Номер 242, страница 52 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 5. Многоугольники. Глава 2. Геометрические фигуры - номер 242, страница 52.

Условие.

242. Точки $M$ и $K$ – середины соседних сторон прямоугольника $ABCD$ (рис. 46). Площадь прямоугольника $AMOK$ равна 8 см². Найдите площадь:

1) треугольника $AMO$;

2) треугольника $AOB$;

3) треугольника $ABD$;

4) треугольника $AOD$.

Рис. 46

Решение.

Решение 2.

По условию задачи, $ABCD$ — прямоугольник, $M$ — середина стороны $AB$, а $K$ — середина стороны $AD$. Точка $O$ — точка пересечения диагоналей прямоугольника $ABCD$, а также диагоналей прямоугольника $AMOK$. Площадь прямоугольника $AMOK$ равна $S_{AMOK} = 8 \text{ см}^2$.

Поскольку $M$ — середина $AB$, то $AM = \frac{1}{2}AB$.

Поскольку $K$ — середина $AD$, то $AK = \frac{1}{2}AD$.

Площадь прямоугольника $AMOK$ вычисляется как произведение его сторон:

$S_{AMOK} = AM \cdot AK = (\frac{1}{2}AB) \cdot (\frac{1}{2}AD) = \frac{1}{4}(AB \cdot AD)$.

Площадь прямоугольника $ABCD$ равна $S_{ABCD} = AB \cdot AD$.

Таким образом, $S_{AMOK} = \frac{1}{4}S_{ABCD}$.

Отсюда мы можем найти площадь всего прямоугольника $ABCD$:

$S_{ABCD} = 4 \cdot S_{AMOK} = 4 \cdot 8 = 32 \text{ см}^2$.

1) треугольника AMO;

Диагональ $AO$ делит прямоугольник $AMOK$ на два равных по площади прямоугольных треугольника: $\triangle AMO$ и $\triangle AKO$. Следовательно, площадь треугольника $AMO$ равна половине площади прямоугольника $AMOK$.

$S_{\triangle AMO} = \frac{1}{2} S_{AMOK} = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4 \text{ см}^2$.

Ответ: $4 \text{ см}^2$.

2) треугольника AOB;

Диагонали прямоугольника $ABCD$ делят его на четыре равновеликих (равных по площади) треугольника. Таким образом, площадь треугольника $AOB$ составляет четверть площади всего прямоугольника $ABCD$.

$S_{\triangle AOB} = \frac{1}{4} S_{ABCD} = \frac{1}{4} \cdot 32 = 8 \text{ см}^2$.

Другой способ: в треугольнике $AOB$ отрезок $OM$ является медианой, так как $M$ — середина стороны $AB$. Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника. Значит, $S_{\triangle AOB} = 2 \cdot S_{\triangle AMO} = 2 \cdot 4 = 8 \text{ см}^2$.

Ответ: $8 \text{ см}^2$.

3) треугольника ABD;

Диагональ $BD$ делит прямоугольник $ABCD$ на два равных по площади прямоугольных треугольника: $\triangle ABD$ и $\triangle CDB$. Следовательно, площадь треугольника $ABD$ равна половине площади прямоугольника $ABCD$.

$S_{\triangle ABD} = \frac{1}{2} S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot 32 = 16 \text{ см}^2$.

Другой способ: треугольник $ABD$ состоит из треугольников $AOB$ и $AOD$. Так как диагонали прямоугольника делят его на четыре равновеликих треугольника, $S_{\triangle AOB} = S_{\triangle AOD} = 8 \text{ см}^2$. Тогда $S_{\triangle ABD} = S_{\triangle AOB} + S_{\triangle AOD} = 8 + 8 = 16 \text{ см}^2$.

Ответ: $16 \text{ см}^2$.

4) треугольника AOD.

Как и в пункте 2, диагонали прямоугольника $ABCD$ делят его на четыре равновеликих треугольника. Площадь треугольника $AOD$ равна четверти площади всего прямоугольника $ABCD$.

$S_{\triangle AOD} = \frac{1}{4} S_{ABCD} = \frac{1}{4} \cdot 32 = 8 \text{ см}^2$.

Другой способ: в треугольнике $AOD$ отрезок $OK$ является медианой, так как $K$ — середина стороны $AD$. Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника. Площадь $\triangle AKO$ равна площади $\triangle AMO$ (показано в пункте 1) и составляет $4 \text{ см}^2$. Значит, $S_{\triangle AOD} = 2 \cdot S_{\triangle AKO} = 2 \cdot 4 = 8 \text{ см}^2$.

Ответ: $8 \text{ см}^2$.