Страница 41 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Найдите значение выражения:

1) $3^2 + 4^2;$

2) $(3 + 4)^2;$

3) $4^3 - 2^3;$

4) $(4 - 2)^3;$

5) $2^4 \cdot 10^2;$

6) $10^3 : 5^2.$

1) Для нахождения значения выражения $3^2 + 4^2$ необходимо сначала выполнить возведение в степень, а затем сложение.

Вычислим $3^2$:

$3^2 = 3 \cdot 3 = 9$

Вычислим $4^2$:

$4^2 = 4 \cdot 4 = 16$

Теперь сложим полученные результаты:

$9 + 16 = 25$

Ответ: 25

2) Для нахождения значения выражения $(3 + 4)^2$ сначала выполним действие в скобках, а затем возведем результат в степень.

Выполним сложение в скобках:

$3 + 4 = 7$

Возведем полученную сумму в квадрат:

$7^2 = 7 \cdot 7 = 49$

Ответ: 49

3) Для нахождения значения выражения $4^3 - 2^3$ необходимо сначала выполнить возведение в степень, а затем вычитание.

Вычислим $4^3$:

$4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 16 \cdot 4 = 64$

Вычислим $2^3$:

$2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$

Теперь вычтем из первого результата второй:

$64 - 8 = 56$

Ответ: 56

4) Для нахождения значения выражения $(4 - 2)^3$ сначала выполним действие в скобках, а затем возведем результат в степень.

Выполним вычитание в скобках:

$4 - 2 = 2$

Возведем полученную разность в куб:

$2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$

Ответ: 8

5) Для нахождения значения выражения $2^4 \cdot 10^2$ необходимо сначала выполнить возведение в степень, а затем умножение.

Вычислим $2^4$:

$2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$

Вычислим $10^2$:

$10^2 = 10 \cdot 10 = 100$

Теперь перемножим полученные результаты:

$16 \cdot 100 = 1600$

Ответ: 1600

6) Для нахождения значения выражения $10^3 : 5^2$ необходимо сначала выполнить возведение в степень, а затем деление.

Вычислим $10^3$:

$10^3 = 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000$

Вычислим $5^2$:

$5^2 = 5 \cdot 5 = 25$

Теперь разделим первый результат на второй:

$1000 : 25 = 40$

Ответ: 40

2. Вася разложил 50 яблок на кучки по 12 яблок, и ещё 2 яблока у него осталось. На сколько кучек Вася разложил яблоки?

Для решения задачи необходимо сначала определить, сколько всего яблок было разложено по кучкам. Известно, что у Васи было 50 яблок, а 2 яблока осталось. Значит, количество яблок в кучках равно:

$50 - 2 = 48$ (яблок)

Далее, зная, что в каждой кучке было по 12 яблок, можно найти количество кучек. Для этого нужно общее количество разложенных яблок разделить на количество яблок в одной кучке:

$48 \div 12 = 4$ (кучки)

Следовательно, Вася разложил яблоки на 4 кучки.

Ответ: 4.

3. Дима умножил числа 376 и 485 и получил ответ 200 360. Когда Катя увидела этот ответ, она сразу сказала, что Дима ошибся. Как она это определила?

Катя определила ошибку без точных вычислений, используя метод быстрой оценки (прикидки). Этот метод позволяет мгновенно проверить, является ли результат правдоподобным. Логика рассуждений Кати могла быть следующей:

Нужно найти произведение $376 \times 485$. Можно округлить оба множителя в большую сторону до ближайших "круглых" чисел, которые легко перемножить в уме: число 376 меньше, чем 400, а число 485 меньше, чем 500.

Теперь можно вычислить произведение этих округленных чисел:

$400 \times 500 = 200 \, 000$

Так как каждый из исходных множителей (376 и 485) строго меньше, чем числа, которые мы использовали для оценки (400 и 500), то и их настоящее произведение обязательно должно быть меньше, чем результат нашей оценки. То есть, должно выполняться неравенство:

$376 \times 485 < 200 \, 000$

Ответ, который получил Дима, — 200 360. Это число больше, чем 200 000, что противоречит нашей оценке. Следовательно, Дима допустил ошибку.

Ответ: Катя заметила, что если округлить числа 376 и 485 в большую сторону до 400 и 500, то их произведение будет $400 \times 500 = 200 \, 000$. Поскольку исходные числа меньше округленных, их реальное произведение должно быть меньше 200 000. Ответ Димы, 200 360, больше этого значения, значит, он неверный.

4. После того как с первого участка пересадили 3 куста смородины на второй, на обоих участках стало по 12 кустов смородины. Сколько кустов смородины росло на каждом участке?

Для решения этой задачи нужно выполнить действия в обратном порядке. Нам известно, что в итоге на обоих участках стало по 12 кустов.

1. Найдём, сколько кустов было на первом участке.
На нем стало 12 кустов после того, как с него пересадили 3 куста. Значит, изначально на нём было на 3 куста больше.
$12 + 3 = 15$ (кустов) — было на первом участке.

2. Найдём, сколько кустов было на втором участке.
На нем стало 12 кустов после того, как на него добавили 3 куста. Значит, изначально на нём было на 3 куста меньше.
$12 - 3 = 9$ (кустов) — было на втором участке.

Ответ: изначально на первом участке росло 15 кустов смородины, а на втором — 9 кустов.

192. Назовите все отрезки, изображённые на рисунке 12.

Рис. 12

$K M P F$

Отрезок — это часть прямой, ограниченная двумя точками. На рисунке изображены четыре точки: K, M, P, F. Чтобы назвать все отрезки, нужно составить все возможные пары из этих точек.

Будем перечислять отрезки systematically, двигаясь слева направо:

1. Найдём все отрезки, у которых левый конец — точка K. Правым концом могут быть точки M, P и F. Получаем отрезки:

KM, KP, KF.

2. Теперь найдём все отрезки, у которых левый конец — точка M. Правым концом могут быть точки P и F (отрезок MK — это тот же самый отрезок, что и KM, поэтому мы его не повторяем). Получаем отрезки:

MP, MF.

3. Найдём отрезок, у которого левый конец — точка P. Правым концом может быть только точка F. Получаем отрезок:

PF.

4. Точка F — крайняя правая, поэтому она не может быть левым концом какого-либо нового отрезка на данном рисунке.

Таким образом, мы перечислили все 6 отрезков, изображённых на рисунке.

Ответ: KM, KP, KF, MP, MF, PF.

193. Запишите все отрезки, изображённые на рисунке 13.

Рис. 13

$A$ $B$ $E$ $F$ $C$

На рисунке изображена прямая, на которой отмечены 5 точек: A, B, E, F, C. Отрезок — это часть прямой, ограниченная двумя точками. Чтобы найти все отрезки, нужно перечислить все возможные пары точек, которые будут являться концами отрезков.

Будем находить отрезки systematically, выбирая первую точку и соединяя её со всеми последующими точками справа:

1. Отрезки, начинающиеся в точке A: AB, AE, AF, AC.
2. Отрезки, начинающиеся в точке B (и идущие вправо, чтобы не было повторений): BE, BF, BC.
3. Отрезки, начинающиеся в точке E (и идущие вправо): EF, EC.
4. Отрезок, начинающийся в точке F (и идущий вправо): FC.

Таким образом, мы перечислили все уникальные отрезки.

Общее количество отрезков можно также найти с помощью формулы сочетаний, так как каждый отрезок определяется выбором двух точек из пяти имеющихся, и порядок выбора не важен (отрезок AB — это то же самое, что и BA). Количество сочетаний из 5 по 2 рассчитывается так:

$C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10$.

Следовательно, на рисунке изображено 10 отрезков.

Ответ: AB, AE, AF, AC, BE, BF, BC, EF, EC, FC.

194. Отметьте в тетради точки $A$, $B$, $C$, $D$ и $E$ так, как показано на рисунке 14. Проведите все возможные отрезки, концами которых являются данные точки.

Рис. 14

Отметьте в тетради точки A, B, C, D и E так, как показано на рисунке 14

Первый шаг — это воспроизведение расположения пяти точек в узлах сетки, как в условии задачи. Если принять сторону одной клетки за единицу, можно для наглядности присвоить точкам координаты: A(1, 2), B(3, 3), C(4, 2), D(4, 0) и E(2, 0).

Проведите все возможные отрезки, концами которых являются данные точки

Для выполнения этой части задания необходимо соединить каждую пару из пяти данных точек отрезком. Чтобы не пропустить ни одного отрезка и не провести один и тот же дважды, будем действовать последовательно:

1. Начиная с точки A, соединяем её со всеми остальными точками: B, C, D, E. Получаем 4 отрезка: AB, AC, AD, AE.

2. Переходим к точке B. Соединяем её с точками, с которыми она еще не соединена (C, D, E). Отрезок BA — это тот же самый отрезок, что и AB, поэтому его заново проводить не нужно. Получаем 3 новых отрезка: BC, BD, BE.

3. Далее, из точки C проводим отрезки к оставшимся точкам D и E. Получаем 2 новых отрезка: CD, CE.

4. Наконец, соединяем точку D с последней оставшейся точкой E. Получаем 1 новый отрезок: DE.

Теперь все возможные пары точек соединены. Посчитаем общее количество проведенных уникальных отрезков: $4 + 3 + 2 + 1 = 10$.

Количество отрезков также можно найти, используя формулу из комбинаторики для числа сочетаний. Нам нужно найти, сколькими способами можно выбрать 2 точки из 5, так как каждый отрезок определяется двумя точками:

$C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

На рисунке ниже показан итоговый результат — точки и все 10 соединяющих их отрезков.

Ответ: Всего необходимо провести 10 отрезков: AB, AC, AD, AE, BC, BD, BE, CD, CE, DE. На рисунке выше показано, как выглядит итоговое построение. Полученная фигура является полным графом на пяти вершинах ($K_5$).

195. Отметьте в тетради точки D, E, F и P так, как показано на рисунке 15.

Проведите все возможные отрезки, концами которых являются данные точки.

Рис. 15

Для решения задачи необходимо последовательно соединить отрезками каждую из четырех данных точек (D, E, F и P) со всеми остальными точками, с которыми она еще не соединена.

1. Начнем с точки D. Соединим ее с тремя другими точками: E, F и P. Получим три отрезка: DE, DF, DP.

2. Теперь возьмем точку E. Она уже соединена с точкой D (отрезок DE). Соединим ее с оставшимися точками F и P. Получим еще два отрезка: EF и EP.

3. Перейдем к точке F. Она уже соединена с точками D и E. Осталось соединить ее с точкой P. Получим еще один отрезок: FP.

4. Точка P теперь соединена со всеми остальными точками (DP, EP, FP).

Таким образом, мы провели все возможные отрезки.

Общее количество отрезков можно также рассчитать с помощью комбинаторики. Нам нужно найти количество сочетаний из 4 точек по 2, так как каждый отрезок определяется двумя точками. Формула для числа сочетаний:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае $n=4$ (количество точек), $k=2$ (точек в отрезке):

$C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6$

Итак, всего должно получиться 6 отрезков.

Результат выполнения задания показан на рисунке ниже:

Ответ: Были проведены следующие 6 отрезков: DE, DF, DP, EF, EP, FP.