Страница 43 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

205. Проведите прямую $AB$ и лучи $CD$ и $EF$ так, чтобы луч $CD$ пересекал прямую $AB$ и луч $EF$, а луч $EF$ не пересекал прямую $AB$.

Для решения данной задачи необходимо выполнить последовательное построение геометрических фигур, соблюдая все указанные условия. Условия задачи следующие:

1. Луч $CD$ должен пересекать прямую $AB$.

2. Луч $CD$ должен пересекать луч $EF$.

3. Луч $EF$ не должен пересекать прямую $AB$.

Выполним построение по шагам:

1. Начертим прямую $AB$. Прямая бесконечна в обе стороны.

2. Чтобы выполнить условие №3, начертим луч $EF$ так, чтобы он не пересекал прямую $AB$. Проще всего этого достичь, если расположить луч $EF$ параллельно прямой $AB$. Также можно начертить его так, чтобы он начинался с одной стороны от прямой $AB$ и был направлен в противоположную сторону от нее.

3. Теперь начертим луч $CD$ так, чтобы он удовлетворял условиям №1 и №2. Для этого его нужно расположить так, чтобы он пересекал и прямую $AB$, и луч $EF$. Это можно сделать, если начать луч $CD$ в точке $C$, расположенной с той же стороны от прямой $AB$, что и луч $EF$, и направить его в сторону прямой $AB$.

Ниже приведен графический пример, иллюстрирующий решение:

На данном чертеже:

• Прямая $AB$ (черного цвета) и луч $EF$ (синего цвета) параллельны, поэтому луч $EF$ не пересекает прямую $AB$.

• Луч $CD$ (красного цвета) пересекает и луч $EF$, и прямую $AB$.

Таким образом, все условия задачи выполнены.

Ответ:

Для выполнения условий задачи необходимо построить прямую $AB$, затем построить луч $EF$ так, чтобы он был параллелен прямой $AB$ (или был направлен от нее). После этого следует провести луч $CD$ таким образом, чтобы он пересекал сначала луч $EF$, а затем прямую $AB$. Пример такого построения показан на рисунке выше.

206. Верно ли утверждение:

1) луч, проведённый из вершины тупого угла между его сторонами, делит этот угол на два острых угла;

2) биссектриса тупого угла делит его на два острых угла?

1) Утверждение неверно. Тупой угол — это угол $\alpha$, для которого выполняется неравенство $90^\circ < \alpha < 180^\circ$. Луч, проведённый из его вершины между его сторонами, делит его на два угла, $\beta$ и $\gamma$, так что $\alpha = \beta + \gamma$. Утверждение, что оба этих угла всегда будут острыми (то есть меньше $90^\circ$), неверно. Для доказательства достаточно привести контрпример. Пусть дан тупой угол $\alpha = 140^\circ$. Проведём луч так, чтобы он разделил этот угол на два угла: $\beta = 30^\circ$ и $\gamma = 110^\circ$. В этом случае угол $\beta$ является острым, так как $30^\circ < 90^\circ$, а угол $\gamma$ — тупым, так как $110^\circ > 90^\circ$. Так как один из полученных углов не является острым, утверждение ложно.

Ответ: нет, неверно.

2) Утверждение верно. Пусть дан тупой угол $\alpha$. Его градусная мера находится в пределах $90^\circ < \alpha < 180^\circ$. Биссектриса делит угол на два равных угла, каждый из которых равен $\frac{\alpha}{2}$. Чтобы определить, являются ли эти углы острыми, проверим, выполняется ли для них условие "меньше $90^\circ$". Для этого разделим все части двойного неравенства $90^\circ < \alpha < 180^\circ$ на 2. Получим: $\frac{90^\circ}{2} < \frac{\alpha}{2} < \frac{180^\circ}{2}$, что равносильно $45^\circ < \frac{\alpha}{2} < 90^\circ$. Из этого неравенства следует, что каждый из двух углов, полученных при делении тупого угла биссектрисой, всегда будет меньше $90^\circ$. Следовательно, эти углы всегда являются острыми.

Ответ: да, верно.

207. Проведите луч $BC$. Отложите по разные стороны от этого луча углы $ABC$ и $DBC$ так, что $\angle ABC = 43^\circ, \angle DBC = 104^\circ$. Вычислите градусную меру угла $ABD$.

Согласно условию, от луча $BC$ по разные стороны отложены углы $\angle ABC$ и $\angle DBC$. Это означает, что луч $BC$ проходит между сторонами (лучами $BA$ и $BD$) угла $\angle ABD$.

По аксиоме измерения углов, градусная мера угла $\angle ABD$ будет равна сумме градусных мер углов $\angle ABC$ и $\angle DBC$, на которые он разделен лучом $BC$.

Нам даны величины этих углов: $\angle ABC = 43^\circ$ $\angle DBC = 104^\circ$

Вычислим градусную меру угла $\angle ABD$:
$\angle ABD = \angle ABC + \angle DBC = 43^\circ + 104^\circ = 147^\circ$.

Ответ: $147^\circ$.

208. Постройте угол $MOK$, градусная мера которого равна $156^\circ$. Проведите между сторонами угла $MOK$ луч $OA$ так, что $\angle MOA = 65^\circ$. Вычислите градусную меру угла $KOA$ и укажите его вид.

Вычисление градусной меры угла КОА

По условию, луч OA проходит между сторонами угла $ \angle MOK $. Согласно аксиоме измерения углов, градусная мера всего угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается лучом, проходящим между его сторонами.
Таким образом, справедливо равенство:
$ \angle MOK = \angle MOA + \angle KOA $

Чтобы найти градусную меру искомого угла $ \angle KOA $, нужно из градусной меры угла $ \angle MOK $ вычесть градусную меру угла $ \angle MOA $.
Нам известны значения: $ \angle MOK = 156^\circ $ и $ \angle MOA = 65^\circ $.
$ \angle KOA = \angle MOK - \angle MOA = 156^\circ - 65^\circ = 91^\circ $
Ответ: градусная мера угла КОА равна $ 91^\circ $.

Определение вида угла КОА

Вид угла определяется его градусной мерой. Угол называется тупым, если его градусная мера больше $ 90^\circ $, но меньше $ 180^\circ $.
Поскольку градусная мера угла $ \angle KOA $ равна $ 91^\circ $, и $ 90^\circ < 91^\circ < 180^\circ $, то этот угол является тупым.
Ответ: вид угла КОА — тупой.

209. Начертите развёрнутый угол $\angle MKP$ и проведите луч $KC$ так, чтобы угол $\angle MKC$ был острым. Определите вид угла $\angle RKC$.

Развёрнутый угол — это угол, стороны которого лежат на одной прямой. Его градусная мера равна $180^\circ$. По условию задачи, угол $MKP$ является развёрнутым, следовательно, его величина составляет:

$\angle MKP = 180^\circ$

Луч $KC$, проведённый из вершины $K$, делит развёрнутый угол $\angle MKP$ на два смежных угла: $\angle MKS$ и $\angle RKS$. Сумма смежных углов всегда равна $180^\circ$, поэтому справедливо равенство:

$\angle MKS + \angle RKS = \angle MKP = 180^\circ$

В условии также указано, что угол $\angle MKS$ — острый. Острым называется угол, градусная мера которого больше $0^\circ$, но меньше $90^\circ$. Это можно записать в виде двойного неравенства:

$0^\circ < \angle MKS < 90^\circ$

Чтобы определить вид угла $\angle RKS$, выразим его величину из формулы суммы смежных углов:

$\angle RKS = 180^\circ - \angle MKS$

Теперь воспользуемся неравенством для острого угла $\angle MKS$, чтобы найти диапазон возможных значений для угла $\angle RKS$. Если из $180^\circ$ вычесть величину, которая строго больше $0^\circ$ и строго меньше $90^\circ$, то результат будет строго больше $90^\circ$ ($180^\circ - 90^\circ$) и строго меньше $180^\circ$ ($180^\circ - 0^\circ$).

Запишем это математически. Исходя из неравенства $0^\circ < \angle MKS < 90^\circ$, получаем:

$180^\circ - 90^\circ < 180^\circ - \angle MKS < 180^\circ - 0^\circ$

Что приводит нас к следующему неравенству для угла $\angle RKS$:

$90^\circ < \angle RKS < 180^\circ$

Угол, градусная мера которого больше $90^\circ$ и меньше $180^\circ$, называется тупым.

Ответ: угол РКС — тупой.

210. Начертите два угла с общей стороной так, чтобы их две другие стороны образовали:

1) развёрнутый угол;

2) тупой угол.

1) развёрнутый угол

Чтобы два угла с общей стороной образовывали развёрнутый угол своими двумя другими сторонами, эти углы должны быть смежными. Развёрнутый угол равен $180^\circ$. Две стороны, не являющиеся общими, для таких углов образуют прямую линию.

Построение выглядит следующим образом:

Шаг 1: Начертим прямую линию и отметим на ней точку O, которая будет общей вершиной углов.

Шаг 2: По разные стороны от точки O на прямой отметим точки A и B. Лучи OA и OB являются противоположными и вместе образуют развёрнутый угол $\angle AOB = 180^\circ$.

Шаг 3: Из точки O проведём луч OC, который не лежит на прямой AB. Этот луч будет общей стороной для двух искомых углов.

В результате мы получили два угла: $\angle AOC$ и $\angle BOC$. У них общая сторона OC, а две другие их стороны (OA и OB) образуют развёрнутый угол, то есть прямую линию. Такие углы называются смежными, и их сумма всегда равна $180^\circ$.

На рисунке показаны смежные углы $\angle AOC$ и $\angle BOC$. Их общая сторона — OC, а стороны OA и OB образуют прямую AB, то есть развёрнутый угол.

Ответ: Необходимо построить два смежных угла.

2) тупой угол

Чтобы два угла с общей стороной образовывали тупой угол своими двумя другими сторонами, нужно сначала начертить тупой угол, а затем провести из его вершины луч, который разделит этот угол на два меньших угла.

Построение выглядит следующим образом:

Шаг 1: Начертим тупой угол $\angle AOB$. Тупой угол — это угол, градусная мера которого больше $90^\circ$, но меньше $180^\circ$. Точка O — его вершина, а лучи OA и OB — его стороны.

Шаг 2: Из вершины O проведём луч OC так, чтобы он проходил между лучами OA и OB.

Шаг 3: Луч OC будет общей стороной для двух образовавшихся углов: $\angle AOC$ и $\angle BOC$.

В результате мы получили два угла, $\angle AOC$ и $\angle BOC$, с общей стороной OC. Две другие их стороны, OA и OB, образуют исходный тупой угол $\angle AOB$. Согласно аксиоме измерения углов, $\angle AOB = \angle AOC + \angle BOC$.

На рисунке показаны углы $\angle AOC$ и $\angle BOC$. Их общая сторона — OC, а стороны OA и OB образуют тупой угол $\angle AOB$.

Ответ: Необходимо начертить тупой угол и провести из его вершины луч, делящий его на два угла.

211. Луч $OC$ делит развёрнутый угол $AOB$ так, что градусная мера $AOC$ на $38^\circ$ больше градусной меры угла $BOC$. Найдите градусные меры углов $AOC$ и $BOC$.

По условию задачи, угол $AOB$ является развернутым, следовательно, его градусная мера составляет $180^\circ$. Луч $OC$ делит развернутый угол на два смежных угла: $\angle AOC$ и $\angle BOC$. Сумма смежных углов всегда равна $180^\circ$, поэтому можно записать первое уравнение:

$\angle AOC + \angle BOC = 180^\circ$

Также из условия известно, что градусная мера угла $AOC$ на $38^\circ$ больше градусной меры угла $BOC$. Запишем это в виде второго уравнения:

$\angle AOC = \angle BOC + 38^\circ$

Для решения задачи введем переменную. Пусть градусная мера угла $\angle BOC$ равна $x$. Тогда, исходя из второго уравнения, градусная мера угла $\angle AOC$ будет равна $x + 38^\circ$.

Теперь подставим эти выражения в первое уравнение:

$(x + 38^\circ) + x = 180^\circ$

Решим полученное уравнение относительно $x$:

$2x + 38^\circ = 180^\circ$

$2x = 180^\circ - 38^\circ$

$2x = 142^\circ$

$x = \frac{142^\circ}{2}$

$x = 71^\circ$

Мы нашли, что $x = 71^\circ$, следовательно, $\angle BOC = 71^\circ$.

Далее найдем градусную меру угла $AOC$:

$\angle AOC = x + 38^\circ = 71^\circ + 38^\circ = 109^\circ$

градусная мера угла AOC

Градусная мера угла $AOC$ равна $109^\circ$.

Ответ: $109^\circ$.

градусная мера угла BOC

Градусная мера угла $BOC$ равна $71^\circ$.

Ответ: $71^\circ$.

212. Луч EA делит прямой угол $\angle DEF$ так, что градусная мера угла $\angle DEA$ в 4 раза меньше градусной меры угла $\angle FEA$. Найдите градусные меры углов $\angle DEA$ и $\angle FEA$.

По условию задачи, угол $ \angle DEF $ является прямым, следовательно, его градусная мера равна $90^\circ$.

Луч $EA$ делит угол $ \angle DEF $ на два угла: $ \angle DEA $ и $ \angle FEA $. Сумма этих двух углов равна исходному прямому углу:

$ \angle DEA + \angle FEA = 90^\circ $

Также из условия известно, что градусная мера угла $ \angle DEA $ в 4 раза меньше градусной меры угла $ \angle FEA $. Введем переменную. Пусть градусная мера угла $ \angle DEA $ будет $x$. Тогда градусная мера угла $ \angle FEA $ будет в 4 раза больше, то есть $4x$.

Составим уравнение, подставив наши переменные в формулу суммы углов:

$ x + 4x = 90^\circ $

Теперь решим это уравнение:

$ 5x = 90^\circ $

$ x = \frac{90^\circ}{5} $

$ x = 18^\circ $

Мы нашли градусную меру угла $ \angle DEA $, она равна $x$.

$ \angle DEA = 18^\circ $

Теперь найдем градусную меру угла $ \angle FEA $, которая равна $4x$:

$ \angle FEA = 4 \cdot 18^\circ = 72^\circ $

Проверим: $ 18^\circ + 72^\circ = 90^\circ $. Решение верное.

Ответ: $ \angle DEA = 18^\circ $, $ \angle FEA = 72^\circ $.

213. На рисунке 19 угол $ABC$ – развёрнутый, луч $BD$ – биссектриса угла $ABE$, $\angle CBE = 74^\circ$. Найдите величину угла $ABD$.

Рис. 19

Поскольку угол $ \angle ABC $ — развёрнутый, его величина равна $180^\circ$.

Углы $ \angle ABE $ и $ \angle CBE $ являются смежными, так как вместе они образуют развёрнутый угол $ \angle ABC $. Сумма смежных углов равна $180^\circ$. Следовательно:
$ \angle ABE + \angle CBE = 180^\circ $

По условию $ \angle CBE = 74^\circ $. Подставим это значение в равенство и найдем величину угла $ \angle ABE $:
$ \angle ABE = 180^\circ - \angle CBE = 180^\circ - 74^\circ = 106^\circ $

В условии сказано, что луч $BD$ — это биссектриса угла $ \angle ABE $. По определению, биссектриса делит угол на два равных угла. Таким образом:
$ \angle ABD = \frac{\angle ABE}{2} $

Теперь мы можем вычислить искомую величину угла $ \angle ABD $:
$ \angle ABD = \frac{106^\circ}{2} = 53^\circ $

Ответ: $53^\circ$.

214. На рисунке 20 угол DEF – прямой, луч EC – биссектриса угла DEK, $ \angle DEC = 23^{\circ} $. Найдите величину угла KEF.

Рис. 20

По условию задачи, угол $DEF$ — прямой, это означает, что его величина равна $90^\circ$.

$\angle DEF = 90^\circ$

Луч $EC$ является биссектрисой угла $DEK$. Биссектриса делит угол на два равных угла, следовательно:

$\angle DEC = \angle CEK$

Нам дано, что $\angle DEC = 23^\circ$. Значит:

$\angle CEK = 23^\circ$

Теперь мы можем найти величину угла $DEK$, который состоит из углов $DEC$ и $CEK$:

$\angle DEK = \angle DEC + \angle CEK = 23^\circ + 23^\circ = 46^\circ$

Прямой угол $DEF$ состоит из двух углов: $DEK$ и $KEF$. Их сумма равна величине угла $DEF$:

$\angle DEF = \angle DEK + \angle KEF$

Чтобы найти искомый угол $KEF$, нужно из величины угла $DEF$ вычесть величину угла $DEK$:

$\angle KEF = \angle DEF - \angle DEK$

Подставим известные значения в формулу:

$\angle KEF = 90^\circ - 46^\circ = 44^\circ$

Ответ: $44^\circ$

215. На прямой отметили 6 точек. Сколько образовалось лучей с началом в этих точках? Выскажите гипотезу, сколько образуется лучей, если на прямой отметить $n$ точек. Обсудите свою гипотезу в классе.

Решение для 6 точек
Луч — это часть прямой, которая имеет начало в некоторой точке и продолжается бесконечно в одном направлении. Каждая точка, отмеченная на прямой, делит эту прямую на два луча, выходящих из этой точки в противоположных направлениях.
Поскольку на прямой отмечено 6 точек, каждая из этих 6 точек является началом для двух лучей. Чтобы найти общее количество образовавшихся лучей, нужно умножить количество точек на 2.
Вычисление: $6 \times 2 = 12$.
Таким образом, 6 точек на прямой образуют 12 лучей.
Ответ: 12 лучей.

Гипотеза для n точек
Основываясь на рассуждении из предыдущего пункта, можно сформулировать общую гипотезу. Если на прямой отметить некоторое количество точек $n$, то каждая из этих $n$ точек будет являться началом для двух лучей, направленных в противоположные стороны.
Следовательно, общее количество лучей будет равно произведению количества точек $n$ на 2.
Математически это можно выразить формулой: $2 \times n$ или просто $2n$.
Гипотеза: если на прямой отметить $n$ точек, то образуется $2n$ лучей с началом в этих точках.
Ответ: Если на прямой отметить $n$ точек, то образуется $2n$ лучей.