Страница 29 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

185. Заполните таблицу.

Число

Квадрат числа

Остаток от деления квадрата числа на 3

4

7

9

13

15

16

17

25

Проанализируйте полученные данные и выскажите гипотезу, какие значения может принимать остаток от деления квадрата натурального числа на 3. Обсудите высказанное предположение в классе.

Заполните таблицу.

Для заполнения таблицы необходимо для каждого числа из первого столбца найти его квадрат, а затем — остаток от деления этого квадрата на 3.

Ответ: Таблица заполнена выше.

Проанализируйте полученные данные и выскажите гипотезу, какие значения может принимать остаток от деления квадрата натурального числа на 3. Обсудите высказанное предположение в классе.

Анализируя третий столбец заполненной таблицы, можно заметить, что все полученные остатки равны либо 0, либо 1. Это позволяет выдвинуть следующую гипотезу.

Гипотеза: Квадрат любого натурального числа при делении на 3 дает в остатке либо 0, либо 1. Остаток от такого деления никогда не может быть равен 2.

Обсуждение (доказательство) гипотезы:

Любое натуральное число n при делении на 3 может давать один из трех возможных остатков: 0, 1 или 2. Следовательно, любое натуральное число можно представить в одном из трех видов:

1. Число n делится на 3 нацело.
   В этом случае $n = 3k$, где $k$ — натуральное число.
   Возведем в квадрат: $n^2 = (3k)^2 = 9k^2 = 3(3k^2)$.
   Полученное выражение делится на 3 без остатка. Остаток равен 0.

2. Число n при делении на 3 дает в остатке 1.
   В этом случае $n = 3k + 1$, где $k$ — целое неотрицательное число.
   Возведем в квадрат: $n^2 = (3k + 1)^2 = (3k)^2 + 2 \cdot 3k \cdot 1 + 1^2 = 9k^2 + 6k + 1 = 3(3k^2 + 2k) + 1$.
   При делении этого выражения на 3 в остатке получается 1. Остаток равен 1.

3. Число n при делении на 3 дает в остатке 2.
   В этом случае $n = 3k + 2$, где $k$ — целое неотрицательное число.
   Возведем в квадрат: $n^2 = (3k + 2)^2 = (3k)^2 + 2 \cdot 3k \cdot 2 + 2^2 = 9k^2 + 12k + 4$.
   Представим число 4 как $3 + 1$: $n^2 = 9k^2 + 12k + 3 + 1 = 3(3k^2 + 4k + 1) + 1$.
   При делении этого выражения на 3 также в остатке получается 1. Остаток равен 1.

Мы рассмотрели все возможные случаи для натурального числа n и показали, что квадрат этого числа при делении на 3 может давать в остатке только 0 или 1. Таким образом, гипотеза верна.

Ответ: Остаток от деления квадрата натурального числа на 3 может принимать только два значения: 0 и 1.

186. Можно ли в выражении $1 + 2 + 3 + ... + 8 + 9$ заменить некоторые знаки «+» на знаки «-» так, чтобы значение полученного числового выражения было равным 18?

Для решения этой задачи рассмотрим свойства четности чисел.

Сначала найдем значение выражения, когда все знаки — плюсы. Это сумма чисел от 1 до 9. Для ее вычисления можно использовать формулу суммы арифметической прогрессии:$S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = \frac{9 \times (1 + 9)}{2} = \frac{90}{2} = 45$.

Исходная сумма равна 45 — это нечетное число.

Теперь посмотрим, как изменится сумма, если заменить знак «+» на «-» перед некоторым числом $k$. Вместо того чтобы прибавлять $k$, мы будем его вычитать. Это значит, что общая сумма уменьшится на величину $k - (-k) = 2k$.

Для любого целого числа $k$ произведение $2k$ всегда является четным числом. Следовательно, каждая замена знака «+» на «-» изменяет общую сумму на четное число. Если мы сделаем несколько таких замен, то итоговое изменение суммы будет равно сумме нескольких четных чисел, что также является четным числом.

Таким образом, новое значение выражения будет равно исходной нечетной сумме (45) минус некоторое четное число. Разность нечетного и четного чисел всегда является нечетным числом. Это означает, что при любой комбинации знаков «+» и «-» итоговая сумма всегда будет нечетной.

В условии задачи требуется получить значение, равное 18. Число 18 — четное.

Поскольку в результате любых замен знаков мы можем получить только нечетное число, достичь четного значения 18 невозможно.

К этому же выводу можно прийти и другим путем. Разница между исходной суммой (45) и желаемым результатом (18) составляет $45 - 18 = 27$. Эта разница должна быть равна сумме удвоенных чисел, перед которыми знаки были изменены на «-». Пусть $K$ — это множество чисел, перед которыми поменяли знак. Тогда $\sum_{k \in K} 2k = 27$, что означает $\sum_{k \in K} k = \frac{27}{2} = 13.5$. Сумма целых чисел не может быть нецелым числом, что также доказывает невозможность получения суммы 18.

Ответ: Нет, нельзя.

187. Сначала вычислили сумму цифр числа, равного произведению $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 999 \cdot 1000$. Потом вычислили сумму цифр полученного числа. Так поступали до тех пор, пока не получили однозначное число. Что это за число?

Пусть $N$ — это число, равное произведению $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 999 \cdot 1000$. Таким образом, $N = 1000!$.

В задаче описан процесс последовательного вычисления суммы цифр числа до тех пор, пока не будет получено однозначное число. Эта итоговая цифра является цифровым корнем исходного числа.

Для решения задачи используется свойство сравнения по модулю 9: любое натуральное число сравнимо с суммой своих цифр по модулю 9. Это означает, что число и сумма его цифр имеют одинаковые остатки при делении на 9. Математически это можно записать так: $n \equiv S(n) \pmod 9$, где $S(n)$ — сумма цифр числа $n$.

Поскольку процесс суммирования цифр повторяется, то исходное число $N$ будет иметь тот же остаток при делении на 9, что и конечный однозначный результат. Обозначим этот результат буквой $D$. Следовательно, $N \equiv D \pmod 9$.

Рассмотрим наше число $N = 1000!$. Оно представляет собой произведение всех натуральных чисел от 1 до 1000:

$N = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10 \cdot \ldots \cdot 1000$

Поскольку в этом произведении одним из множителей является число 9, то всё произведение $N$ делится на 9 без остатка. Это означает, что остаток от деления $N$ на 9 равен 0:

$N \equiv 0 \pmod 9$

Так как $N \equiv D \pmod 9$, то и для искомого однозначного числа $D$ должно выполняться условие:

$D \equiv 0 \pmod 9$

Число $D$ является однозначным, то есть может быть одним из чисел $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$. Кроме того, число $N=1000!$ является огромным положительным числом, поэтому сумма его цифр, как и все последующие суммы, будет строго больше нуля. Значит, $D > 0$.

Единственное положительное однозначное число, которое делится на 9, — это 9.

Таким образом, искомое число равно 9.

Ответ: 9

188. Простое число, большее 1000, поделили на 6. Чему может быть равен остаток?

Пусть $p$ — простое число, большее 1000. При делении любого целого числа на 6 возможны следующие остатки: 0, 1, 2, 3, 4, 5. Рассмотрим каждый из этих случаев для числа $p$.

Представим число $p$ в виде $p = 6k + r$, где $k$ — некоторое натуральное число, а $r$ — остаток от деления.

• Если остаток $r = 0$, то число имеет вид $p = 6k$. Такое число делится на 6, а значит, делится на 2 и на 3. Поскольку по условию $p > 1000$, оно не может быть простым.
• Если остаток $r = 2$, то число имеет вид $p = 6k + 2 = 2(3k + 1)$. Такое число является чётным и делится на 2. Единственное простое чётное число — это 2, но по условию $p > 1000$. Следовательно, такое число не может быть простым.
• Если остаток $r = 3$, то число имеет вид $p = 6k + 3 = 3(2k + 1)$. Такое число делится на 3. Единственное простое число, делящееся на 3, — это 3, но по условию $p > 1000$. Следовательно, такое число не может быть простым.
• Если остаток $r = 4$, то число имеет вид $p = 6k + 4 = 2(3k + 2)$. Такое число является чётным и делится на 2. Так как $p > 1000$, оно не может быть простым.

Таким образом, мы исключили остатки 0, 2, 3 и 4. Остаются возможными только два варианта:

• Остаток $r = 1$. Число имеет вид $p = 6k + 1$. Такие числа могут быть простыми. Например, первое простое число больше 1000 — это 1009. При делении на 6 оно даёт: $1009 = 6 \cdot 168 + 1$. Остаток равен 1.
• Остаток $r = 5$. Число имеет вид $p = 6k + 5$. Такие числа также могут быть простыми. Например, простое число 1013. При делении на 6 оно даёт: $1013 = 6 \cdot 168 + 5$. Остаток равен 5.

Следовательно, остаток от деления простого числа, большего 1000, на 6 может быть равен только 1 или 5.
Ответ: 1 или 5.

189. Найдите все пары простых чисел, разность которых равна 17.

Пусть искомые простые числа – это $p$ и $q$. По условию задачи их разность равна 17. Предположим, что $p > q$, тогда мы можем записать уравнение:

$p - q = 17$

Число 17 является нечетным. Разность двух целых чисел является нечетной только в том случае, если одно из чисел четное, а другое — нечетное.

Среди всех простых чисел есть только одно четное число — это 2. Все остальные простые числа нечетные.

Следовательно, одно из чисел в искомой паре, $p$ или $q$, должно быть равно 2.

Рассмотрим два возможных случая:

1. Если $p = 2$. Тогда уравнение примет вид $2 - q = 17$, откуда $q = 2 - 17 = -15$. Число -15 не является простым (оно даже не натуральное). Значит, этот случай не дает решения.

2. Если $q = 2$. Тогда уравнение примет вид $p - 2 = 17$. Решая его, находим $p = 17 + 2 = 19$. Число 19 является простым, так как его делителями являются только 1 и 19.

Таким образом, мы нашли единственную пару простых чисел, удовлетворяющую условию задачи. Это числа 2 и 19.

Проверим: $19 - 2 = 17$.

Ответ: (2, 19).

190. Найдите количество делителей числа, равного значению выражения:

1) $2^3$;

2) $2^4$. Выскажите гипотезу, о количестве делителей значения выражения $2^n$, где $n$ — натуральное число. Обсудите вашу гипотезу в классе.

1) 2³;
Сначала вычислим значение выражения: $2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$.
Теперь найдем все натуральные делители числа 8. Делителями являются числа, на которые 8 делится без остатка. Это числа: 1, 2, 4, 8.
Подсчитаем их количество: всего 4 делителя.
Ответ: 4

2) 2⁴.
Вычислим значение выражения: $2^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16$.
Найдем все натуральные делители числа 16. Это числа: 1, 2, 4, 8, 16.
Подсчитаем их количество: всего 5 делителей.
Ответ: 5

Гипотеза о количестве делителей числа 2ⁿ
Проанализируем результаты, полученные в предыдущих пунктах:
- для числа $2^3$ количество делителей равно 4, что можно представить как $3+1$;
- для числа $2^4$ количество делителей равно 5, что можно представить как $4+1$.
На основе этой закономерности можно сформулировать следующую гипотезу.
Гипотеза: Количество натуральных делителей числа, равного значению выражения $2^n$, где $n$ — натуральное число, равно $n+1$.
Обоснование (обсуждение) гипотезы:
Число $2^n$ уже представлено в виде разложения на простые множители. Любой его натуральный делитель должен также состоять только из множителя 2, то есть иметь вид $2^k$, где $k$ — целое неотрицательное число.
Поскольку делитель не может быть больше самого числа, должно выполняться неравенство $2^k \le 2^n$, что равносильно $k \le n$.
Таким образом, показатель степени $k$ может принимать любые целые значения от 0 до $n$ включительно: $0, 1, 2, \ldots, n$.
Общее число таких возможных значений для $k$ равно $(n - 0) + 1 = n+1$.
Каждому из этих значений $k$ соответствует уникальный делитель ($2^0, 2^1, \ldots, 2^n$). Следовательно, у числа $2^n$ ровно $n+1$ натуральных делителей. Гипотеза верна.
Ответ: Количество делителей числа $2^n$ равно $n+1$.

191. Рома и Дима записывают девятнадцатизначное число, используя только цифры 1, 2 и 4. Первую цифру пишет Рома, вторую – Дима, третью – снова Рома и так далее по очереди. Рома хочет получить в результате число, кратное 3. Может ли Дима помешать ему это сделать?

Для того чтобы число было кратно 3, необходимо и достаточно, чтобы сумма его цифр была кратна 3. Рома и Дима по очереди записывают цифры 19-значного числа. Рома хочет, чтобы сумма всех 19 цифр была кратна 3, а Дима стремится ему помешать.

Проанализируем ходы игроков и доступные им цифры:

Игроки могут использовать только цифры 1, 2 и 4. Рассмотрим их остатки от деления на 3:

• $1 \pmod{3} = 1$
• $2 \pmod{3} = 2$
• $4 \pmod{3} = 1$

Таким образом, на каждом ходу игрок может добавить к общей сумме цифр число, которое сравнимо с 1 или 2 по модулю 3. Добавить число, сравнимое с 0 по модулю 3, невозможно.

Всего в числе 19 позиций. Рома делает ходы на нечетных позициях (1, 3, ..., 19), всего 10 ходов. Дима делает ходы на четных позициях (2, 4, ..., 18), всего 9 ходов. Последнее слово остается за Ромой.

Дима может помешать Роме, если сможет применить выигрышную стратегию. Стратегия Димы заключается в том, чтобы после каждого своего хода сумма всех написанных цифр была кратна 3.

Рассмотрим, как это работает:

1. Ход 1 (Рома): Рома записывает первую цифру $d_1$. Сумма $S_1 = d_1$. Так как $d_1 \in \{1, 2, 4\}$, то $S_1 \pmod{3}$ равно 1 или 2. В любом случае, $S_1$ не делится на 3.
2. Ход 2 (Дима): Диме нужно выбрать цифру $d_2$ так, чтобы сумма $S_2 = S_1 + d_2$ стала кратна 3.
   • Если $S_1 \equiv 1 \pmod{3}$ (Рома выбрал 1 или 4), Дима выбирает цифру 2. Тогда $S_2 \equiv 1 + 2 \equiv 0 \pmod{3}$.
   • Если $S_1 \equiv 2 \pmod{3}$ (Рома выбрал 2), Дима выбирает цифру 1 или 4. Тогда $S_2 \equiv 2 + 1 \equiv 0 \pmod{3}$.
   Таким образом, Дима всегда может сделать сумму $S_2$ кратной 3.
3. Ход 3 (Рома): Рома видит, что текущая сумма $S_2$ кратна 3. Он добавляет свою цифру $d_3$. Новая сумма $S_3 = S_2 + d_3 \equiv 0 + d_3 \pmod{3}$. Так как $d_3 \not\equiv 0 \pmod{3}$, то и $S_3$ не будет кратна 3.

Эта закономерность сохраняется. После каждого хода Ромы сумма цифр не будет кратна 3. После каждого хода Димы, он, реагируя на ход Ромы, может сделать так, чтобы сумма цифр стала кратной 3.

Последний ход Димы — 18-й. Придерживаясь своей стратегии, он сделает так, что сумма первых 18 цифр, $S_{18}$, будет кратна 3, то есть $S_{18} \equiv 0 \pmod{3}$.

Последний, 19-й ход, делает Рома. Он должен выбрать цифру $d_{19}$. Итоговая сумма всех цифр будет $S_{19} = S_{18} + d_{19}$. Так как $S_{18} \equiv 0 \pmod{3}$, то $S_{19} \equiv d_{19} \pmod{3}$. Рома может выбрать $d_{19}$ из набора {1, 2, 4}.

• Если он выберет 1 или 4, то $S_{19} \equiv 1 \pmod{3}$.
• Если он выберет 2, то $S_{19} \equiv 2 \pmod{3}$.

Ни при каком выборе Ромы итоговая сумма цифр не будет кратна 3. Следовательно, Рома не сможет добиться своей цели.

Ответ: Да, Дима может помешать Роме.