Страница 42 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

196. Найдите на рисунке 16 равные отрезки.

Рис. 16

Задача состоит в том, чтобы найти на рисунке 16 равных отрезков. Это можно интерпретировать как нахождение 8 пар отрезков одинаковой длины. Для этого определим длины отрезков, соединяющих указанные точки, используя сетку как систему координат и теорему Пифагора. Примем сторону клетки за 1 единицу. Длина отрезка между точками $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ вычисляется по формуле $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

Пары 1 и 2. Отрезки длиной 2

На рисунке есть четыре отрезка длиной 2: $AM, EF, DE, KF$.
Длина $AM = \sqrt{(0-0)^2 + (4-2)^2} = 2$.
Длина $EF = \sqrt{(3-3)^2 + (2-0)^2} = 2$.
Длина $DE = \sqrt{(5-3)^2 + (2-2)^2} = 2$.
Длина $KF = \sqrt{(3-1)^2 + (0-0)^2} = 2$.
Они образуют две пары равных отрезков: $AM=EF$ и $DE=KF$.

Пары 3 и 4. Отрезки длиной $\sqrt{5}$

На рисунке есть пять отрезков длиной $\sqrt{5}$ (являются гипотенузами прямоугольных треугольников с катетами 1 и 2): $MK, BD, CE, DN, DP$.
Длина $MK = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$.
Длина $BD = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$.
Длина $CE = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$.
Длина $DN = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$.
Из них можно сформировать две пары равных отрезков: $MK=BD$ и $CE=DN$.

Пара 5. Отрезки длиной 6

Отрезки $AB$ и $CN$ имеют длину 6.
$AB=6$, $CN=6$.
Они образуют пару: $AB=CN$.

Пара 6. Отрезки длиной $\sqrt{8}$

Отрезки $DF$ и $KE$ имеют длину $\sqrt{8}$ (являются гипотенузами прямоугольных треугольников с катетами 2 и 2).
Длина $DF = \sqrt{2^2+2^2} = \sqrt{8}$.
Длина $KE = \sqrt{2^2+2^2} = \sqrt{8}$.
Они образуют пару: $DF=KE$.

Пара 7. Отрезки длиной $\sqrt{40}$

Отрезки $BM$ и $MP$ имеют длину $\sqrt{40}$ (являются гипотенузами прямоугольных треугольников с катетами 6 и 2).
Длина $BM = \sqrt{6^2+2^2} = \sqrt{40}$.
Длина $MP = \sqrt{6^2+2^2} = \sqrt{40}$.
Они образуют пару: $BM=MP$.

Пара 8. Отрезки длиной $\sqrt{50}$

Отрезки $AN$ и $MN$ имеют длину $\sqrt{50}$ (являются гипотенузами прямоугольных треугольников с катетами 7 и 1).
Длина $AN = \sqrt{7^2+1^2} = \sqrt{50}$.
Длина $MN = \sqrt{7^2+1^2} = \sqrt{50}$.
Они образуют пару: $AN=MN$.

Ответ:
На рисунке найдены 8 пар равных отрезков, что составляет в сумме 16 отрезков:
1. $AM = EF$ (длина 2)
2. $DE = KF$ (длина 2)
3. $MK = BD$ (длина $\sqrt{5}$)
4. $CE = DN$ (длина $\sqrt{5}$)
5. $AB = CN$ (длина 6)
6. $DF = KE$ (длина $\sqrt{8}$)
7. $BM = MP$ (длина $\sqrt{40}$)
8. $AN = MN$ (длина $\sqrt{50}$)

197. Найдите на рисунке 17 равные отрезки. Запишите соответствующие равенства.

Рис. 17

$CD = MK$

$DN = NS$

$SP = FO$

Для того чтобы найти равные отрезки на рисунке, необходимо вычислить длину каждого из них. Будем считать, что сторона одной клетки на сетке равна 1 единице. Длину наклонного отрезка можно найти с помощью теоремы Пифагора, представив его как гипотенузу прямоугольного треугольника. Катетами такого треугольника будут отрезки, проходящие по линиям сетки, соответствующие смещению концов отрезка по горизонтали ($\Delta x$) и по вертикали ($\Delta y$). Формула для вычисления длины $L$ будет следующей: $L = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$.

Рассчитаем длину каждого отрезка:

• Отрезок AB: Смещение по горизонтали составляет 2 клетки, а по вертикали — 1 клетку. Его длина: $AB = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$.
• Отрезок CD: Это горизонтальный отрезок, его длина равна 3 клеткам. $CD = 3$.
• Отрезок EF: Смещение по горизонтали — 3 клетки, по вертикали — 2 клетки. Его длина: $EF = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$.
• Отрезок FO: Смещение по горизонтали — 1 клетка, по вертикали — 1 клетка. Его длина: $FO = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.
• Отрезок OS: Смещение по горизонтали — 2 клетки, по вертикали — 2 клетки. Его длина: $OS = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8}$.
• Отрезок SP: Смещение по горизонтали — 1 клетка, по вертикали — 1 клетка. Его длина: $SP = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.
• Отрезок PN: Смещение по горизонтали — 1 клетка, по вертикали — 2 клетки. Его длина: $PN = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$.
• Отрезок DN: Смещение по горизонтали — 1 клетка, по вертикали — 1 клетка. Его длина: $DN = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.
• Отрезок MK: Это вертикальный отрезок, его длина равна 2 клеткам. $MK = 2$.

Сравнив полученные длины, мы можем найти группы равных отрезков:

• Отрезки $AB$ и $PN$ имеют одинаковую длину, равную $\sqrt{5}$.
• Отрезки $FO$, $SP$ и $DN$ имеют одинаковую длину, равную $\sqrt{2}$.

Таким образом, мы можем записать следующие равенства:

$AB = PN$

$FO = SP = DN$

Ответ: $AB = PN$; $FO = SP = DN$.

198. Сравните на глаз отрезки $AB$ и $BC$ (рис. 18). Проверьте свой вывод измерениями.

Рис. 18

Сравнение на глаз

При визуальном сравнении отрезков $AB$ и $BC$ на рисунке 18 возникает оптическая иллюзия. Из-за наклона отрезков и окружающих их линий параллелограмма кажется, что отрезок $BC$ длиннее, чем отрезок $AB$.

Ответ: На глаз кажется, что отрезок $BC$ длиннее отрезка $AB$.

Проверка измерениями

Чтобы проверить вывод, сделанный на глаз, необходимо измерить длины отрезков с помощью точного инструмента, например, линейки или циркуля.

1. С помощью линейки. Если приложить линейку к отрезку $AB$ и измерить его длину, а затем проделать то же самое с отрезком $BC$, то окажется, что их длины равны. Например, измерение может показать, что $AB \approx 2,8$ см и $BC \approx 2,8$ см.

2. С помощью циркуля. Можно установить ножку циркуля в точку $B$, а грифель — в точку $A$. Затем, не изменяя раствора циркуля, повернуть его так, чтобы грифель оказался рядом с точкой $C$. Мы увидим, что грифель точно совпадет с точкой $C$. Это доказывает, что точка $A$ и точка $C$ находятся на одинаковом расстоянии от точки $B$, следовательно, отрезки $AB$ и $BC$ равны.

Таким образом, точное измерение опровергает первоначальное визуальное впечатление.

Ответ: Проверка измерениями показывает, что отрезки $AB$ и $BC$ на самом деле равны по длине: $AB = BC$.

199. Выразите в миллиметрах:

1) Чтобы выразить сантиметры в миллиметрах, необходимо знать соотношение между этими единицами измерения. В одном сантиметре содержится 10 миллиметров.
$1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$
Для того чтобы перевести 24 см в миллиметры, нужно умножить количество сантиметров на 10.
$24 \text{ см} = 24 \times 10 \text{ мм} = 240 \text{ мм}$
Ответ: 240 мм.

2) Чтобы выразить дециметры в миллиметрах, вспомним соотношения единиц длины. В одном дециметре содержится 10 сантиметров, а в каждом сантиметре — 10 миллиметров. Следовательно, в одном дециметре $10 \times 10 = 100$ миллиметров.
$1 \text{ дм} = 10 \text{ см} = 100 \text{ мм}$
Чтобы перевести 35 дм в миллиметры, нужно умножить это значение на 100.
$35 \text{ дм} = 35 \times 100 \text{ мм} = 3500 \text{ мм}$
Ответ: 3500 мм.

3) В данном случае необходимо перевести в миллиметры и метры, и сантиметры, а затем сложить полученные значения.
Сначала переведем метры в миллиметры. В одном метре 100 сантиметров, значит, 1000 миллиметров.
$1 \text{ м} = 100 \text{ см} = 1000 \text{ мм}$
$5 \text{ м} = 5 \times 1000 \text{ мм} = 5000 \text{ мм}$
Теперь переведем сантиметры в миллиметры.
$1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$
$6 \text{ см} = 6 \times 10 \text{ мм} = 60 \text{ мм}$
Теперь сложим результаты:
$5 \text{ м} \ 6 \text{ см} = 5000 \text{ мм} + 60 \text{ мм} = 5060 \text{ мм}$
Ответ: 5060 мм.

200. Выразите в метрах и сантиметрах:

1) $264 \text{ см}$;

2) $1350 \text{ мм}$;

3) $11 \text{ дм } 8 \text{ см}$.

Для решения этой задачи необходимо использовать следующие соотношения единиц длины:
$1 \text{ метр (м)} = 100 \text{ сантиметрам (см)}$
$1 \text{ дециметр (дм)} = 10 \text{ сантиметрам (см)}$
$1 \text{ сантиметр (см)} = 10 \text{ миллиметрам (мм)}$

1) 264 см;
Чтобы выразить 264 сантиметра в метрах и сантиметрах, разделим это число на 100. Целая часть результата будет количеством метров, а остаток — количеством сантиметров.
$264 \text{ см} = 200 \text{ см} + 64 \text{ см} = (200 \div 100) \text{ м} + 64 \text{ см} = 2 \text{ м } 64 \text{ см}$.
Ответ: 2 м 64 см.

2) 1350 мм;
Сначала переведем миллиметры в сантиметры. Для этого разделим 1350 на 10.
$1350 \text{ мм} = (1350 \div 10) \text{ см} = 135 \text{ см}$.
Теперь переведем 135 сантиметров в метры и сантиметры, разделив на 100.
$135 \text{ см} = 100 \text{ см} + 35 \text{ см} = 1 \text{ м } 35 \text{ см}$.
Ответ: 1 м 35 см.

3) 11 дм 8 см.
Сначала переведем все в единую единицу измерения — сантиметры. Умножим дециметры на 10.
$11 \text{ дм} = 11 \times 10 \text{ см} = 110 \text{ см}$.
Теперь сложим полученное значение с оставшимися сантиметрами.
$110 \text{ см} + 8 \text{ см} = 118 \text{ см}$.
Наконец, переведем 118 сантиметров в метры и сантиметры.
$118 \text{ см} = 100 \text{ см} + 18 \text{ см} = 1 \text{ м } 18 \text{ см}$.
Ответ: 1 м 18 см.

201. Начертите отрезок $AB$ длиной 5 см и отрезок $CD$ длиной 2 см. Постройте:

1) отрезок, длина которого равна сумме длин отрезков $AB$ и $CD$;

2) отрезок, длина которого равна разности длин отрезков $AB$ и $CD$.

Дано: отрезок $AB$ длиной 5 см, отрезок $CD$ длиной 2 см.

1) Постройте отрезок, длина которого равна сумме длин отрезков $AB$ и $CD$

Чтобы найти длину нового отрезка, нужно сложить длины отрезков $AB$ и $CD$.
Длина искомого отрезка = Длина $AB$ + Длина $CD$ = $5 \text{ см} + 2 \text{ см} = 7 \text{ см}$.

Построение:

1. Начертим произвольный луч с началом в точке $M$.
2. С помощью циркуля и линейки отложим от точки $M$ на луче отрезок $MN$, равный отрезку $AB$ (5 см).
3. От точки $N$ отложим в том же направлении отрезок $NK$, равный отрезку $CD$ (2 см).
4. Отрезок $MK$ будет искомым отрезком, так как его длина равна сумме длин отрезков $MN$ и $NK$: $MK = MN + NK = 5 \text{ см} + 2 \text{ см} = 7 \text{ см}$.

Ответ: Длина отрезка, равного сумме длин отрезков $AB$ и $CD$, составляет 7 см.

2) Постройте отрезок, длина которого равна разности длин отрезков $AB$ и $CD$

Чтобы найти длину нового отрезка, нужно из длины большего отрезка ($AB$) вычесть длину меньшего ($CD$).
Длина искомого отрезка = Длина $AB$ - Длина $CD$ = $5 \text{ см} - 2 \text{ см} = 3 \text{ см}$.

Построение:

1. Начертим произвольный луч с началом в точке $P$.
2. С помощью циркуля и линейки отложим от точки $P$ на луче отрезок $PQ$, равный большему отрезку $AB$ (5 см).
3. От точки $Q$ отложим в обратном направлении (в сторону точки $P$) отрезок $QR$, равный меньшему отрезку $CD$ (2 см).
4. Отрезок $PR$ будет искомым отрезком, так как его длина равна разности длин отрезков $PQ$ и $QR$: $PR = PQ - QR = 5 \text{ см} - 2 \text{ см} = 3 \text{ см}$.

Ответ: Длина отрезка, равного разности длин отрезков $AB$ и $CD$, составляет 3 см.

202. На отрезке $AB$, длина которого равна 29 см, отметили точку $M$. Найдите длины отрезков $AM$ и $BM$, если отрезок $AM$ на 7 см короче отрезка $BM$.

Пусть длина отрезка $BM$ равна $x$ см.

По условию задачи, отрезок $AM$ на 7 см короче отрезка $BM$. Значит, длина отрезка $AM$ составляет $(x - 7)$ см.

Точка $M$ принадлежит отрезку $AB$, поэтому сумма длин отрезков $AM$ и $BM$ равна длине всего отрезка $AB$. Составим уравнение:

$AM + BM = AB$

Подставим выражения для длин отрезков в уравнение:

$(x - 7) + x = 29$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $x$:

$2x - 7 = 29$
$2x = 29 + 7$
$2x = 36$
$x = \frac{36}{2}$
$x = 18$

Таким образом, длина отрезка $BM$ равна 18 см.

Теперь найдем длину отрезка $AM$:

$AM = x - 7 = 18 - 7 = 11$ (см)

Проверим правильность решения: $11 + 18 = 29$ см, что соответствует длине отрезка $AB$. Разница длин составляет $18 - 11 = 7$ см, что также соответствует условию.

Ответ: длина отрезка $AM$ равна 11 см, длина отрезка $BM$ равна 18 см.

203. На отрезке $CD$, длина которого равна $32 \text{ см}$, отметили точку $O$. Найдите длины отрезков $CO$ и $OD$, если отрезок $CO$ в 3 раза длиннее отрезка $OD$.

Для решения задачи введем переменную. Пусть длина меньшего отрезка $OD$ равна $x$ см.

По условию задачи, отрезок $CO$ в 3 раза длиннее отрезка $OD$. Значит, длина отрезка $CO$ составляет $3 \times x = 3x$ см.

Точка $O$ делит отрезок $CD$ на два отрезка: $CO$ и $OD$. Сумма их длин равна длине всего отрезка $CD$.

Составим уравнение, исходя из того, что длина отрезка $CD$ равна 32 см:

$CO + OD = CD$

$3x + x = 32$

Теперь решим полученное уравнение:

$4x = 32$

$x = \frac{32}{4}$

$x = 8$

За $x$ мы принимали длину отрезка $OD$, следовательно, $OD = 8$ см.

Теперь найдем длину отрезка $CO$:

$CO = 3x = 3 \times 8 = 24$ см.

Проверим правильность решения: $CO + OD = 24 \text{ см} + 8 \text{ см} = 32 \text{ см}$. Результат совпадает с длиной отрезка $CD$.

Ответ: длина отрезка $CO$ равна 24 см, длина отрезка $OD$ равна 8 см.

204. Отметьте точки $A$, $B$, $C$ и $D$ так, чтобы луч $AB$ не пересекал прямую $CD$, а луч $CD$ пересекал прямую $AB$.

Для решения задачи необходимо найти такое расположение четырех точек A, B, C и D, которое удовлетворяло бы двум условиям одновременно. Для этого представим, что точки A и B лежат на одной прямой, а точки C и D — на другой. Чтобы лучи и прямые, образованные этими точками, могли пересекаться, сами прямые также должны пересекаться.

Обозначим точку пересечения прямой, содержащей A и B, и прямой, содержащей C и D, как некоторую точку O.

Теперь разберем каждое условие:

1. Луч AB не пересекает прямую CD.
   Луч AB — это часть прямой, которая начинается в точке A и проходит через точку B. Прямая CD — это вторая из наших пересекающихся прямых. Чтобы луч AB не пересекал прямую CD, их общая точка O не должна находиться на луче AB. Это возможно только в том случае, если точка A находится между точкой пересечения O и точкой B. То есть на прямой AB точки должны располагаться в порядке O-A-B.
2. Луч CD пересекает прямую AB.
   Луч CD начинается в точке C и проходит через точку D. Чтобы он пересекал прямую AB, их общая точка O должна лежать на этом луче. Это будет выполняться, если точка O лежит на отрезке CD или если точка D лежит между C и O. Самый простой вариант — расположить точку O между точками C и D.

Исходя из этих рассуждений, можно предложить следующий способ построения:

• Проведите две пересекающиеся прямые.
• На одной из прямых выберите сторону от точки пересечения и на ней последовательно отметьте точки A и B (так, чтобы A была ближе к точке пересечения).
• На второй прямой отметьте точки C и D по разные стороны от точки пересечения.

Наглядный пример такого расположения точек приведен на рисунке ниже.

На этом рисунке синим цветом показан луч AB. Он начинается в точке A и движется вправо-вверх, не проходя через точку пересечения O. Следовательно, он не пересекает прямую, на которой лежат точки C и D.

Красным цветом показан луч CD. Он начинается в точке C, проходит через точку пересечения O и далее через точку D. Так как точка O лежит на прямой AB, то луч CD пересекает прямую AB.

Ответ: Один из возможных вариантов расположения точек показан на рисунке. Для выполнения условий необходимо, чтобы точка пересечения прямых AB и CD лежала на луче CD, но не лежала на луче AB. Это достигается, если точка A находится между точкой пересечения и точкой B, а точка пересечения находится между точками C и D.