Страница 36 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Чему равна разность шестизначного и пятизначного чисел, для записи которых использована только цифра 1?

А) $100\,000$

Б) $10\,000$

В) $1\,000\,000$

Г) $1000$

Для решения этой задачи необходимо сначала определить два числа, о которых идет речь, а затем найти их разность.

Шестизначное число, для записи которого использована только цифра 1, представляет собой шесть единиц, записанных подряд: 111 111.

Пятизначное число, для записи которого использована только цифра 1, представляет собой пять единиц, записанных подряд: 11 111.

Теперь найдем разность этих двух чисел, вычтя из шестизначного числа пятизначное:

$111111 - 11111$

Выполним вычитание:

$ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c@{}c@{}c@{}c} & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ - \\ & & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} $

Результат вычитания равен 100 000. Этот результат соответствует варианту ответа А).

Ответ: 100 000

2. Сумма двух чисел больше одного из них на $12$, а другого – на $14$.

Чему равна сумма этих чисел?

А) 26

Б) 52

В) 42

Г) определить невозможно

Обозначим два числа как $x$ и $y$. Их сумма равна $S = x + y$.

Из условия задачи следует, что сумма этих чисел на 12 больше одного из них. Предположим, что это число $x$. Тогда мы можем записать уравнение:
$S = x + 12$
Поскольку $S$ также равно $x + y$, мы получаем:
$x + y = x + 12$
Вычитая $x$ из обеих частей уравнения, находим значение $y$:
$y = 12$

Также из условия известно, что сумма на 14 больше другого числа, то есть $y$. Запишем второе уравнение:
$S = y + 14$
Подставляя $S = x + y$ в это уравнение, получаем:
$x + y = y + 14$
Вычитая $y$ из обеих частей, находим значение $x$:
$x = 14$

Таким образом, мы нашли оба числа: одно равно 14, а второе — 12.

Теперь вычислим их сумму, как требуется в вопросе:
Сумма = $14 + 12 = 26$.

Проверим полученный результат: сумма 26 действительно больше 14 на 12 ($26 - 14 = 12$) и больше 12 на 14 ($26 - 12 = 14$). Условия задачи выполнены. Этот результат соответствует варианту ответа А.

Ответ: 26

3. Известно, что 5 кг груш стоят столько, сколько 7 кг яблок. Сколько килограммов яблок можно купить на ту же сумму денег, что и 20 кг груш?

А) 14 кг

Б) 28 кг

В) 35 кг

Г) 21 кг

Для решения этой задачи можно использовать метод пропорций или логическое рассуждение. Рассмотрим оба способа.

Способ 1: Логическое рассуждение

Сначала определим, во сколько раз 20 кг груш больше, чем 5 кг груш. Для этого разделим большее количество на меньшее:
$20 \text{ кг} \div 5 \text{ кг} = 4$

Это означает, что мы рассматриваем количество груш, которое в 4 раза больше исходного. Следовательно, и сумма денег, необходимая для их покупки, также будет в 4 раза больше.

По условию, на сумму, равную стоимости 5 кг груш, можно купить 7 кг яблок. Значит, на сумму, которая в 4 раза больше, можно купить в 4 раза больше яблок:
$7 \text{ кг} \times 4 = 28 \text{ кг}$

Таким образом, на ту же сумму денег, что и 20 кг груш, можно купить 28 кг яблок.

Способ 2: Составление пропорции

Пусть $x$ — искомое количество килограммов яблок.
Из условия задачи мы знаем, что стоимость 5 кг груш эквивалентна стоимости 7 кг яблок. Мы ищем, скольким килограммам яблок эквивалентна стоимость 20 кг груш.

Составим пропорцию:
5 кг груш — 7 кг яблок
20 кг груш — $x$ кг яблок

Математически это выглядит так:
$\frac{5}{20} = \frac{7}{x}$

Решим уравнение, используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):
$5 \cdot x = 20 \cdot 7$
$5x = 140$
$x = \frac{140}{5}$
$x = 28$

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: Б) 28 кг

4. Как в виде выражения записывают количество дециметров в x километрах, 8 метрах и y дециметрах?

А) $100x + 80 + y$

Б) $1000x + 800 + 10y$

В) $100x + 10y + 80$

Г) $10000x + 80 + y$

Для того чтобы выразить общее количество дециметров, необходимо каждую величину перевести в дециметры и сложить результаты.

1. Переведем километры в дециметры.
В одном километре содержится 1000 метров: $1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$.
В одном метре содержится 10 дециметров: $1 \text{ м} = 10 \text{ дм}$.
Следовательно, в одном километре содержится $1000 \times 10 = 10\,000$ дециметров.
В $x$ километрах будет $x \times 10\,000 = 10\,000x$ дециметров.

2. Переведем метры в дециметры.
В 8 метрах содержится $8 \times 10 = 80$ дециметров.

3. Количество дециметров уже дано.
$y$ дециметров.

4. Теперь сложим все значения, чтобы получить итоговое выражение.
Общее количество дециметров равно сумме дециметров из километров, метров и самих дециметров: $10\,000x + 80 + y$.

Сравнивая полученное выражение с предложенными вариантами, мы видим, что оно соответствует варианту Г.

Ответ: Г) $10\,000x + 80 + y$

5. Укажите верное утверждение.

А) 76 кратно 3

Б) 408 кратно 5

В) 468 кратно 9

Г) 47 кратно 7

Для того чтобы указать верное утверждение, необходимо последовательно проверить каждое из предложенных вариантов, используя признаки делимости чисел.

А) 76 кратно 3

Число делится на 3 без остатка, если сумма его цифр делится на 3. Найдем сумму цифр числа 76: $7 + 6 = 13$. Число 13 не делится на 3 нацело ($13 = 4 \times 3 + 1$). Следовательно, утверждение А является неверным.

Б) 408 кратно 5

Число делится на 5 без остатка, если его последняя цифра равна 0 или 5. Число 408 оканчивается на цифру 8. Следовательно, утверждение Б является неверным.

В) 468 кратно 9

Число делится на 9 без остатка, если сумма его цифр делится на 9. Найдем сумму цифр числа 468: $4 + 6 + 8 = 18$. Число 18 делится на 9 нацело ($18 \div 9 = 2$). Следовательно, утверждение В является верным.

Г) 47 кратно 7

Для проверки кратности выполним деление. При делении 47 на 7 получается неполное частное 6 и остаток 5 ($47 = 6 \times 7 + 5$). Поскольку деление происходит с остатком, число 47 не кратно 7. Следовательно, утверждение Г является неверным.

Таким образом, единственное верное утверждение из предложенных — это В.

Ответ: В

6. В какой паре чисел первое число является делителем второго?

А) $6$ и $44$

Б) $8$ и $4$

В) $15$ и $60$

Г) $8$ и $58$

Чтобы найти пару, в которой первое число является делителем второго, нужно проверить для каждого варианта, делится ли второе число на первое без остатка.

А) 6 и 44

Проверим, делится ли число 44 на 6 нацело. Выполним деление: $44 \div 6 = 7$ с остатком 2, так как $6 \times 7 + 2 = 44$. Поскольку остаток не равен нулю, число 6 не является делителем числа 44.

Ответ: в данной паре первое число не является делителем второго.

Б) 8 и 4

Проверим, является ли число 8 делителем числа 4. Выполним деление: $4 \div 8 = 0.5$. Результат не является целым числом, поэтому 8 не является делителем 4. В натуральных числах делитель не может быть больше делимого.

Ответ: в данной паре первое число не является делителем второго.

В) 15 и 60

Проверим, делится ли число 60 на 15 нацело. Выполним деление: $60 \div 15 = 4$. Деление выполняется без остатка. Следовательно, число 15 является делителем числа 60.

Ответ: в данной паре первое число является делителем второго.

Г) 8 и 58

Проверим, делится ли число 58 на 8 нацело. Выполним деление: $58 \div 8 = 7$ с остатком 2, так как $8 \times 7 + 2 = 58$. Поскольку остаток не равен нулю, число 8 не является делителем числа 58.

Ответ: в данной паре первое число не является делителем второго.

7. Значение какого из данных выражений не кратно 10?

А) $34033 + 58677$

Б) $58164 - 26514$

В) $8945 + 94825$

Г) $49822 + 32716$

Чтобы определить, значение какого из данных выражений не кратно 10, необходимо проанализировать последнюю цифру результата для каждого варианта. Число кратно 10, если оно оканчивается на 0.

А) $34033 + 58677$

Последняя цифра суммы находится сложением последних цифр слагаемых: $3 + 7 = 10$. Результат оканчивается на 0.

Ответ: значение выражения кратно 10.

Б) $58164 - 26514$

Последняя цифра разности находится вычитанием последних цифр: $4 - 4 = 0$. Результат оканчивается на 0.

Ответ: значение выражения кратно 10.

В) $8945 + 94825$

Последняя цифра суммы находится сложением последних цифр слагаемых: $5 + 5 = 10$. Результат оканчивается на 0.

Ответ: значение выражения кратно 10.

Г) $49822 + 32716$

Последняя цифра суммы находится сложением последних цифр слагаемых: $2 + 6 = 8$. Результат оканчивается на 8.

Ответ: значение выражения не кратно 10.

Таким образом, единственное выражение, значение которого не кратно 10, находится под буквой Г.

8. Какая из данных пар чисел состоит только из составных чисел?

А) 7 и 9

Б) 15 и 16

В) 8 и 23

Г) 17 и 29

Для того чтобы найти пару, которая состоит только из составных чисел, нужно проанализировать каждое число в предложенных вариантах. Составное число — это натуральное число больше 1, которое имеет делители, кроме 1 и самого себя. Простое число имеет только два делителя: 1 и само себя.

А) 7 и 9
Число 7 является простым, так как делится только на 1 и 7. Число 9 является составным, так как, помимо 1 и 9, оно делится на 3 ($9 = 3 \times 3$). Поскольку в этой паре есть простое число (7), данный вариант не является правильным.

Б) 15 и 16
Число 15 является составным, так как оно делится на 3 и 5 ($15 = 3 \times 5$). Число 16 является составным, так как оно делится на 2, 4 и 8 ($16 = 4 \times 4$). Оба числа в этой паре являются составными, следовательно, этот вариант подходит.

В) 8 и 23
Число 8 является составным, так как оно делится на 2 и 4 ($8 = 2 \times 4$). Число 23 является простым, так как делится только на 1 и 23. Поскольку в этой паре есть простое число (23), данный вариант не является правильным.

Г) 17 и 29
Число 17 является простым, так как делится только на 1 и 17. Число 29 является простым, так как делится только на 1 и 29. Поскольку оба числа в этой паре — простые, данный вариант не является правильным.

Таким образом, единственная пара, в которой оба числа являются составными, это 15 и 16.

Ответ: Б

9. Сколько различных простых множителей содержится в разложении числа 1300?

А) $5$

Б) $4$

В) $3$

Г) $2$

Чтобы определить, сколько различных простых множителей содержится в разложении числа 1300, необходимо разложить это число на простые множители. Простой множитель – это простое число, на которое исходное число делится без остатка.

Проведем факторизацию числа 1300. Это можно сделать последовательным делением на наименьшие простые числа.

1. Поскольку 1300 – четное число, делим его на 2:
$1300 \div 2 = 650$

2. 650 также является четным, снова делим на 2:
$650 \div 2 = 325$

3. Число 325 оканчивается на 5, значит, оно делится на 5:
$325 \div 5 = 65$

4. 65 также оканчивается на 5, делим на 5:
$65 \div 5 = 13$

5. Число 13 является простым, так как делится только на 1 и на само себя. Делим его на 13:
$13 \div 13 = 1$

Процесс разложения завершен. Теперь запишем число 1300 в виде произведения найденных простых множителей:

$1300 = 2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 13$

В виде степеней это можно записать так (каноническое разложение):

$1300 = 2^2 \times 5^2 \times 13^1$

Теперь определим количество различных простых множителей. Это уникальные числа, которые участвуют в разложении. В нашем случае это:

• 2
• 5
• 13

Всего мы насчитали 3 различных простых множителя.

Сравнив наш результат с предложенными вариантами, мы видим, что правильный ответ находится под буквой В.

Ответ: 3