Страница 45 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

227. На отрезке $MN$ отметили точку $P$. Расстояние между серединами отрезков $MP$ и $NP$ равно 7 см. Какова длина отрезка $MN$?

Пусть на отрезке MN отмечена точка P. Обозначим середину отрезка MP буквой A, а середину отрезка NP — буквой B.

По определению середины отрезка, длина отрезка AP составляет половину длины отрезка MP, то есть: $AP = \frac{1}{2} MP$

Аналогично, длина отрезка PB составляет половину длины отрезка NP: $PB = \frac{1}{2} NP$

Расстояние между серединами отрезков MP и NP — это длина отрезка AB. Поскольку точка P лежит между точками A и B, длина отрезка AB равна сумме длин отрезков AP и PB: $AB = AP + PB$

Подставим в это равенство выражения для AP и PB: $AB = \frac{1}{2} MP + \frac{1}{2} NP$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки: $AB = \frac{1}{2} (MP + NP)$

Так как точка P лежит на отрезке MN, то сумма длин отрезков MP и NP равна длине всего отрезка MN: $MP + NP = MN$

Заменим сумму в скобках на MN: $AB = \frac{1}{2} MN$

По условию задачи, расстояние между серединами A и B равно 7 см, то есть $AB = 7$ см. Подставим это значение в полученную формулу: $7 = \frac{1}{2} MN$

Отсюда найдем длину отрезка MN: $MN = 7 \times 2 = 14$ см.

Ответ: 14 см.

228. На отрезке $AE$ отметили точки B, C и D (рис. 25). Расстояние между серединами отрезков $BC$ и $CD$ равно 4 см, $AE = 25$ см. Чему равна сумма длин отрезков $AB$ и $DE$?

Рис. 25

Решение:

Пусть точка $M$ — середина отрезка $BC$, а точка $N$ — середина отрезка $CD$.

По определению середины отрезка:

$MC = \frac{1}{2}BC$

$CN = \frac{1}{2}CD$

Расстояние между серединами отрезков $BC$ и $CD$ — это длина отрезка $MN$. Этот отрезок состоит из двух частей: $MC$ и $CN$. Следовательно, его длина равна сумме их длин:

$MN = MC + CN$

Подставим выражения для $MC$ и $CN$:

$MN = \frac{1}{2}BC + \frac{1}{2}CD = \frac{1}{2}(BC + CD)$

Сумма длин отрезков $BC$ и $CD$ равна длине отрезка $BD$, то есть $BC + CD = BD$. Таким образом, мы получаем:

$MN = \frac{1}{2}BD$

По условию задачи, расстояние между серединами $MN = 4$ см. Теперь мы можем найти длину отрезка $BD$:

$4 = \frac{1}{2}BD$

$BD = 4 \times 2 = 8$ см.

Длина всего отрезка $AE$ равна сумме длин составляющих его отрезков:

$AE = AB + BC + CD + DE$

Мы можем сгруппировать отрезки $BC$ и $CD$:

$AE = AB + (BC + CD) + DE$

Так как $BC + CD = BD$, то:

$AE = AB + BD + DE$

Из этого уравнения мы можем выразить искомую сумму длин отрезков $AB$ и $DE$:

$AB + DE = AE - BD$

Подставим известные значения $AE = 25$ см и $BD = 8$ см:

$AB + DE = 25 - 8 = 17$ см.

Ответ: 17 см.

229. Выйдя из лагеря А, турист прошёл вначале 4 км на восток, затем – 5 км на север, потом – 5 км на запад, 3 км на юг, 1 км на восток и 2 км на юг. Перенесите рисунок 26 в тетрадь, начертите на плане путь, который прошёл турист, считая, что длина стороны клетки равна 1 км, и вычислите длину этого пути.

Рис. 26

Начертите на плане путь, который прошёл турист, считая, что длина стороны клетки равна 1 км

Примем точку А за начальную точку маршрута. Движение туриста происходит последовательно по сторонам света, при этом 1 км пути соответствует одной клетке на плане. Построим маршрут по шагам:

• Сначала 4 км на восток (движение на 4 клетки вправо от точки А).
• Затем 5 км на север (движение на 5 клеток вверх).
• Потом 5 км на запад (движение на 5 клеток влево).
• Далее 3 км на юг (движение на 3 клетки вниз).
• После этого 1 км на восток (движение на 1 клетку вправо).
• И в конце 2 км на юг (движение на 2 клетки вниз).

Ниже представлен план с начерченным путём туриста (обозначен красной линией).

Как видно из чертежа, конечная точка маршрута совпала с начальной точкой А, значит, турист вернулся в лагерь.

Вычислите длину этого пути

Чтобы найти общую длину пути, необходимо сложить длины всех его участков.

$L = 4 + 5 + 5 + 3 + 1 + 2$

Выполнив сложение, получаем:

$L = 20 \text{ км}$

Ответ: 20 км.

230. Улицы в городе Ясный идут или с востока на запад, или с севера на юг. Оля и Саша, гуляя по городу, прошли от городского театра 150 м на запад, потом 90 м на юг, затем 90 м на восток, 60 м на север, 120 м на восток, 120 м на юг и 60 м на восток, завершив свою прогулку возле входа в ботанический сад. Перенесите план (рис. 27) в тетрадь и начертите путь, который

Рис. 27

прошли Оля и Саша, считая, что длина стороны клетки равна 30 м, и вычислите длину этого пути.

Для решения задачи необходимо выполнить два действия: начертить путь на плане, исходя из заданных направлений и расстояний, и вычислить общую длину этого пути. Масштаб плана: одна клетка равна 30 метрам.

Перенесите план в тетрадь и начертите путь, который прошли Оля и Саша

Сначала переведем все расстояния из метров в клетки, чтобы было удобно чертить на плане.

1. 150 м на запад: $150 \div 30 = 5$ клеток влево от театра.
2. 90 м на юг: $90 \div 30 = 3$ клетки вниз.
3. 90 м на восток: $90 \div 30 = 3$ клетки вправо.
4. 60 м на север: $60 \div 30 = 2$ клетки вверх.
5. 120 м на восток: $120 \div 30 = 4$ клетки вправо.
6. 120 м на юг: $120 \div 30 = 4$ клетки вниз.
7. 60 м на восток: $60 \div 30 = 2$ клетки вправо.

Начерченный путь будет представлять собой ломаную линию, которая начинается у "Театра" и заканчивается у "Ботанического сада", проходя через точки, полученные последовательным смещением на указанное количество клеток.
Ответ: Путь на плане представляет собой ломаную линию, построенную пошагово: от театра 5 клеток влево, затем 3 клетки вниз, 3 клетки вправо, 2 клетки вверх, 4 клетки вправо, 4 клетки вниз и 2 клетки вправо.

вычислите длину этого пути

Чтобы вычислить общую длину пути, нужно сложить длины всех его участков, указанных в условии задачи.

Длина пути (L) равна сумме всех пройденных расстояний:
$L = 150 \text{ м} + 90 \text{ м} + 90 \text{ м} + 60 \text{ м} + 120 \text{ м} + 120 \text{ м} + 60 \text{ м}$

$L = (150 + 90 + 90) + (60 + 120 + 120 + 60) = 330 + 360 = 690 \text{ м}$

Ответ: 690 м.