Страница 44 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

216. Известно, что $MP = 32 \text{ см}$, $MK = 24 \text{ см}$, $NP = 18 \text{ см}$ (рис. 21). Найдите длину отрезка $NK$.

Рис. 21

Согласно условию и рисунку, точки M, N, K, P расположены последовательно на одной прямой. Это означает, что длина большего отрезка равна сумме длин составляющих его меньших отрезков.

Мы можем выразить длину всего отрезка MP через отрезки MK и NP. Для этого рассмотрим, из каких частей состоят отрезки MK и NP:

• Отрезок MK состоит из отрезков MN и NK: $MK = MN + NK$.
• Отрезок NP состоит из отрезков NK и KP: $NP = NK + KP$.

Сложим длины отрезков MK и NP:

$MK + NP = (MN + NK) + (NK + KP)$

Перегруппируем слагаемые в правой части равенства:

$MK + NP = (MN + NK + KP) + NK$

Сумма отрезков в скобках $(MN + NK + KP)$ как раз и составляет весь отрезок MP. Таким образом, мы можем заменить выражение в скобках на MP:

$MK + NP = MP + NK$

Из этого уравнения мы можем найти искомую длину отрезка NK:

$NK = MK + NP - MP$

Теперь подставим в эту формулу числовые значения, данные в условии задачи: $MP = 32$ см, $MK = 24$ см, $NP = 18$ см.

$NK = 24 + 18 - 32$

$NK = 42 - 32$

$NK = 10$ см.

Ответ: 10 см.

217. Известно, что $BD = 12$ см, $CE = 16$ см, $CD = 5$ см (рис. 22). Найдите длину отрезка $BE$.

Рис. 22

B • C • D • E

Для того чтобы найти длину отрезка BE, необходимо определить длины всех сегментов, из которых он состоит. Согласно рисунку, точки B, C, D, E лежат на одной прямой, и отрезок BE состоит из отрезков BC, CD и DE. Таким образом, его длина вычисляется по формуле: $BE = BC + CD + DE$.

Из условия задачи нам известна длина отрезка CD, но неизвестны длины BC и DE. Мы можем найти их, используя другие данные.

1. Вычислим длину отрезка BC. Отрезок BD является суммой отрезков BC и CD. Следовательно, $BD = BC + CD$. Из этой формулы мы можем выразить длину BC:
$BC = BD - CD$
Подставим известные значения: $BD = 12$ см и $CD = 5$ см.
$BC = 12 - 5 = 7$ (см).

2. Вычислим длину отрезка DE. Аналогично, отрезок CE является суммой отрезков CD и DE. Следовательно, $CE = CD + DE$. Выразим длину DE:
$DE = CE - CD$
Подставим известные значения: $CE = 16$ см и $CD = 5$ см.
$DE = 16 - 5 = 11$ (см).

3. Теперь, зная длины всех трех отрезков, составляющих отрезок BE, мы можем найти его общую длину:
$BE = BC + CD + DE$
$BE = 7 + 5 + 11 = 23$ (см).

Ответ: 23 см.

218. Проведите прямую $a$ и отметьте на ней точки $A, B$ и $C$ так, что $AB = 4 \text{ см } 4 \text{ мм}$, $BC = 6 \text{ см } 8 \text{ мм}$. Вычислите расстояние между точками $A$ и $C$. Сколько решений имеет задача?

Поскольку в условии задачи не указано взаимное расположение точек A, B и C на прямой, задача может иметь несколько решений. Рассмотрим все возможные случаи.

Вычислите расстояние между точками A и C

Существует два возможных варианта расположения точек, которые дают осмысленное решение.

Случай 1: Точка B лежит между точками A и C.

В этом случае точки на прямой расположены в порядке A-B-C. Длина отрезка AC равна сумме длин отрезков AB и BC.

$AC = AB + BC$

$AC = (4 \text{ см } 4 \text{ мм}) + (6 \text{ см } 8 \text{ мм}) = 10 \text{ см } 12 \text{ мм}$

Так как $1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$, то $12 \text{ мм}$ равны $1 \text{ см } 2 \text{ мм}$.

$AC = 10 \text{ см} + 1 \text{ см } 2 \text{ мм} = 11 \text{ см } 2 \text{ мм}$.

Случай 2: Точка A лежит между точками B и C.

В этом случае точки на прямой расположены в порядке B-A-C. Длина отрезка BC равна сумме длин отрезков BA и AC. Чтобы найти длину AC, необходимо вычесть длину AB из длины BC.

$AC = BC - AB$

$AC = (6 \text{ см } 8 \text{ мм}) - (4 \text{ см } 4 \text{ мм}) = 2 \text{ см } 4 \text{ мм}$.

(Третий возможный случай, когда точка C лежит между точками A и B, невозможен. В этом случае длина AC была бы равна $AB - BC$. Так как $AB = 4 \text{ см } 4 \text{ мм}$, а $BC = 6 \text{ см } 8 \text{ мм}$, то $AB < BC$, и разность была бы отрицательной, что для расстояния невозможно.)

Ответ: Расстояние между точками A и C может быть равно $11 \text{ см } 2 \text{ мм}$ или $2 \text{ см } 4 \text{ мм}$.

Сколько решений имеет задача?

Исходя из анализа возможных вариантов расположения точек, мы получили два различных возможных значения для расстояния AC. Следовательно, задача имеет два решения.

Ответ: Задача имеет 2 решения.

219. На прямой $m$ отметили точку $O$ и отложили на прямой отрезок $OM$ длиной 14 см и отрезок $OK$, который в 3 раза больше отрезка $OM$.

Чему равно расстояние между точками $M$ и $K$?

Для решения задачи сначала найдем длину отрезка $OK$. По условию, он в 3 раза больше отрезка $OM$, длина которого равна 14 см.

$OK = 3 \cdot OM = 3 \cdot 14 = 42$ см.

Поскольку в условии не указано, как именно на прямой отложены отрезки относительно точки $O$ (в одну сторону или в разные), существует два возможных варианта решения.

1. Точки M и K расположены по одну сторону от точки O.

В этом случае точка $O$ является началом двух лучей, и оба отрезка лежат на одном из них. Так как $OM = 14$ см, а $OK = 42$ см, то точка $M$ будет находиться между точками $O$ и $K$. Расстояние между точками $M$ и $K$ будет равно разности длин большего и меньшего отрезков.

$MK = OK - OM = 42 - 14 = 28$ см.

Ответ: 28 см.

2. Точки M и K расположены по разные стороны от точки O.

В этом случае точка $O$ лежит между точками $M$ и $K$. Расстояние между точками $M$ и $K$ будет равно сумме длин отрезков $OM$ и $OK$.

$MK = OM + OK = 14 + 42 = 56$ см.

Ответ: 56 см.

220. Постройте ломаную $MNKP$ так, что $MN = 12 \text{ мм}$, $NK = 25 \text{ мм}$, $KP = 36 \text{ мм}$. Вычислите длину ломаной.

Данная задача включает в себя два этапа: сначала необходимо описать построение ломаной линии по заданным параметрам, а затем вычислить ее общую длину.

Построение ломаной MNKP

Ломаная линия MNKP состоит из трех последовательно соединенных отрезков, которые называются звеньями: MN, NK и KP. Построение выполняется следующим образом:
1. На плоскости выбирается произвольная точка, которая будет началом ломаной, — точка M.
2. Из точки M проводится отрезок MN длиной 12 мм.
3. Из точки N (конца первого отрезка) проводится второй отрезок NK длиной 25 мм. Так как в условии не задан угол между звеньями, его можно выбрать произвольно.
4. Из точки K (конца второго отрезка) проводится третий отрезок KP длиной 36 мм, также под произвольным углом к предыдущему звену.
В результате будет построена ломаная MNKP с заданными длинами звеньев.

Вычисление длины ломаной

Длина ломаной линии равна сумме длин всех ее звеньев. Для ломаной MNKP ее длина, обозначим ее $L$, вычисляется по формуле:
$L = MN + NK + KP$

Подставим в эту формулу длины звеньев, указанные в условии задачи:
$MN = 12$ мм
$NK = 25$ мм
$KP = 36$ мм

Произведем вычисление:
$L = 12 \text{ мм} + 25 \text{ мм} + 36 \text{ мм} = 73 \text{ мм}$

Сначала сложим первые два слагаемых: $12 + 25 = 37$.
Затем к результату прибавим третье слагаемое: $37 + 36 = 73$.
Таким образом, общая длина ломаной линии MNKP составляет 73 мм.

Ответ: 73 мм.

221. Постройте ломаную $ABCD$ так, что звено $AB$ равно 16 мм, звено $BC$ на 18 мм больше звена $AB$, а звено $CD$ – в 2 раза меньше звена $BC$. Вычислите длину ломаной.

Постройте ломаную ABCD так, что звено AB равно 16 мм, звено BC на 18 мм больше звена AB, а звено CD — в 2 раза меньше звена BC.

Для того чтобы построить ломаную, сначала необходимо определить длины всех ее звеньев.

1. Длина звена AB дана по условию: $AB = 16$ мм.
2. Длина звена BC на 18 мм больше длины звена AB. Вычислим ее:

   $BC = AB + 18 \text{ мм} = 16 \text{ мм} + 18 \text{ мм} = 34 \text{ мм}$

3. Длина звена CD в 2 раза меньше длины звена BC. Вычислим ее:

   $CD = BC \div 2 = 34 \text{ мм} \div 2 = 17 \text{ мм}$

Теперь, зная длины всех звеньев, можно построить ломаную. Для этого нужно последовательно начертить три отрезка: отрезок AB длиной 16 мм, из точки B — отрезок BC длиной 34 мм, и из точки C — отрезок CD длиной 17 мм.

Ответ: Для построения ломаной необходимо использовать следующие длины звеньев: $AB = 16$ мм, $BC = 34$ мм, $CD = 17$ мм.

Вычислите длину ломаной.

Длина ломаной — это сумма длин всех ее звеньев. Для ломаной ABCD ее длина будет равна сумме длин отрезков AB, BC и CD.

Длина ломаной = $AB + BC + CD$

Подставим вычисленные ранее значения длин:

Длина ломаной = $16 \text{ мм} + 34 \text{ мм} + 17 \text{ мм}$

Выполним сложение:

$16 + 34 + 17 = 50 + 17 = 67$ мм.

Ответ: Длина ломаной равна 67 мм.

222. За какое время поворачивается на прямой угол:

1) часовая стрелка;

2) минутная стрелка;

3) секундная стрелка?

Прямой угол составляет $90^\circ$. Полный оборот стрелки по циферблату составляет $360^\circ$. Следовательно, чтобы повернуться на прямой угол, стрелке необходимо пройти часть полного оборота, равную:
$\frac{90^\circ}{360^\circ} = \frac{1}{4}$

1) часовая стрелка
Часовая стрелка совершает полный оборот ($360^\circ$) за 12 часов. Время, за которое она повернется на прямой угол ($90^\circ$), составляет $\frac{1}{4}$ от времени полного оборота:
$t_{часовая} = 12 \text{ часов} \cdot \frac{1}{4} = 3 \text{ часа}$.
Ответ: 3 часа.

2) минутная стрелка
Минутная стрелка совершает полный оборот ($360^\circ$) за 60 минут (1 час). Время, за которое она повернется на прямой угол ($90^\circ$), составляет $\frac{1}{4}$ от времени полного оборота:
$t_{минутная} = 60 \text{ минут} \cdot \frac{1}{4} = 15 \text{ минут}$.
Ответ: 15 минут.

3) секундная стрелка
Секундная стрелка совершает полный оборот ($360^\circ$) за 60 секунд (1 минута). Время, за которое она повернется на прямой угол ($90^\circ$), составляет $\frac{1}{4}$ от времени полного оборота:
$t_{секундная} = 60 \text{ секунд} \cdot \frac{1}{4} = 15 \text{ секунд}$.
Ответ: 15 секунд.

223. Какова градусная мера угла, на который минутная стрелка поворачивается:

1) за 30 мин;

2) за 10 мин;

3) за 18 мин?

Для решения задачи сначала определим, на какой угол поворачивается минутная стрелка за одну минуту. Полный оборот по циферблату часов составляет $360^{\circ}$. Минутная стрелка совершает этот оборот ровно за 60 минут.

Следовательно, угловая скорость вращения минутной стрелки равна:

$\frac{360^{\circ}}{60 \text{ минут}} = 6^{\circ} \text{ в минуту}$.

Зная эту величину, мы можем найти угол поворота для каждого из заданных промежутков времени, умножив время на угловую скорость.

1) за 30 мин

Чтобы найти угол, на который минутная стрелка поворачивается за 30 минут, умножим время на угловую скорость:

$30 \text{ мин} \times 6^{\circ}/\text{мин} = 180^{\circ}$.

Ответ: $180^{\circ}$.

2) за 10 мин

Чтобы найти угол, на который минутная стрелка поворачивается за 10 минут, умножим время на угловую скорость:

$10 \text{ мин} \times 6^{\circ}/\text{мин} = 60^{\circ}$.

Ответ: $60^{\circ}$.

3) за 18 мин

Чтобы найти угол, на который минутная стрелка поворачивается за 18 минут, умножим время на угловую скорость:

$18 \text{ мин} \times 6^{\circ}/\text{мин} = 108^{\circ}$.

Ответ: $108^{\circ}$.

224. Какова градусная мера угла, на который часовая стрелка поворачивается:

1) за 1 ч;

2) за 4 ч;

3) за 2 ч 30 мин?

Для решения задачи сначала определим скорость движения часовой стрелки. Полный оборот циферблата часов составляет $360°$. Часовая стрелка проходит этот путь за 12 часов.

Следовательно, скорость движения часовой стрелки в час составляет:

$360° \div 12 \text{ ч} = 30°/\text{ч}$

Теперь мы можем рассчитать угол поворота для каждого из указанных промежутков времени.

1) за 1 ч

Чтобы найти угол, на который повернется часовая стрелка за 1 час, нужно умножить время на её угловую скорость:

$1 \text{ ч} \cdot 30°/\text{ч} = 30°$

Ответ: $30°$.

2) за 4 ч

Аналогично, за 4 часа часовая стрелка повернется на угол:

$4 \text{ ч} \cdot 30°/\text{ч} = 120°$

Ответ: $120°$.

3) за 2 ч 30 мин

Сначала переведем 30 минут в часы. Поскольку в одном часе 60 минут, 30 минут составляют $30/60 = 0.5$ часа. Таким образом, общее время составляет $2 + 0.5 = 2.5$ часа.

Теперь умножим полученное время на скорость движения стрелки:

$2.5 \text{ ч} \cdot 30°/\text{ч} = 75°$

Ответ: $75°$.

225. Известно, что $\angle AMC = 72^\circ$, $\angle BMC = 28^\circ$, $\angle BMD = 65^\circ$ (рис. 23). Найдите величину угла $AMD$.

Рис. 23

Для решения задачи воспользуемся аксиомой о сложении углов. Согласно этой аксиоме, если луч делит угол на два угла, то градусная мера исходного угла равна сумме градусных мер этих двух углов.

Из рисунка видно, что искомый угол $∠AMD$ можно представить как сумму двух смежных углов, например, $∠AMB$ и $∠BMD$, или $∠AMC$ и $∠CMD$.

$∠AMD = ∠AMB + ∠BMD$

Или

$∠AMD = ∠AMC + ∠CMD$

Рассмотрим первый вариант. Нам дана величина угла $∠BMD = 65°$. Найдем величину угла $∠AMB$.

Угол $∠AMC$ состоит из углов $∠AMB$ и $∠BMC$. Следовательно:

$∠AMC = ∠AMB + ∠BMC$

Подставим известные из условия значения $∠AMC = 72°$ и $∠BMC = 28°$:

$72° = ∠AMB + 28°$

Выразим отсюда $∠AMB$:

$∠AMB = 72° - 28° = 44°$

Теперь, зная величины углов $∠AMB$ и $∠BMD$, мы можем найти угол $∠AMD$:

$∠AMD = ∠AMB + ∠BMD = 44° + 65° = 109°$

Для проверки можно использовать второй вариант, предварительно найдя $∠CMD$.

$∠BMD = ∠BMC + ∠CMD$
$65° = 28° + ∠CMD$
$∠CMD = 65° - 28° = 37°$
Теперь найдем $∠AMD$:
$∠AMD = ∠AMC + ∠CMD = 72° + 37° = 109°$

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: $109°$.

226. Известно, что $\angle BAE = 80^\circ$, $\angle BAD = 36^\circ$, $\angle CAE = 56^\circ$ (рис. 24). Найдите величину угла CAD.

Рис. 24

Для решения данной задачи воспользуемся свойством сложения углов. Согласно этому свойству, если луч делит угол на два угла, то градусная мера всего угла равна сумме градусных мер этих двух углов.

Из рисунка и условия задачи мы видим, что угол $ \angle BAE $ является суммой углов $ \angle BAC $ и $ \angle CAE $. Запишем это в виде уравнения:

$ \angle BAE = \angle BAC + \angle CAE $

Нам известны значения $ \angle BAE = 80^\circ $ и $ \angle CAE = 56^\circ $. Мы можем найти величину угла $ \angle BAC $, вычтя из большего угла меньший:

$ \angle BAC = \angle BAE - \angle CAE = 80^\circ - 56^\circ = 24^\circ $

Теперь рассмотрим угол $ \angle BAD $. Он, в свою очередь, состоит из суммы углов $ \angle BAC $ и $ \angle CAD $:

$ \angle BAD = \angle BAC + \angle CAD $

Нам известна величина угла $ \angle BAD = 36^\circ $, и мы только что вычислили, что $ \angle BAC = 24^\circ $. Чтобы найти искомый угол $ \angle CAD $, вычтем из величины угла $ \angle BAD $ величину угла $ \angle BAC $:

$ \angle CAD = \angle BAD - \angle BAC = 36^\circ - 24^\circ = 12^\circ $

Ответ: $ 12^\circ $