Номер 139, страница 25 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 3. Делимость натуральных чисел. Глава 1. Натуральные числа - номер 139, страница 25.

Условие.

139. Найдите наименьшее общее кратное чисел a и b:

1) $a=2^3 \cdot 3 \cdot 5$ и $b=3 \cdot 5 \cdot 7;$

2) $a=2^4 \cdot 3 \cdot 11$ и $b=2^2 \cdot 3^3 \cdot 13.$

Решение.

Решение 2.

Чтобы найти наименьшее общее кратное (НОК) чисел, разложенных на простые множители, необходимо выписать все простые множители, которые встречаются в разложении хотя бы одного из чисел, и взять каждый из них с наибольшим показателем степени. Затем все эти множители нужно перемножить.

1) $a = 2^3 \cdot 3 \cdot 5$ и $b = 3 \cdot 5 \cdot 7$

Данные числа разложены на простые множители. Простые множители, входящие в разложения: 2, 3, 5, 7.

Для нахождения НОК возьмем каждый множитель с наибольшим показателем степени:

• множитель 2 встречается только в разложении числа a, его наибольшая степень равна 3 ($2^3$);
• множитель 3 встречается в обоих разложениях в первой степени, поэтому берем $3^1$;
• множитель 5 встречается в обоих разложениях в первой степени, поэтому берем $5^1$;
• множитель 7 встречается только в разложении числа b, его наибольшая степень равна 1 ($7^1$).

Перемножим полученные множители:

$НОК(a, b) = 2^3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 8 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 24 \cdot 35 = 840$.

Ответ: 840

2) $a = 2^4 \cdot 3 \cdot 11$ и $b = 2^2 \cdot 3^3 \cdot 13$

Данные числа разложены на простые множители. Простые множители, входящие в разложения: 2, 3, 11, 13.

Для нахождения НОК возьмем каждый множитель с наибольшим показателем степени:

• для множителя 2 наибольший показатель степени – 4 (из разложения числа a), берем $2^4$;
• для множителя 3 наибольший показатель степени – 3 (из разложения числа b), берем $3^3$;
• множитель 11 встречается только в разложении числа a, его наибольшая степень равна 1 ($11^1$);
• множитель 13 встречается только в разложении числа b, его наибольшая степень равна 1 ($13^1$).

Перемножим полученные множители:

$НОК(a, b) = 2^4 \cdot 3^3 \cdot 11 \cdot 13 = 16 \cdot 27 \cdot 11 \cdot 13$.

Вычислим произведение:

$16 \cdot 27 = 432$

$11 \cdot 13 = 143$

$432 \cdot 143 = 61776$

Таким образом, $НОК(a, b) = 61776$.

Ответ: 61776