Страница 46 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

231. Вычислите длину ломаной, изображённой на рисунке 28.

5 мм

Для того чтобы вычислить длину ломаной линии, необходимо найти сумму длин всех ее звеньев (отрезков).

Из условия на рисунке мы видим, что ломаная изображена на клетчатой сетке. Длина стороны одной клетки сетки составляет 5 мм.

Посчитаем длину каждого звена ломаной в клетках, двигаясь от внешнего конца к центру:

• Первое звено (нижнее горизонтальное) = 4 клетки.
• Второе звено (левое вертикальное) = 4 клетки.
• Третье звено (верхнее горизонтальное) = 4 клетки.
• Четвертое звено (правое вертикальное) = 3 клетки.
• Пятое звено (среднее горизонтальное) = 3 клетки.
• Шестое звено (среднее вертикальное) = 2 клетки.
• Седьмое звено (внутреннее горизонтальное) = 2 клетки.
• Восьмое звено (внутреннее вертикальное) = 1 клетка.
• Девятое звено (самое внутреннее горизонтальное) = 1 клетка.

Теперь сложим длины всех звеньев, чтобы найти общую длину ломаной в клетках:
$L_{клетки} = 4 + 4 + 4 + 3 + 3 + 2 + 2 + 1 + 1 = 24$ клетки.

Зная, что длина одной клетки равна 5 мм, вычислим общую длину ломаной в миллиметрах:
$L = 24 \times 5 \text{ мм} = 120 \text{ мм}$.

Эту длину можно также перевести в сантиметры:
$120 \text{ мм} = 12 \text{ см}$.

Ответ: 120 мм.

232. Вычислите длину ломаной, изображённой на рисунке 29.

Рис. 29

8 мм

Чтобы вычислить длину ломаной, необходимо определить, из скольких одинаковых отрезков она состоит, и умножить это количество на длину одного такого отрезка.

Из рисунка видно, что вся ломаная линия составлена из одинаковых сегментов, каждый из которых является диагональю одной клетки сетки. В условии указано, что длина одного такого сегмента составляет 8 мм.

Теперь посчитаем общее количество этих сегментов в ломаной. Можно увидеть, что ломаная образует "спираль" из ромбов:

• Внешний контур (самый большой ромб) состоит из 4 сегментов.
• Следующий ромб поменьше также состоит из 4 сегментов.
• Внутренняя, центральная часть состоит из 2 сегментов.

Сложим количество сегментов, чтобы найти их общее число:

$4 + 4 + 2 = 10$

Таким образом, ломаная состоит из 10 одинаковых сегментов.

Для нахождения общей длины ломаной умножим количество сегментов на длину одного сегмента:

$10 \times 8 \text{ мм} = 80 \text{ мм}$

Ответ: 80 мм.

233. На рисунке 30 угол $ABC$ – развёрнутый, луч $BD$ – биссектриса угла $ABE$, луч $BF$ – биссектриса угла $CBE$. Найдите величину угла $DBF$.

Рис. 30

Поскольку угол $ABC$ является развёрнутым, его градусная мера составляет $180^{\circ}$. Этот угол состоит из двух смежных углов, $\angle ABE$ и $\angle CBE$, сумма которых равна величине развёрнутого угла.

$\angle ABE + \angle CBE = \angle ABC = 180^{\circ}$

Согласно условию, луч $BD$ — это биссектриса угла $ABE$. По определению биссектрисы, она делит угол на две равные части. Таким образом, мы можем выразить угол $DBE$ через угол $ABE$:

$\angle DBE = \frac{1}{2} \angle ABE$

Аналогично, луч $BF$ является биссектрисой угла $CBE$. Следовательно, он также делит этот угол пополам:

$\angle EBF = \frac{1}{2} \angle CBE$

Угол $DBF$, величину которого необходимо найти, состоит из суммы углов $DBE$ и $EBF$, так как луч $BE$ проходит между лучами $BD$ и $BF$.

$\angle DBF = \angle DBE + \angle EBF$

Теперь подставим в это равенство выражения для углов $DBE$ и $EBF$:

$\angle DBF = \frac{1}{2} \angle ABE + \frac{1}{2} \angle CBE$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки, чтобы упростить выражение:

$\angle DBF = \frac{1}{2} (\angle ABE + \angle CBE)$

Мы уже знаем, что сумма углов в скобках $(\angle ABE + \angle CBE)$ равна $180^{\circ}$. Подставим это значение в нашу формулу:

$\angle DBF = \frac{1}{2} \cdot 180^{\circ}$

Вычислив произведение, получаем окончательный результат:

$\angle DBF = 90^{\circ}$

Ответ: $90^{\circ}$

234. На рисунке 31 луч $OD$ – биссектриса угла $MOE$, луч $OF$ – биссектриса угла $KOE$. Найдите величину угла $MOK$, если $\angle DOF = 76^\circ$.

По условию задачи, луч OD является биссектрисой угла MOE. Это означает, что он делит угол MOE на два равных угла:

$ \angle MOD = \angle DOE $

Аналогично, луч OF является биссектрисой угла KOE, поэтому он делит этот угол на два равных угла:

$ \angle EOF = \angle FOK $

Угол DOF, величина которого известна, состоит из суммы углов DOE и EOF:

$ \angle DOF = \angle DOE + \angle EOF $

Из условия мы знаем, что $ \angle DOF = 76^\circ $, следовательно:

$ \angle DOE + \angle EOF = 76^\circ $

Угол MOK, который нам требуется найти, является суммой углов MOE и KOE:

$ \angle MOK = \angle MOE + \angle KOE $

Распишем углы MOE и KOE через их составляющие:

$ \angle MOK = (\angle MOD + \angle DOE) + (\angle EOF + \angle FOK) $

Используя свойства биссектрис ($ \angle MOD = \angle DOE $ и $ \angle EOF = \angle FOK $), мы можем переписать выражение для угла MOK:

$ \angle MOK = (\angle DOE + \angle DOE) + (\angle EOF + \angle EOF) = 2 \cdot \angle DOE + 2 \cdot \angle EOF $

Вынесем общий множитель 2 за скобки:

$ \angle MOK = 2 \cdot (\angle DOE + \angle EOF) $

Мы уже установили, что сумма в скобках равна величине угла DOF, то есть $ 76^\circ $.

Подставим это значение в наше выражение:

$ \angle MOK = 2 \cdot \angle DOF = 2 \cdot 76^\circ = 152^\circ $

Ответ: $152^\circ$.

235. По кругу записано 7 натуральных чисел. Докажите, что среди этих чисел найдутся два соседних, сумма которых чётна.

Для доказательства воспользуемся методом от противного.

Сумма двух натуральных чисел является чётной, если оба числа имеют одинаковую чётность (оба чётные или оба нечётные). Если числа имеют разную чётность, их сумма нечётна. То есть: Чётное + Чётное = Чётное; Нечётное + Нечётное = Чётное; Чётное + Нечётное = Нечётное.

Предположим противное: что среди 7 чисел, записанных по кругу, нет двух соседних, сумма которых чётна. Это означает, что сумма любой пары соседних чисел нечётна.

Если сумма двух соседних чисел нечётна, то эти числа должны иметь разную чётность. То есть, чётное число должно обязательно стоять рядом с нечётным, и наоборот.

Обозначим числа, записанные по кругу, как $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7$.

Пусть число $a_1$ — чётное. Тогда, согласно нашему предположению, чётность чисел должна чередоваться: $a_1$ — чётное, значит $a_2$ (его сосед) должно быть нечётным; $a_2$ — нечётное, значит $a_3$ должно быть чётным; $a_3$ — чётное, значит $a_4$ должно быть нечётным, и так далее.

Таким образом, мы получаем следующую последовательность чётностей для чисел от $a_1$ до $a_7$: Чётное, Нечётное, Чётное, Нечётное, Чётное, Нечётное, Чётное.

Теперь рассмотрим последнюю пару соседних чисел в круге: $a_7$ и $a_1$. Согласно нашей последовательности, и $a_7$, и $a_1$ являются чётными. Их сумма $a_7 + a_1$ будет суммой двух чётных чисел, а значит, она будет чётной.

Это противоречит нашему исходному предположению о том, что сумма любой пары соседних чисел нечётна.

Если бы мы изначально предположили, что $a_1$ — нечётное, мы бы получили последовательность: Нечётное, Чётное, Нечётное, Чётное, Нечётное, Чётное, Нечётное. В этом случае $a_7$ и $a_1$ оба были бы нечётными, и их сумма $a_7 + a_1$ также была бы чётной (как сумма двух нечётных чисел), что снова привело бы к противоречию.

Следовательно, наше первоначальное предположение неверно. Значит, по кругу не могут быть расположены 7 чисел так, чтобы сумма любых двух соседних была нечётной. Обязательно найдётся пара соседних чисел с одинаковой чётностью.

Ответ: Утверждение доказано. Среди 7 натуральных чисел, записанных по кругу, обязательно найдутся два соседних числа, сумма которых чётна.