Номер 206, страница 43 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 4. Прямая. Луч. Отрезок. Угол. Глава 2. Геометрические фигуры - номер 206, страница 43.

Условие.

206. Верно ли утверждение:

1) луч, проведённый из вершины тупого угла между его сторонами, делит этот угол на два острых угла;

2) биссектриса тупого угла делит его на два острых угла?

Решение.

Решение 2.

1) Утверждение неверно. Тупой угол — это угол $\alpha$, для которого выполняется неравенство $90^\circ < \alpha < 180^\circ$. Луч, проведённый из его вершины между его сторонами, делит его на два угла, $\beta$ и $\gamma$, так что $\alpha = \beta + \gamma$. Утверждение, что оба этих угла всегда будут острыми (то есть меньше $90^\circ$), неверно. Для доказательства достаточно привести контрпример. Пусть дан тупой угол $\alpha = 140^\circ$. Проведём луч так, чтобы он разделил этот угол на два угла: $\beta = 30^\circ$ и $\gamma = 110^\circ$. В этом случае угол $\beta$ является острым, так как $30^\circ < 90^\circ$, а угол $\gamma$ — тупым, так как $110^\circ > 90^\circ$. Так как один из полученных углов не является острым, утверждение ложно.

Ответ: нет, неверно.

2) Утверждение верно. Пусть дан тупой угол $\alpha$. Его градусная мера находится в пределах $90^\circ < \alpha < 180^\circ$. Биссектриса делит угол на два равных угла, каждый из которых равен $\frac{\alpha}{2}$. Чтобы определить, являются ли эти углы острыми, проверим, выполняется ли для них условие "меньше $90^\circ$". Для этого разделим все части двойного неравенства $90^\circ < \alpha < 180^\circ$ на 2. Получим: $\frac{90^\circ}{2} < \frac{\alpha}{2} < \frac{180^\circ}{2}$, что равносильно $45^\circ < \frac{\alpha}{2} < 90^\circ$. Из этого неравенства следует, что каждый из двух углов, полученных при делении тупого угла биссектрисой, всегда будет меньше $90^\circ$. Следовательно, эти углы всегда являются острыми.

Ответ: да, верно.