Страница 25 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

125. Используя таблицу простых чисел, укажите, простым или составным является число:

1) 227;

2) 493;

3) 521;

4) 829;

5) 889.

1) 227
Чтобы определить, является ли число 227 простым или составным, необходимо проверить, делится ли оно на простые числа, не превосходящие его квадратный корень. Вычислим примерное значение квадратного корня из 227: $15^2 = 225$, $16^2 = 256$, значит $\sqrt{227} \approx 15.06$. Простые числа, на которые нужно проверить делимость: 2, 3, 5, 7, 11, 13.

• Число 227 нечетное, поэтому на 2 не делится.
• Сумма цифр числа 227 равна $2+2+7=11$. 11 не делится на 3, значит и 227 не делится на 3.
• Число 227 не оканчивается на 0 или 5, поэтому на 5 не делится.
• Проверим деление на 7: $227 \div 7 = 32$ (остаток 3).
• Проверим деление на 11: $227 \div 11 = 20$ (остаток 7).
• Проверим деление на 13: $227 \div 13 = 17$ (остаток 6).

Поскольку 227 не делится ни на одно простое число до 13, оно является простым. В таблице простых чисел 227 также будет присутствовать.
Ответ: простое число.

2) 493
Проверим делимость числа 493 на простые числа до $\sqrt{493}$. $22^2 = 484$, $23^2 = 529$, значит $\sqrt{493} \approx 22.2$. Простые числа для проверки: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.

• Число 493 не делится на 2 (нечетное), на 3 (сумма цифр $4+9+3=16$), на 5.
• Проверим деление на 7: $493 \div 7 = 70$ (остаток 3).
• Проверим деление на 11: $493 \div 11 = 44$ (остаток 9).
• Проверим деление на 13: $493 \div 13 = 37$ (остаток 12).
• Проверим деление на 17: $493 \div 17 = 29$.

Число 493 делится на 17 без остатка. Следовательно, оно является составным. $493 = 17 \cdot 29$.
Ответ: составное число.

3) 521
Проверим делимость числа 521 на простые числа до $\sqrt{521}$. $22^2 = 484$, $23^2 = 529$, значит $\sqrt{521} \approx 22.8$. Простые числа для проверки: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.

• Число 521 не делится на 2, 3 (сумма цифр $5+2+1=8$), 5.
• Проверим деление на 7: $521 \div 7 = 74$ (остаток 3).
• Проверим деление на 11: $521 \div 11 = 47$ (остаток 4).
• Проверим деление на 13: $521 \div 13 = 40$ (остаток 1).
• Проверим деление на 17: $521 \div 17 = 30$ (остаток 11).
• Проверим деление на 19: $521 \div 19 = 27$ (остаток 8).

Число 521 не делится ни на одно простое число до 19, следовательно, оно является простым. В таблице простых чисел 521 присутствует.
Ответ: простое число.

4) 829
Проверим делимость числа 829 на простые числа до $\sqrt{829}$. $28^2 = 784$, $29^2 = 841$, значит $\sqrt{829} \approx 28.8$. Простые числа для проверки: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23.

• Число 829 не делится на 2, 3 (сумма цифр $8+2+9=19$), 5.
• Проверим деление на 7: $829 \div 7 = 118$ (остаток 3).
• Проверим деление на 11: $829 \div 11 = 75$ (остаток 4).
• Проверим деление на 13: $829 \div 13 = 63$ (остаток 10).
• Проверим деление на 17: $829 \div 17 = 48$ (остаток 13).
• Проверим деление на 19: $829 \div 19 = 43$ (остаток 12).
• Проверим деление на 23: $829 \div 23 = 36$ (остаток 1).

Число 829 не имеет простых делителей до 23, значит, оно является простым. Это число также есть в таблице простых чисел.
Ответ: простое число.

5) 889
Проверим делимость числа 889 на простые числа до $\sqrt{889}$. $29^2 = 841$, $30^2 = 900$, значит $\sqrt{889} \approx 29.8$. Простые числа для проверки: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.

• Число 889 не делится на 2, 3 (сумма цифр $8+8+9=25$), 5.
• Проверим деление на 7: $889 \div 7 = 127$.

Число 889 делится на 7 без остатка, следовательно, оно является составным. $889 = 7 \cdot 127$.
Ответ: составное число.

126. Используя таблицу простых чисел, выпишите из чисел 203, 353, 431, 451, 569, 679, 809, 943 составные числа.

Чтобы определить, какие из данных чисел являются составными, нужно проверить, имеют ли они делители, отличные от единицы и самого себя. Для этого проверим каждое число.

203. Чтобы проверить, является ли число 203 простым, нужно проверить его делимость на простые числа, не превосходящие $\sqrt{203} \approx 14.2$. Проверяем делимость на 2, 3, 5, 7, 11, 13. Число 203 делится на 7: $203 = 7 \times 29$. Следовательно, 203 — составное число.

353. Проверяем делимость на простые числа до $\sqrt{353} \approx 18.7$, то есть на 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17. Число 353 не делится ни на одно из этих чисел. Следовательно, 353 — простое число.

431. Проверяем делимость на простые числа до $\sqrt{431} \approx 20.7$, то есть до 19. Число 431 не делится ни на одно из них. Следовательно, 431 — простое число.

451. Проверяем делимость на простые числа до $\sqrt{451} \approx 21.2$, то есть до 19. Сумма цифр с чередующимися знаками $4 - 5 + 1 = 0$, что является признаком делимости на 11. $451 = 11 \times 41$. Следовательно, 451 — составное число.

569. Проверяем делимость на простые числа до $\sqrt{569} \approx 23.8$, то есть до 23. Число 569 не делится ни на одно из них. Следовательно, 569 — простое число.

679. Проверяем делимость на простые числа до $\sqrt{679} \approx 26.05$, то есть до 23. Число 679 делится на 7: $679 = 7 \times 97$. Следовательно, 679 — составное число.

809. Проверяем делимость на простые числа до $\sqrt{809} \approx 28.4$, то есть до 23. Число 809 не делится ни на одно из них. Следовательно, 809 — простое число.

943. Проверяем делимость на простые числа до $\sqrt{943} \approx 30.7$, то есть до 29. Число 943 делится на 23: $943 = 23 \times 41$. Следовательно, 943 — составное число.

Таким образом, составными числами из данного списка являются 203, 451, 679 и 943.

Ответ: 203, 451, 679, 943.

127. Является ли составным число:

1) $8246$;

2) $11\ 415$;

3) $591$;

4) $56\ 270$?

Ответ обоснуйте.

Натуральное число называется составным, если оно имеет делители, отличные от единицы и самого себя. Чтобы определить, является ли число составным, достаточно найти хотя бы один такой делитель. Для этого можно воспользоваться признаками делимости.

1) 8246

Число 8246 оканчивается на четную цифру 6. Согласно признаку делимости на 2, если число оканчивается на четную цифру (0, 2, 4, 6, 8), то оно делится на 2 без остатка. Следовательно, число 8246 имеет делитель 2, который отличен от 1 и 8246, а значит, оно является составным.
$8246 \div 2 = 4123$
Ответ: да, число 8246 является составным, так как оно делится на 2.

2) 11 415

Число 11 415 оканчивается на цифру 5. Согласно признаку делимости на 5, если число оканчивается на 0 или 5, то оно делится на 5 без остатка. Следовательно, число 11 415 имеет делитель 5, а значит, является составным.
$11415 \div 5 = 2283$
Ответ: да, число 11 415 является составным, так как оно делится на 5.

3) 591

Проверим число 591, используя признак делимости на 3. Для этого найдем сумму его цифр:
$5 + 9 + 1 = 15$
Сумма цифр, равная 15, делится на 3 ($15 \div 3 = 5$). Следовательно, и само число 591 делится на 3. Так как число 591 имеет делитель 3, оно является составным.
$591 \div 3 = 197$
Ответ: да, число 591 является составным, так как сумма его цифр делится на 3.

4) 56 270

Число 56 270 оканчивается на 0. Согласно признаку делимости на 10, если число оканчивается на 0, то оно делится на 10 без остатка. Также оно делится на 2 и на 5. Наличие делителя 10 (а также 2 и 5) доказывает, что число 56 270 является составным.
$56270 \div 10 = 5627$
Ответ: да, число 56 270 является составным, так как оно делится на 10.

128. Разложите на простые множители число:

1) 216;

2) 450;

3) 920;

4) 2280;

5) 10 850.

1) 216
Чтобы разложить число 216 на простые множители, будем последовательно делить его на наименьшие простые числа, начиная с 2.
Число 216 четное, поэтому оно делится на 2:
$216 : 2 = 108$
Результат 108 также четный, делим его на 2:
$108 : 2 = 54$
Результат 54 снова четный, делим его на 2:
$54 : 2 = 27$
Число 27 нечетное. Проверим делимость на следующее простое число, 3. Сумма цифр числа 27 ($2+7=9$) делится на 3, значит, и само число делится на 3:
$27 : 3 = 9$
Число 9 снова делим на 3:
$9 : 3 = 3$
Число 3 является простым. Процесс деления завершен.
Таким образом, мы получили следующие простые множители: 2, 2, 2, 3, 3, 3. Запишем разложение в виде произведения степеней:
$216 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3^3$
Ответ: $2^3 \cdot 3^3$

2) 450
Разложим число 450 на простые множители.
Число 450 четное, делим его на 2:
$450 : 2 = 225$
Число 225 нечетное. Проверим делимость на 3. Сумма цифр ($2+2+5=9$) делится на 3, значит, 225 делится на 3:
$225 : 3 = 75$
Сумма цифр числа 75 ($7+5=12$) делится на 3, значит, 75 также делится на 3:
$75 : 3 = 25$
Число 25 делится на 5:
$25 : 5 = 5$
Число 5 является простым.
Таким образом, мы получили простые множители: 2, 3, 3, 5, 5. Запишем разложение в виде произведения степеней:
$450 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5^2$
Ответ: $2 \cdot 3^2 \cdot 5^2$

3) 920
Разложим число 920 на простые множители.
Число 920 четное, делим его на 2:
$920 : 2 = 460$
Результат 460 также четный, делим на 2:
$460 : 2 = 230$
Результат 230 снова четный, делим на 2:
$230 : 2 = 115$
Число 115 нечетное и не делится на 3 (сумма цифр $1+1+5=7$). Число заканчивается на 5, значит, оно делится на 5:
$115 : 5 = 23$
Число 23 является простым.
Таким образом, мы получили простые множители: 2, 2, 2, 5, 23. Запишем разложение в виде произведения степеней:
$920 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 23 = 2^3 \cdot 5 \cdot 23$
Ответ: $2^3 \cdot 5 \cdot 23$

4) 2280
Разложим число 2280 на простые множители.
Число 2280 четное, делим его на 2:
$2280 : 2 = 1140$
$1140 : 2 = 570$
$570 : 2 = 285$
Число 285 нечетное. Проверим делимость на 3. Сумма цифр ($2+8+5=15$) делится на 3, значит, 285 делится на 3:
$285 : 3 = 95$
Число 95 не делится на 3 (сумма цифр 14). Оно заканчивается на 5, значит, делится на 5:
$95 : 5 = 19$
Число 19 является простым.
Таким образом, мы получили простые множители: 2, 2, 2, 3, 5, 19. Запишем разложение в виде произведения степеней:
$2280 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 19 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 19$
Ответ: $2^3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 19$

5) 10 850
Разложим число 10 850 на простые множители.
Число 10 850 четное, делим его на 2:
$10850 : 2 = 5425$
Число 5425 нечетное и не делится на 3 (сумма цифр $5+4+2+5=16$). Оно заканчивается на 5, значит, делится на 5:
$5425 : 5 = 1085$
Число 1085 также заканчивается на 5, делим его на 5:
$1085 : 5 = 217$
Проверим делимость 217 на следующие простые числа. Сумма цифр ($2+1+7=10$) не делится на 3. Число не заканчивается на 0 или 5. Проверим деление на 7:
$217 : 7 = 31$
Число 31 является простым.
Таким образом, мы получили простые множители: 2, 5, 5, 7, 31. Запишем разложение в виде произведения степеней:
$10850 = 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 31 = 2 \cdot 5^2 \cdot 7 \cdot 31$
Ответ: $2 \cdot 5^2 \cdot 7 \cdot 31$

129. Разложите на простые множители число:

1) $625$;

2) $820$;

3) $2772$;

4) $702$;

5) $1224$.

1) 625

Разложим число 625 на простые множители. Поскольку число оканчивается на 5, оно делится на простое число 5.

$625 \div 5 = 125$

Результат, 125, также оканчивается на 5, поэтому снова делим на 5.

$125 \div 5 = 25$

Результат, 25, также делится на 5.

$25 \div 5 = 5$

Число 5 является простым. Таким образом, мы нашли все простые множители.

$625 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^4$

Ответ: $625 = 5^4$

2) 820

Разложим число 820 на простые множители. Число четное, значит, оно делится на 2.

$820 \div 2 = 410$

Результат, 410, также четный.

$410 \div 2 = 205$

Число 205 оканчивается на 5, значит, делится на 5.

$205 \div 5 = 41$

Число 41 является простым. Следовательно, разложение на множители завершено.

$820 = 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 41 = 2^2 \cdot 5 \cdot 41$

Ответ: $820 = 2^2 \cdot 5 \cdot 41$

3) 2772

Разложим число 2772 на простые множители. Число четное, делим на 2.

$2772 \div 2 = 1386$

Результат, 1386, снова четный.

$1386 \div 2 = 693$

Сумма цифр числа 693 равна $6+9+3=18$, что делится на 3. Значит, 693 делится на 3.

$693 \div 3 = 231$

Сумма цифр числа 231 равна $2+3+1=6$, что делится на 3. Значит, 231 делится на 3.

$231 \div 3 = 77$

Число 77 делится на 7.

$77 \div 7 = 11$

Число 11 является простым.

$2772 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 11 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 7 \cdot 11$

Ответ: $2772 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 7 \cdot 11$

4) 702

Разложим число 702 на простые множители. Число четное, делим на 2.

$702 \div 2 = 351$

Сумма цифр числа 351 равна $3+5+1=9$, что делится на 3. Делим 351 на 3.

$351 \div 3 = 117$

Сумма цифр числа 117 равна $1+1+7=9$, что делится на 3. Делим 117 на 3.

$117 \div 3 = 39$

Число 39 делится на 3.

$39 \div 3 = 13$

Число 13 является простым.

$702 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 13 = 2 \cdot 3^3 \cdot 13$

Ответ: $702 = 2 \cdot 3^3 \cdot 13$

5) 1224

Разложим число 1224 на простые множители. Число четное, делим на 2.

$1224 \div 2 = 612$

Результат, 612, четный.

$612 \div 2 = 306$

Результат, 306, четный.

$306 \div 2 = 153$

Сумма цифр числа 153 равна $1+5+3=9$, что делится на 3. Делим 153 на 3.

$153 \div 3 = 51$

Сумма цифр числа 51 равна $5+1=6$, что делится на 3. Делим 51 на 3.

$51 \div 3 = 17$

Число 17 является простым.

$1224 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 17 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 17$

Ответ: $1224 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 17$

130. Назовите наибольший общий делитель чисел:

1) $12$ и $16$;

2) $25$ и $35$;

3) $7$ и $28$;

4) $20$ и $30$;

5) $33$ и $40$;

6) $8$, $20$ и $36$.

1) 12 и 16:
Наибольший общий делитель (НОД) — это самое большое натуральное число, на которое без остатка делятся оба заданных числа. Найдем НОД для 12 и 16.
Способ 1: Разложение на простые множители.
Разложим каждое число на простые множители:
$12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$
$16 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^4$
Находим общие простые множители и берем их в наименьшей степени. Общий множитель — 2, наименьшая степень — 2.
НОД(12, 16) = $2^2 = 4$.
Способ 2: Перечисление делителей.
Выпишем все делители для каждого числа:
Делители 12: {1, 2, 3, 4, 6, 12}
Делители 16: {1, 2, 4, 8, 16}
Общими делителями являются числа 1, 2, 4. Наибольший из них — 4.
Ответ: 4

2) 25 и 35:
Найдем НОД для 25 и 35.
Способ 1: Разложение на простые множители.
$25 = 5 \cdot 5 = 5^2$
$35 = 5 \cdot 7$
Общий простой множитель — 5. Его наименьшая степень — 1.
НОД(25, 35) = $5^1 = 5$.
Способ 2: Перечисление делителей.
Делители 25: {1, 5, 25}
Делители 35: {1, 5, 7, 35}
Наибольший общий делитель — 5.
Ответ: 5

3) 7 и 28:
Найдем НОД для 7 и 28.
Число 7 является простым. Проверим, делится ли 28 на 7.
$28 \div 7 = 4$.
Так как 28 делится на 7 без остатка, то 7 является их наибольшим общим делителем.
НОД(7, 28) = 7.
Проверка перечислением делителей:
Делители 7: {1, 7}
Делители 28: {1, 2, 4, 7, 14, 28}
Наибольший общий делитель — 7.
Ответ: 7

4) 20 и 30:
Найдем НОД для 20 и 30.
Способ 1: Разложение на простые множители.
$20 = 2 \cdot 2 \cdot 5 = 2^2 \cdot 5$
$30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$
Общие простые множители — 2 и 5. Берем их в наименьших степенях: $2^1$ и $5^1$.
НОД(20, 30) = $2 \cdot 5 = 10$.
Способ 2: Перечисление делителей.
Делители 20: {1, 2, 4, 5, 10, 20}
Делители 30: {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}
Наибольший общий делитель — 10.
Ответ: 10

5) 33 и 40:
Найдем НОД для 33 и 40.
Разложение на простые множители:
$33 = 3 \cdot 11$
$40 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 = 2^3 \cdot 5$
У чисел 33 и 40 нет общих простых множителей. Такие числа называются взаимно простыми, и их наибольший общий делитель всегда равен 1.
НОД(33, 40) = 1.
Проверка перечислением делителей:
Делители 33: {1, 3, 11, 33}
Делители 40: {1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40}
Единственный общий делитель — 1.
Ответ: 1

6) 8, 20 и 36:
Найдем НОД для чисел 8, 20 и 36.
Способ 1: Разложение на простые множители.
$8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3$
$20 = 2 \cdot 2 \cdot 5 = 2^2 \cdot 5$
$36 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3^2$
Общий простой множитель для всех трех чисел — 2. Наименьшая степень, в которой он встречается, — 2.
НОД(8, 20, 36) = $2^2 = 4$.
Способ 2: Перечисление делителей.
Делители 8: {1, 2, 4, 8}
Делители 20: {1, 2, 4, 5, 10, 20}
Делители 36: {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}
Общими делителями для всех трех чисел являются 1, 2, 4. Наибольший из них — 4.
Ответ: 4

131. Найдите наибольший общий делитель чисел:

1) 18 и 27;

2) 22 и 33;

3) 36 и 48;

4) 45 и 49;

5) 15 и 60;

6) 9, 15 и 18.

1) Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) для чисел 18 и 27, разложим их на простые множители.
Разложение числа 18 на простые множители: $18 = 2 \cdot 9 = 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2 \cdot 3^2$.
Разложение числа 27 на простые множители: $27 = 3 \cdot 9 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^3$.
Теперь найдем общие множители в разложениях этих чисел. Общими множителями являются $3 \cdot 3$.
Произведение общих множителей: $3 \cdot 3 = 9$.
Следовательно, НОД(18, 27) = 9.
Ответ: 9

2) Найдем НОД для чисел 22 и 33. Разложим их на простые множители.
Разложение числа 22: $22 = 2 \cdot 11$.
Разложение числа 33: $33 = 3 \cdot 11$.
Общий простой множитель для этих чисел — 11.
Следовательно, НОД(22, 33) = 11.
Ответ: 11

3) Найдем НОД для чисел 36 и 48. Разложим их на простые множители.
Разложение числа 36: $36 = 2 \cdot 18 = 2 \cdot 2 \cdot 9 = 2^2 \cdot 3^2$.
Разложение числа 48: $48 = 2 \cdot 24 = 2 \cdot 2 \cdot 12 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 6 = 2^4 \cdot 3$.
Общие множители в разложениях: $2 \cdot 2 \cdot 3$.
Произведение общих множителей: $2 \cdot 2 \cdot 3 = 12$.
Следовательно, НОД(36, 48) = 12.
Ответ: 12

4) Найдем НОД для чисел 45 и 49. Разложим их на простые множители.
Разложение числа 45: $45 = 5 \cdot 9 = 3^2 \cdot 5$.
Разложение числа 49: $49 = 7 \cdot 7 = 7^2$.
У этих чисел нет общих простых множителей. Единственный общий делитель для таких чисел — это 1. Такие числа называются взаимно простыми.
Следовательно, НОД(45, 49) = 1.
Ответ: 1

5) Найдем НОД для чисел 15 и 60.
Можно заметить, что число 60 делится на 15 без остатка: $60 \div 15 = 4$.
Если одно натуральное число делится на другое, то их наибольший общий делитель равен меньшему из этих чисел.
Следовательно, НОД(15, 60) = 15.
Также это можно проверить разложением на множители:
$15 = 3 \cdot 5$.
$60 = 2 \cdot 30 = 2 \cdot 2 \cdot 15 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$.
Общие множители: $3 \cdot 5 = 15$.
Ответ: 15

6) Найдем НОД для чисел 9, 15 и 18. Разложим каждое число на простые множители.
Разложение числа 9: $9 = 3 \cdot 3 = 3^2$.
Разложение числа 15: $15 = 3 \cdot 5$.
Разложение числа 18: $18 = 2 \cdot 9 = 2 \cdot 3^2$.
Общий простой множитель для всех трех чисел — это 3.
Следовательно, НОД(9, 15, 18) = 3.
Ответ: 3

132. Составьте все пары взаимно простых чисел из чисел 10, 15, 21, 65.

Взаимно простыми называются числа, у которых наибольший общий делитель (НОД) равен 1. Чтобы найти все пары взаимно простых чисел из заданного набора {10, 15, 21, 65}, нужно проверить все возможные комбинации пар.

Для удобства разложим каждое число на простые множители:

$10 = 2 \cdot 5$

$15 = 3 \cdot 5$

$21 = 3 \cdot 7$

$65 = 5 \cdot 13$

Теперь проверим каждую пару на наличие общих делителей, отличных от 1.

Пара 10 и 15
Число 10 имеет множители 2 и 5. Число 15 имеет множители 3 и 5. У них есть общий множитель 5, следовательно, $НОД(10, 15) = 5$. Эти числа не являются взаимно простыми.

Пара 10 и 21
Число 10 имеет множители 2 и 5. Число 21 имеет множители 3 и 7. Общих множителей нет, следовательно, $НОД(10, 21) = 1$. Эти числа являются взаимно простыми.

Пара 10 и 65
Число 10 имеет множители 2 и 5. Число 65 имеет множители 5 и 13. У них есть общий множитель 5, следовательно, $НОД(10, 65) = 5$. Эти числа не являются взаимно простыми.

Пара 15 и 21
Число 15 имеет множители 3 и 5. Число 21 имеет множители 3 и 7. У них есть общий множитель 3, следовательно, $НОД(15, 21) = 3$. Эти числа не являются взаимно простыми.

Пара 15 и 65
Число 15 имеет множители 3 и 5. Число 65 имеет множители 5 и 13. У них есть общий множитель 5, следовательно, $НОД(15, 65) = 5$. Эти числа не являются взаимно простыми.

Пара 21 и 65
Число 21 имеет множители 3 и 7. Число 65 имеет множители 5 и 13. Общих множителей нет, следовательно, $НОД(21, 65) = 1$. Эти числа являются взаимно простыми.

Таким образом, мы нашли две пары взаимно простых чисел.

Ответ: (10, 21) и (21, 65).

133. Составьте все пары взаимно простых чисел из чисел 6, 14, 35, 99.

Два числа называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель (НОД) равен 1. Чтобы составить все пары взаимно простых чисел из набора {6, 14, 35, 99}, необходимо проверить каждую возможную пару.

Для удобства разложим каждое число на простые множители. Если у двух чисел нет общих простых множителей, то они являются взаимно простыми.

• $6 = 2 \cdot 3$
• $14 = 2 \cdot 7$
• $35 = 5 \cdot 7$
• $99 = 3^2 \cdot 11$

Теперь последовательно рассмотрим все возможные пары чисел:

Пара (6, 14)

Простые множители числа 6: {2, 3}. Простые множители числа 14: {2, 7}.
У этих чисел есть общий простой множитель 2, поэтому их НОД больше 1 ($НОД(6, 14) = 2$). Эта пара не является взаимно простой.

Пара (6, 35)

Простые множители числа 6: {2, 3}. Простые множители числа 35: {5, 7}.
У этих чисел нет общих простых множителей, поэтому их НОД равен 1 ($НОД(6, 35) = 1$). Эта пара является взаимно простой.

Пара (6, 99)

Простые множители числа 6: {2, 3}. Простые множители числа 99: {3, 11}.
У этих чисел есть общий простой множитель 3, поэтому их НОД больше 1 ($НОД(6, 99) = 3$). Эта пара не является взаимно простой.

Пара (14, 35)

Простые множители числа 14: {2, 7}. Простые множители числа 35: {5, 7}.
У этих чисел есть общий простой множитель 7, поэтому их НОД больше 1 ($НОД(14, 35) = 7$). Эта пара не является взаимно простой.

Пара (14, 99)

Простые множители числа 14: {2, 7}. Простые множители числа 99: {3, 11}.
У этих чисел нет общих простых множителей, поэтому их НОД равен 1 ($НОД(14, 99) = 1$). Эта пара является взаимно простой.

Пара (35, 99)

Простые множители числа 35: {5, 7}. Простые множители числа 99: {3, 11}.
У этих чисел нет общих простых множителей, поэтому их НОД равен 1 ($НОД(35, 99) = 1$). Эта пара является взаимно простой.

Таким образом, мы нашли три пары взаимно простых чисел из заданного набора.

Ответ: (6, 35), (14, 99), (35, 99).

134. Найдите наибольший общий делитель чисел a и b:

1) $a = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 19$ и $b = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13$;

2) $a = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 7^3 \cdot 11^2 \cdot 19$ и $b = 2^2 \cdot 3^5 \cdot 11^2 \cdot 19^3$.

Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) двух чисел, разложенных на простые множители, нужно выписать все общие простые множители этих чисел и взять каждый из них с наименьшим показателем степени, с которым он входит в оба разложения. Затем эти множители нужно перемножить.

1) Даны числа $a = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 19$ и $b = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13$.

Представим разложения чисел в каноническом виде, используя степени:
$a = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^1 \cdot 7^1 \cdot 19^1$
$b = 2^1 \cdot 3^2 \cdot 7^1 \cdot 11^1 \cdot 13^1$

Общими простыми множителями для чисел $a$ и $b$ являются 2, 3 и 7.

Выберем для каждого общего множителя наименьшую степень из двух разложений:

• Для множителя 2 наименьшая степень — 1 (из разложения числа $b$).
• Для множителя 3 наименьшая степень — 1 (из разложения числа $a$).
• Для множителя 7 наименьшая степень — 1 (одинакова в обоих разложениях).

Теперь найдем произведение этих множителей в выбранных степенях:
НОД($a, b$) = $2^1 \cdot 3^1 \cdot 7^1 = 2 \cdot 3 \cdot 7 = 42$.

Ответ: 42.

2) Даны числа $a = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 7^3 \cdot 11^2 \cdot 19$ и $b = 2^2 \cdot 3^5 \cdot 11^2 \cdot 19^3$.

Общими простыми множителями для чисел $a$ и $b$ являются 2, 3, 11 и 19. (Обратите внимание, что $19 = 19^1$).

Выберем для каждого общего множителя наименьшую степень из двух разложений:

• Для множителя 2 наименьшая степень — 2 (из разложения числа $b$).
• Для множителя 3 наименьшая степень — 2 (из разложения числа $a$).
• Для множителя 11 наименьшая степень — 2 (одинакова в обоих разложениях).
• Для множителя 19 наименьшая степень — 1 (из разложения числа $a$).

Теперь найдем произведение этих множителей в выбранных степенях:
НОД($a, b$) = $2^2 \cdot 3^2 \cdot 11^2 \cdot 19^1 = 4 \cdot 9 \cdot 121 \cdot 19 = 36 \cdot 121 \cdot 19 = 4356 \cdot 19 = 82764$.

Ответ: 82764.

135. Найдите наибольший общий делитель чисел:

1) 72 и 120;

2) 792 и 1188;

3) 924 и 396;

4) 116 и 111.

1) 72 и 120

Для нахождения наибольшего общего делителя (НОД) чисел, разложим их на простые множители.

Разложение числа 72 на простые множители:
$72 = 2 \cdot 36 = 2 \cdot 2 \cdot 18 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 9 = 2^3 \cdot 3^2$.

Разложение числа 120 на простые множители:
$120 = 2 \cdot 60 = 2 \cdot 2 \cdot 30 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 15 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5$.

Для нахождения НОД, необходимо перемножить общие простые множители, взяв каждый с наименьшим показателем степени. Общими множителями являются $2$ и $3$. Наименьшая степень для $2$ — это $3$ ($2^3$), для $3$ — это $1$ ($3^1$).

НОД(72, 120) = $2^3 \cdot 3^1 = 8 \cdot 3 = 24$.

Ответ: 24

2) 792 и 1188

Разложим числа 792 и 1188 на простые множители.

Разложение числа 792:
$792 = 2 \cdot 396 = 2^2 \cdot 198 = 2^3 \cdot 99 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 11$.

Разложение числа 1188:
$1188 = 2 \cdot 594 = 2^2 \cdot 297 = 2^2 \cdot 3 \cdot 99 = 2^2 \cdot 3 \cdot 3^2 \cdot 11 = 2^2 \cdot 3^3 \cdot 11$.

Общие простые множители: $2$, $3$ и $11$. Берем их с наименьшими показателями степеней: $2^2$, $3^2$, $11^1$.

НОД(792, 1188) = $2^2 \cdot 3^2 \cdot 11 = 4 \cdot 9 \cdot 11 = 36 \cdot 11 = 396$.

Ответ: 396

3) 924 и 396

Разложим числа 924 и 396 на простые множители.

Разложение числа 924:
$924 = 2 \cdot 462 = 2^2 \cdot 231 = 2^2 \cdot 3 \cdot 77 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 11$.

Разложение числа 396:
$396 = 2 \cdot 198 = 2^2 \cdot 99 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 11$.

Общие простые множители: $2$, $3$ и $11$. Берем их с наименьшими показателями степеней: $2^2$, $3^1$, $11^1$.

НОД(924, 396) = $2^2 \cdot 3 \cdot 11 = 4 \cdot 3 \cdot 11 = 12 \cdot 11 = 132$.

Ответ: 132

4) 116 и 111

Разложим числа 116 и 111 на простые множители.

Разложение числа 116:
$116 = 2 \cdot 58 = 2^2 \cdot 29$.

Разложение числа 111:
$111 = 3 \cdot 37$.

Разложения чисел 116 и 111 на простые множители не содержат общих множителей. Такие числа называются взаимно простыми. Их наибольший общий делитель равен 1.

НОД(116, 111) = 1.

Ответ: 1

136. Найдите наибольший общий делитель чисел:

1) 42 и 105;

2) 588 и 252;

3) 680 и 612.

1) 42 и 105;

Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) двух чисел, нужно разложить их на простые множители, найти общие множители и перемножить их.

Разложим число 42 на простые множители:

$42 = 2 \cdot 21 = 2 \cdot 3 \cdot 7$

Разложим число 105 на простые множители:

$105 = 5 \cdot 21 = 3 \cdot 5 \cdot 7$

Общими множителями в разложениях чисел 42 и 105 являются 3 и 7.

Найдем их произведение:

НОД(42, 105) = $3 \cdot 7 = 21$

Ответ: 21

2) 588 и 252;

Разложим оба числа на простые множители.

Разложение числа 588:

$588 = 2 \cdot 294 = 2 \cdot 2 \cdot 147 = 2^2 \cdot 3 \cdot 49 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7^2$

Разложение числа 252:

$252 = 2 \cdot 126 = 2 \cdot 2 \cdot 63 = 2^2 \cdot 3 \cdot 21 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 7$

Чтобы найти НОД, выберем общие простые множители в наименьшей степени, в которой они входят в оба разложения, и перемножим их.

Общие множители: 2, 3 и 7.

Наименьшая степень для 2: $2^2$.

Наименьшая степень для 3: $3^1$.

Наименьшая степень для 7: $7^1$.

НОД(588, 252) = $2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 4 \cdot 3 \cdot 7 = 84$

Ответ: 84

3) 680 и 612.

Разложим числа 680 и 612 на простые множители.

Разложение числа 680:

$680 = 10 \cdot 68 = (2 \cdot 5) \cdot (4 \cdot 17) = 2 \cdot 5 \cdot 2^2 \cdot 17 = 2^3 \cdot 5 \cdot 17$

Разложение числа 612:

$612 = 2 \cdot 306 = 2 \cdot 2 \cdot 153 = 2^2 \cdot 3 \cdot 51 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 17$

Найдем общие простые множители в наименьших степенях.

Общие множители: 2 и 17.

Наименьшая степень для 2: $2^2$.

Наименьшая степень для 17: $17^1$.

Перемножим их:

НОД(680, 612) = $2^2 \cdot 17 = 4 \cdot 17 = 68$

Ответ: 68

137. Назовите наименьшее общее кратное чисел:

1) 6 и 8;

2) 10 и 15;

3) 9 и 18;

4) 4 и 9;

5) 20 и 30;

6) 4, 6 и 9.

1) 6 и 8

Чтобы найти наименьшее общее кратное (НОК), разложим числа 6 и 8 на простые множители. НОК — это произведение всех простых множителей, взятых в наибольшей степени, в которой они встречаются в разложениях.

Разложение на простые множители:

$6 = 2 \cdot 3$

$8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3$

Выбираем множители в наибольшей степени: $2^3$ и $3^1$.

НОК(6, 8) = $2^3 \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24$.

Ответ: 24

2) 10 и 15

Разложим числа 10 и 15 на простые множители:

$10 = 2 \cdot 5$

$15 = 3 \cdot 5$

Выбираем все простые множители ($2, 3, 5$) в их наибольших степенях ($2^1, 3^1, 5^1$) и перемножаем их:

НОК(10, 15) = $2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$.

Ответ: 30

3) 9 и 18

В данном случае число 18 делится нацело на 9 ($18 \div 9 = 2$). Если одно из чисел делится на другое, то наименьшее общее кратное этих чисел равно большему из них.

Таким образом, НОК(9, 18) = 18.

Проверим разложением на множители:

$9 = 3^2$

$18 = 2 \cdot 3^2$

НОК(9, 18) = $2 \cdot 3^2 = 18$.

Ответ: 18

4) 4 и 9

Разложим числа 4 и 9 на простые множители:

$4 = 2^2$

$9 = 3^2$

Числа 4 и 9 являются взаимно простыми, так как у них нет общих простых делителей. В этом случае их НОК равен их произведению.

НОК(4, 9) = $2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36$.

Ответ: 36

5) 20 и 30

Разложим числа 20 и 30 на простые множители:

$20 = 2 \cdot 10 = 2^2 \cdot 5$

$30 = 3 \cdot 10 = 2 \cdot 3 \cdot 5$

Выбираем множители в наибольшей степени: $2^2, 3^1, 5^1$.

НОК(20, 30) = $2^2 \cdot 3 \cdot 5 = 4 \cdot 3 \cdot 5 = 60$.

Ответ: 60

6) 4, 6 и 9

Разложим все три числа на простые множители:

$4 = 2^2$

$6 = 2 \cdot 3$

$9 = 3^2$

Чтобы найти НОК, берем каждый простой множитель в наибольшей степени, в которой он встречается в разложениях, и перемножаем их. Наибольшая степень для множителя 2 — это $2^2$. Наибольшая степень для множителя 3 — это $3^2$.

НОК(4, 6, 9) = $2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36$.

Ответ: 36

138. Найдите наименьшее общее кратное чисел:

1) 6 и 15;

2) 4 и 6;

3) 14 и 7;

4) 30 и 45;

5) 4 и 21;

6) 6, 14 и 21.

Чтобы найти наименьшее общее кратное (НОК) двух или более чисел, нужно разложить эти числа на простые множители, а затем найти произведение всех простых множителей, взятых в наибольшей из встречающихся степеней.

1) 6 и 15

Разложим числа 6 и 15 на простые множители:
$6 = 2 \cdot 3$
$15 = 3 \cdot 5$
Выпишем все простые множители, которые встречаются в разложениях ($2, 3, 5$), и возьмем каждый в наибольшей степени (в данном случае все в первой степени).
НОК(6, 15) = $2^1 \cdot 3^1 \cdot 5^1 = 30$.
Ответ: 30

2) 4 и 6

Разложим числа 4 и 6 на простые множители:
$4 = 2^2$
$6 = 2 \cdot 3$
Выпишем все простые множители ($2, 3$) в их наибольших степенях. Наибольшая степень для множителя 2 - это $2^2$, для множителя 3 - это $3^1$.
НОК(4, 6) = $2^2 \cdot 3^1 = 4 \cdot 3 = 12$.
Ответ: 12

3) 14 и 7

Число 14 делится на 7 без остатка ($14 : 7 = 2$). Если одно из чисел делится на другое нацело, то наименьшее общее кратное этих чисел равно большему из них.
Таким образом, НОК(14, 7) = 14.
Ответ: 14

4) 30 и 45

Разложим числа 30 и 45 на простые множители:
$30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$
$45 = 3 \cdot 15 = 3 \cdot 3 \cdot 5 = 3^2 \cdot 5$
Выберем все простые множители ($2, 3, 5$) в их наибольших степенях: $2^1$, $3^2$, $5^1$.
НОК(30, 45) = $2^1 \cdot 3^2 \cdot 5^1 = 2 \cdot 9 \cdot 5 = 90$.
Ответ: 90

5) 4 и 21

Разложим числа 4 и 21 на простые множители:
$4 = 2^2$
$21 = 3 \cdot 7$
У этих чисел нет общих простых множителей, поэтому они являются взаимно простыми. Наименьшее общее кратное взаимно простых чисел равно их произведению.
НОК(4, 21) = $4 \cdot 21 = 84$.
Ответ: 84

6) 6, 14 и 21

Разложим все три числа на простые множители:
$6 = 2 \cdot 3$
$14 = 2 \cdot 7$
$21 = 3 \cdot 7$
Выпишем все простые множители ($2, 3, 7$), которые встречаются в разложениях, каждый в наибольшей степени (в данном случае все в первой степени).
НОК(6, 14, 21) = $2^1 \cdot 3^1 \cdot 7^1 = 2 \cdot 3 \cdot 7 = 42$.
Ответ: 42

139. Найдите наименьшее общее кратное чисел a и b:

1) $a=2^3 \cdot 3 \cdot 5$ и $b=3 \cdot 5 \cdot 7;$

2) $a=2^4 \cdot 3 \cdot 11$ и $b=2^2 \cdot 3^3 \cdot 13.$

Чтобы найти наименьшее общее кратное (НОК) чисел, разложенных на простые множители, необходимо выписать все простые множители, которые встречаются в разложении хотя бы одного из чисел, и взять каждый из них с наибольшим показателем степени. Затем все эти множители нужно перемножить.

1) $a = 2^3 \cdot 3 \cdot 5$ и $b = 3 \cdot 5 \cdot 7$

Данные числа разложены на простые множители. Простые множители, входящие в разложения: 2, 3, 5, 7.

Для нахождения НОК возьмем каждый множитель с наибольшим показателем степени:

• множитель 2 встречается только в разложении числа a, его наибольшая степень равна 3 ($2^3$);
• множитель 3 встречается в обоих разложениях в первой степени, поэтому берем $3^1$;
• множитель 5 встречается в обоих разложениях в первой степени, поэтому берем $5^1$;
• множитель 7 встречается только в разложении числа b, его наибольшая степень равна 1 ($7^1$).

Перемножим полученные множители:

$НОК(a, b) = 2^3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 8 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 24 \cdot 35 = 840$.

Ответ: 840

2) $a = 2^4 \cdot 3 \cdot 11$ и $b = 2^2 \cdot 3^3 \cdot 13$

Данные числа разложены на простые множители. Простые множители, входящие в разложения: 2, 3, 11, 13.

Для нахождения НОК возьмем каждый множитель с наибольшим показателем степени:

• для множителя 2 наибольший показатель степени – 4 (из разложения числа a), берем $2^4$;
• для множителя 3 наибольший показатель степени – 3 (из разложения числа b), берем $3^3$;
• множитель 11 встречается только в разложении числа a, его наибольшая степень равна 1 ($11^1$);
• множитель 13 встречается только в разложении числа b, его наибольшая степень равна 1 ($13^1$).

Перемножим полученные множители:

$НОК(a, b) = 2^4 \cdot 3^3 \cdot 11 \cdot 13 = 16 \cdot 27 \cdot 11 \cdot 13$.

Вычислим произведение:

$16 \cdot 27 = 432$

$11 \cdot 13 = 143$

$432 \cdot 143 = 61776$

Таким образом, $НОК(a, b) = 61776$.

Ответ: 61776

140. Найдите наименьшее общее кратное чисел:

1) $56$ и $70$;

2) $78$ и $792$;

3) $320$ и $720$;

4) $252$ и $840$.

1) 56 и 70;

Чтобы найти наименьшее общее кратное (НОК) чисел, разложим их на простые множители. Затем возьмем каждый простой множитель в наибольшей степени, в которой он встречается в разложениях, и перемножим эти степени.

Разложим число 56 на простые множители:
$56 = 8 \cdot 7 = 2^3 \cdot 7$.

Разложим число 70 на простые множители:
$70 = 10 \cdot 7 = 2 \cdot 5 \cdot 7$.

Простые множители, входящие в разложения, это 2, 5 и 7.
Наибольшая степень для множителя 2 – это $2^3$.
Наибольшая степень для множителя 5 – это $5^1$.
Наибольшая степень для множителя 7 – это $7^1$.

НОК(56, 70) = $2^3 \cdot 5^1 \cdot 7^1 = 8 \cdot 5 \cdot 7 = 280$.

Ответ: 280

2) 78 и 792;

Разложим числа 78 и 792 на простые множители.

Разложение числа 78:
$78 = 2 \cdot 39 = 2 \cdot 3 \cdot 13$.

Разложение числа 792:
$792 = 8 \cdot 99 = 8 \cdot 9 \cdot 11 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 11$.

Простые множители, входящие в разложения, это 2, 3, 11 и 13.
Наибольшая степень для множителя 2 – это $2^3$.
Наибольшая степень для множителя 3 – это $3^2$.
Наибольшая степень для множителя 11 – это $11^1$.
Наибольшая степень для множителя 13 – это $13^1$.

НОК(78, 792) = $2^3 \cdot 3^2 \cdot 11 \cdot 13 = 8 \cdot 9 \cdot 11 \cdot 13 = 72 \cdot 143 = 10296$.

Ответ: 10296

3) 320 и 720;

Разложим числа 320 и 720 на простые множители.

Разложение числа 320:
$320 = 32 \cdot 10 = 2^5 \cdot (2 \cdot 5) = 2^6 \cdot 5$.

Разложение числа 720:
$720 = 72 \cdot 10 = (8 \cdot 9) \cdot (2 \cdot 5) = (2^3 \cdot 3^2) \cdot (2 \cdot 5) = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5$.

Простые множители, входящие в разложения, это 2, 3 и 5.
Наибольшая степень для множителя 2 – это $2^6$.
Наибольшая степень для множителя 3 – это $3^2$.
Наибольшая степень для множителя 5 – это $5^1$.

НОК(320, 720) = $2^6 \cdot 3^2 \cdot 5 = 64 \cdot 9 \cdot 5 = 576 \cdot 5 = 2880$.

Ответ: 2880

4) 252 и 840;

Разложим числа 252 и 840 на простые множители.

Разложение числа 252:
$252 = 4 \cdot 63 = 4 \cdot 9 \cdot 7 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 7$.

Разложение числа 840:
$840 = 84 \cdot 10 = (4 \cdot 21) \cdot (2 \cdot 5) = (2^2 \cdot 3 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 5) = 2^3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$.

Простые множители, входящие в разложения, это 2, 3, 5 и 7.
Наибольшая степень для множителя 2 – это $2^3$.
Наибольшая степень для множителя 3 – это $3^2$.
Наибольшая степень для множителя 5 – это $5^1$.
Наибольшая степень для множителя 7 – это $7^1$.

НОК(252, 840) = $2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7 = 8 \cdot 9 \cdot 5 \cdot 7 = 72 \cdot 35 = 2520$.

Ответ: 2520

141. Найдите наименьшее общее кратное чисел:

1) $42$ и $63$;

2) $120$ и $324$;

3) $675$ и $945$;

4) $924$ и $396$.

1) 42 и 63;
Чтобы найти наименьшее общее кратное (НОК), разложим числа на простые множители.
Разложение числа 42:
$42 = 2 \cdot 3 \cdot 7$
Разложение числа 63:
$63 = 3 \cdot 21 = 3^2 \cdot 7$
НОК является произведением всех простых множителей, входящих в разложения, взятых с наибольшим показателем степени. В данном случае это $2^1$, $3^2$ и $7^1$.
$НОК(42, 63) = 2^1 \cdot 3^2 \cdot 7^1 = 2 \cdot 9 \cdot 7 = 126$
Ответ: 126

2) 120 и 324;
Разложим числа на простые множители:
$120 = 10 \cdot 12 = (2 \cdot 5) \cdot (2^2 \cdot 3) = 2^3 \cdot 3 \cdot 5$
$324 = 4 \cdot 81 = 2^2 \cdot 3^4$
НОК является произведением всех простых множителей ($2, 3, 5$), взятых с наибольшим показателем степени ($2^3, 3^4, 5^1$).
$НОК(120, 324) = 2^3 \cdot 3^4 \cdot 5^1 = 8 \cdot 81 \cdot 5 = 3240$
Ответ: 3240

3) 675 и 945;
Разложим числа на простые множители:
$675 = 25 \cdot 27 = 5^2 \cdot 3^3$
$945 = 5 \cdot 189 = 5 \cdot 9 \cdot 21 = 5 \cdot 3^2 \cdot 3 \cdot 7 = 3^3 \cdot 5 \cdot 7$
НОК является произведением всех простых множителей ($3, 5, 7$), взятых с наибольшим показателем степени ($3^3, 5^2, 7^1$).
$НОК(675, 945) = 3^3 \cdot 5^2 \cdot 7^1 = 27 \cdot 25 \cdot 7 = 4725$
Ответ: 4725

4) 924 и 396.
Разложим числа на простые множители:
$924 = 4 \cdot 231 = 2^2 \cdot 3 \cdot 77 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 11$
$396 = 4 \cdot 99 = 2^2 \cdot 9 \cdot 11 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 11$
НОК является произведением всех простых множителей ($2, 3, 7, 11$), взятых с наибольшим показателем степени ($2^2, 3^2, 7^1, 11^1$).
$НОК(924, 396) = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 7 \cdot 11 = 4 \cdot 9 \cdot 7 \cdot 11 = 36 \cdot 77 = 2772$
Ответ: 2772