$;

2) $541 \cdot 237 - 541 \cdot 137$.

1) Для решения примера $43 \cdot 29 + 43 \cdot 71$ воспользуемся распределительным свойством умножения. Мы видим, что у обоих произведений есть общий множитель — 43. Вынесем его за скобки, используя формулу $a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b+c)$:

$43 \cdot (29 + 71)$

Сначала выполним действие в скобках:

$29 + 71 = 100$

Теперь умножим полученный результат на 43:

$43 \cdot 100 = 4300$

Ответ: 4300

2) Для решения примера $541 \cdot 237 - 541 \cdot 137$ также применим распределительное свойство умножения. Общим множителем здесь является 541. Вынесем его за скобки, используя формулу $a \cdot b - a \cdot c = a \cdot (b-c)$:

$541 \cdot (237 - 137)$

Сначала выполним действие в скобках:

$237 - 137 = 100$

Теперь умножим полученный результат на 541:

$541 \cdot 100 = 54100$

Ответ: 54100

3. Может ли:

1) рост взрослого человека быть равным 1860 мм;

2) длина обычного карандаша быть равной 1600 мм?

1) Чтобы ответить на этот вопрос, переведем миллиметры (мм) в более привычную для измерения роста единицу — сантиметры (см). Мы знаем, что в одном сантиметре $10$ миллиметров. Следовательно, чтобы перевести миллиметры в сантиметры, нужно разделить число миллиметров на $10$.

$1860 \text{ мм} = (1860 : 10) \text{ см} = 186 \text{ см}$.

Также можно перевести это значение в метры (м), зная, что в $1$ метре $1000$ миллиметров:

$1860 \text{ мм} = (1860 : 1000) \text{ м} = 1.86 \text{ м}$.

Рост $186$ см (или $1.86$ м) является совершенно нормальным для взрослого человека. Поэтому рост взрослого человека может быть равен $1860$ мм.

Ответ: да, может.

2) Аналогично первому пункту, переведем длину карандаша из миллиметров в сантиметры, чтобы ее было легче оценить.

$1600 \text{ мм} = (1600 : 10) \text{ см} = 160 \text{ см}$.

Переведем также в метры:

$1600 \text{ мм} = (1600 : 1000) \text{ м} = 1.6 \text{ м}$.

Длина обычного нового карандаша составляет примерно $17-20$ см. Длина же в $160$ см (или $1.6$ м) сопоставима с ростом человека. Обычный карандаш не может быть такой длины. Следовательно, длина обычного карандаша не может быть равной $1600$ мм.

Ответ: нет, не может.

4. От проволоки длиной 7 м отрезали кусок длиной 5 дм. Какова длина оставшейся части проволоки?

Чтобы найти длину оставшейся части проволоки, необходимо из её первоначальной длины вычесть длину отрезанного куска. Однако, так как длины даны в разных единицах измерения (метры и дециметры), сначала нужно привести их к одной единице.

Переведём метры в дециметры. Мы знаем, что в одном метре 10 дециметров:

$1 \text{ м} = 10 \text{ дм}$

Следовательно, первоначальная длина проволоки в дециметрах составляет:

$7 \text{ м} = 7 \times 10 \text{ дм} = 70 \text{ дм}$

Теперь, когда обе величины выражены в дециметрах, можем выполнить вычитание:

$70 \text{ дм} - 5 \text{ дм} = 65 \text{ дм}$

Для удобства можно перевести полученный результат обратно в метры и дециметры:

$65 \text{ дм} = 60 \text{ дм} + 5 \text{ дм} = 6 \text{ м } 5 \text{ дм}$

Ответ: 6 м 5 дм.

5. Дима возвёл число $71$ в третью степень и получил ответ $357\ 913$. Когда Катя увидела этот ответ, она сразу сказала, что Дима ошибся. Как она это определила?

Катя смогла определить ошибку, не выполняя полного вычисления, а просто посмотрев на последнюю цифру результата. Этот метод основан на свойстве, что последняя цифра результата возведения числа в степень зависит только от последней цифры исходного числа.

Дима возводил в куб число 71. Это число оканчивается на цифру 1.

Чтобы найти последнюю цифру числа $71^3$, достаточно найти последнюю цифру числа $1^3$:

$1^3 = 1 \times 1 \times 1 = 1$

Следовательно, правильный результат возведения 71 в третью степень должен оканчиваться на цифру 1.

Ответ, который получил Дима, — 357 913. Это число оканчивается на цифру 3.

Поскольку правильный ответ должен оканчиваться на 1, а у Димы получилось число, оканчивающееся на 3, Катя сразу поняла, что в вычислениях допущена ошибка.

Ответ: Катя определила ошибку по последней цифре. Любая натуральная степень числа, оканчивающегося на 1, также будет оканчиваться на 1. Ответ Димы 357 913 оканчивается на 3, что является неверным.

6. Значения каких из данных выражений кратны 30:

1) $16 \cdot 21$;

2) $22 \cdot 15$;

3) $20 \cdot 28$;

4) $18 \cdot 35$?

Чтобы значение выражения было кратно 30, оно должно делиться на 30 без остатка. Разложим число 30 на простые множители: $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$. Следовательно, чтобы произведение было кратно 30, в разложении его сомножителей на простые множители должны одновременно присутствовать множители 2, 3 и 5. Проверим каждое выражение.

1) 16 ⋅ 21

Разложим множители на простые числа: $16 = 2^4$ и $21 = 3 \cdot 7$.
Произведение равно $16 \cdot 21 = 2^4 \cdot 3 \cdot 7$.
В разложении этого числа есть множители 2 и 3, но нет множителя 5. Следовательно, значение выражения не кратно 30.

Ответ: не кратно.

2) 22 ⋅ 15

Разложим множители на простые числа: $22 = 2 \cdot 11$ и $15 = 3 \cdot 5$.
Произведение равно $22 \cdot 15 = (2 \cdot 11) \cdot (3 \cdot 5) = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 11$.
В разложении этого числа есть все необходимые множители: 2, 3 и 5. Следовательно, значение выражения кратно 30.

Ответ: кратно.

3) 20 ⋅ 28

Разложим множители на простые числа: $20 = 2^2 \cdot 5$ и $28 = 2^2 \cdot 7$.
Произведение равно $20 \cdot 28 = (2^2 \cdot 5) \cdot (2^2 \cdot 7) = 2^4 \cdot 5 \cdot 7$.
В разложении этого числа есть множители 2 и 5, но нет множителя 3. Следовательно, значение выражения не кратно 30.

Ответ: не кратно.

4) 18 ⋅ 35

Разложим множители на простые числа: $18 = 2 \cdot 3^2$ и $35 = 5 \cdot 7$.
Произведение равно $18 \cdot 35 = (2 \cdot 3^2) \cdot (5 \cdot 7)$.
В разложении этого числа есть все необходимые множители: 2, 3 и 5. Следовательно, значение выражения кратно 30.

Ответ: кратно.

Таким образом, значения выражений 2) $22 \cdot 15$ и 4) $18 \cdot 35$ кратны 30.

236. Стороны треугольника $ABC$ равны 6 см и 8 см, а периметр равен 20 см. Укажите верное утверждение:

1) треугольник $ABC$ разносторонний;

2) треугольник $ABC$ равнобедренный, но не равносторонний;

3) треугольник $ABC$ равносторонний.

По условию задачи, две стороны треугольника $ABC$ равны 6 см и 8 см, а его периметр $P$ равен 20 см. Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон. Обозначим известные стороны как $a=6$ см и $b=8$ см, а неизвестную сторону — как $c$.

Формула периметра: $P = a + b + c$.

Чтобы найти длину третьей стороны $c$, нужно из периметра вычесть длины двух известных сторон:

$c = P - (a + b) = 20 - (6 + 8) = 20 - 14 = 6$ см.

Таким образом, стороны треугольника $ABC$ равны 6 см, 8 см и 6 см. Теперь проанализируем предложенные утверждения.

1) треугольник ABC разносторонний; Разносторонним называется треугольник, у которого все стороны имеют разную длину. В нашем случае у треугольника $ABC$ две стороны равны ($6 \text{ см} = 6 \text{ см}$), поэтому он не является разносторонним. Данное утверждение неверно.

2) треугольник ABC равнобедренный, но не равносторонний; Равнобедренным называется треугольник, у которого как минимум две стороны равны. У треугольника $ABC$ есть две равные стороны по 6 см, следовательно, он равнобедренный. Равносторонним называется треугольник, у которого все три стороны равны. Так как стороны треугольника $ABC$ равны 6 см, 6 см и 8 см, они не все равны между собой, значит, он не равносторонний. Данное утверждение верно.

3) треугольник ABC равносторонний. Равносторонним называется треугольник, у которого все три стороны равны. У треугольника $ABC$ стороны не равны друг другу (6 см, 6 см, 8 см), поэтому он не является равносторонним. Данное утверждение неверно.

Ответ: 2

237. Одна сторона треугольника равна 18 см, другая сторона на 6 см больше первой, а третья – в 3 раза меньше второй. Вычислите периметр треугольника.

Для того чтобы вычислить периметр треугольника, необходимо сначала найти длины всех его сторон, а затем сложить их.

1. Длина первой стороны известна из условия задачи и равна $18$ см.

2. Вторая сторона на $6$ см больше первой. Вычислим ее длину:

$18 + 6 = 24$ (см)

3. Третья сторона в $3$ раза меньше второй. Вычислим ее длину:

$24 \div 3 = 8$ (см)

4. Периметр треугольника – это сумма длин всех его сторон. Сложим длины первой, второй и третьей сторон:

$18 + 24 + 8 = 50$ (см)

Ответ: периметр треугольника равен $50$ см.

238. Выразите в квадратных метрах:

1) 4 га;

2) 156 а;

3) 2 га 14 а.

1) 4 га;

Для перевода гектаров (га) в квадратные метры (м²) используется соотношение: $1 \text{ га} = 10000 \text{ м}^2$.
Чтобы выразить 4 гектара в квадратных метрах, необходимо умножить количество гектаров на 10000.
$4 \text{ га} = 4 \times 10000 \text{ м}^2 = 40000 \text{ м}^2$.
Ответ: 40000 м².

2) 156 а;

Для перевода аров (а), также известных как "сотки", в квадратные метры (м²) используется соотношение: $1 \text{ а} = 100 \text{ м}^2$.
Чтобы выразить 156 аров в квадратных метрах, необходимо умножить количество аров на 100.
$156 \text{ а} = 156 \times 100 \text{ м}^2 = 15600 \text{ м}^2$.
Ответ: 15600 м².

3) 2 га 14 а.

Чтобы выразить данную величину в квадратных метрах, нужно перевести каждую единицу измерения (гектары и ары) в квадратные метры по отдельности, а затем сложить полученные значения.
Используем известные нам соотношения: $1 \text{ га} = 10000 \text{ м}^2$ и $1 \text{ а} = 100 \text{ м}^2$.
1. Переводим гектары в квадратные метры:
$2 \text{ га} = 2 \times 10000 \text{ м}^2 = 20000 \text{ м}^2$.
2. Переводим ары в квадратные метры:
$14 \text{ а} = 14 \times 100 \text{ м}^2 = 1400 \text{ м}^2$.
3. Складываем полученные значения:
$2 \text{ га } 14 \text{ а} = 20000 \text{ м}^2 + 1400 \text{ м}^2 = 21400 \text{ м}^2$.
Ответ: 21400 м².

239. Выразите в гектарах и арах:

1) $1260 \text{ а}$;

2) $24 800 \text{ м}^2$.

1) 1260 а

Чтобы выразить ары (а) в гектарах (га) и арах, необходимо использовать соотношение между этими единицами площади. В одном гектаре содержится 100 аров.

$1 \text{ га} = 100 \text{ а}$

Для того чтобы найти количество полных гектаров в 1260 арах, нужно разделить 1260 на 100. Целая часть от деления будет соответствовать количеству гектаров, а остаток — количеству аров.

$1260 \div 100 = 12 \text{ (остаток } 60)$

Таким образом, 1260 аров — это 12 полных гектаров и 60 аров.

Ответ: 12 га 60 а.

2) 24 800 м²

Для решения этой задачи необходимо знать следующие соотношения единиц площади:

$1 \text{ а} = 100 \text{ м²}$
$1 \text{ га} = 100 \text{ а} = 10 000 \text{ м²}$

Сначала переведем квадратные метры в ары. Для этого разделим 24 800 на 100:

$24 800 \text{ м²} \div 100 = 248 \text{ а}$

Теперь у нас есть 248 аров, которые нужно выразить в гектарах и арах. Как и в предыдущем задании, разделим это число на 100:

$248 \div 100 = 2 \text{ (остаток } 48)$

Следовательно, 24 800 квадратных метров равны 2 гектарам и 48 арам.

Ответ: 2 га 48 а.

240. Найдите площадь прямоугольника со сторонами 5 м и 3 м и выразите её в квадратных дециметрах.

Для того чтобы найти площадь прямоугольника, необходимо умножить длину одной его стороны на длину другой. Формула для вычисления площади $S$ прямоугольника со сторонами $a$ и $b$ выглядит следующим образом:$S = a \cdot b$

В условии даны стороны прямоугольника: $a = 5$ м и $b = 3$ м.Сначала вычислим площадь в квадратных метрах:$S = 5 \, \text{м} \cdot 3 \, \text{м} = 15 \, \text{м}^2$

Далее, необходимо выразить полученную площадь в квадратных дециметрах. Для этого вспомним соотношение между метрами и дециметрами:$1 \, \text{м} = 10 \, \text{дм}$

Чтобы найти, сколько квадратных дециметров в одном квадратном метре, нужно возвести это соотношение в квадрат:$1 \, \text{м}^2 = (1 \, \text{м}) \cdot (1 \, \text{м}) = (10 \, \text{дм}) \cdot (10 \, \text{дм}) = 100 \, \text{дм}^2$

Теперь переведем площадь нашего прямоугольника из квадратных метров в квадратные дециметры, умножив полученное значение на 100:$S = 15 \, \text{м}^2 = 15 \cdot 100 \, \text{дм}^2 = 1500 \, \text{дм}^2$

Ответ: $1500 \, \text{дм}^2$

241. Найдите площадь квадрата со стороной 7 м и выразите её в квадратных сантиметрах.

Чтобы решить эту задачу, необходимо выполнить два основных шага: сначала найти площадь квадрата в квадратных метрах, а затем перевести эту величину в квадратные сантиметры.

1. Находим площадь квадрата. Площадь квадрата ($S$) вычисляется по формуле $S = a^2$, где $a$ — длина его стороны. По условию, сторона квадрата $a = 7$ м. Подставляем значение в формулу: $S = 7^2 = 49$ м².

2. Выражаем площадь в квадратных сантиметрах. Для этого нам нужно знать, как соотносятся метры и сантиметры. В одном метре 100 сантиметров: $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$.

Чтобы найти соотношение для единиц площади, нужно возвести это равенство в квадрат: $1 \text{ м}^2 = (1 \text{ м}) \times (1 \text{ м}) = (100 \text{ см}) \times (100 \text{ см}) = 10000 \text{ см}^2$.

Теперь мы можем перевести найденную площадь из квадратных метров в квадратные сантиметры, умножив её на 10000: $49 \text{ м}^2 = 49 \times 10000 \text{ см}^2 = 490000 \text{ см}^2$.

Ответ: 490000 см².

242. Точки $M$ и $K$ – середины соседних сторон прямоугольника $ABCD$ (рис. 46). Площадь прямоугольника $AMOK$ равна 8 см². Найдите площадь:

1) треугольника $AMO$;

2) треугольника $AOB$;

3) треугольника $ABD$;

4) треугольника $AOD$.

Рис. 46

По условию задачи, $ABCD$ — прямоугольник, $M$ — середина стороны $AB$, а $K$ — середина стороны $AD$. Точка $O$ — точка пересечения диагоналей прямоугольника $ABCD$, а также диагоналей прямоугольника $AMOK$. Площадь прямоугольника $AMOK$ равна $S_{AMOK} = 8 \text{ см}^2$.

Поскольку $M$ — середина $AB$, то $AM = \frac{1}{2}AB$.

Поскольку $K$ — середина $AD$, то $AK = \frac{1}{2}AD$.

Площадь прямоугольника $AMOK$ вычисляется как произведение его сторон:

$S_{AMOK} = AM \cdot AK = (\frac{1}{2}AB) \cdot (\frac{1}{2}AD) = \frac{1}{4}(AB \cdot AD)$.

Площадь прямоугольника $ABCD$ равна $S_{ABCD} = AB \cdot AD$.

Таким образом, $S_{AMOK} = \frac{1}{4}S_{ABCD}$.

Отсюда мы можем найти площадь всего прямоугольника $ABCD$:

$S_{ABCD} = 4 \cdot S_{AMOK} = 4 \cdot 8 = 32 \text{ см}^2$.

1) треугольника AMO;

Диагональ $AO$ делит прямоугольник $AMOK$ на два равных по площади прямоугольных треугольника: $\triangle AMO$ и $\triangle AKO$. Следовательно, площадь треугольника $AMO$ равна половине площади прямоугольника $AMOK$.

$S_{\triangle AMO} = \frac{1}{2} S_{AMOK} = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4 \text{ см}^2$.

Ответ: $4 \text{ см}^2$.

2) треугольника AOB;

Диагонали прямоугольника $ABCD$ делят его на четыре равновеликих (равных по площади) треугольника. Таким образом, площадь треугольника $AOB$ составляет четверть площади всего прямоугольника $ABCD$.

$S_{\triangle AOB} = \frac{1}{4} S_{ABCD} = \frac{1}{4} \cdot 32 = 8 \text{ см}^2$.

Другой способ: в треугольнике $AOB$ отрезок $OM$ является медианой, так как $M$ — середина стороны $AB$. Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника. Значит, $S_{\triangle AOB} = 2 \cdot S_{\triangle AMO} = 2 \cdot 4 = 8 \text{ см}^2$.

Ответ: $8 \text{ см}^2$.

3) треугольника ABD;

Диагональ $BD$ делит прямоугольник $ABCD$ на два равных по площади прямоугольных треугольника: $\triangle ABD$ и $\triangle CDB$. Следовательно, площадь треугольника $ABD$ равна половине площади прямоугольника $ABCD$.

$S_{\triangle ABD} = \frac{1}{2} S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot 32 = 16 \text{ см}^2$.

Другой способ: треугольник $ABD$ состоит из треугольников $AOB$ и $AOD$. Так как диагонали прямоугольника делят его на четыре равновеликих треугольника, $S_{\triangle AOB} = S_{\triangle AOD} = 8 \text{ см}^2$. Тогда $S_{\triangle ABD} = S_{\triangle AOB} + S_{\triangle AOD} = 8 + 8 = 16 \text{ см}^2$.

Ответ: $16 \text{ см}^2$.

4) треугольника AOD.

Как и в пункте 2, диагонали прямоугольника $ABCD$ делят его на четыре равновеликих треугольника. Площадь треугольника $AOD$ равна четверти площади всего прямоугольника $ABCD$.

$S_{\triangle AOD} = \frac{1}{4} S_{ABCD} = \frac{1}{4} \cdot 32 = 8 \text{ см}^2$.

Другой способ: в треугольнике $AOD$ отрезок $OK$ является медианой, так как $K$ — середина стороны $AD$. Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника. Площадь $\triangle AKO$ равна площади $\triangle AMO$ (показано в пункте 1) и составляет $4 \text{ см}^2$. Значит, $S_{\triangle AOD} = 2 \cdot S_{\triangle AKO} = 2 \cdot 4 = 8 \text{ см}^2$.

Ответ: $8 \text{ см}^2$.