Номер 135, страница 25 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 3. Делимость натуральных чисел. Глава 1. Натуральные числа - номер 135, страница 25.

Условие.

135. Найдите наибольший общий делитель чисел:

1) 72 и 120;

2) 792 и 1188;

3) 924 и 396;

4) 116 и 111.

Решение.

Решение 2.

1) 72 и 120

Для нахождения наибольшего общего делителя (НОД) чисел, разложим их на простые множители.

Разложение числа 72 на простые множители:
$72 = 2 \cdot 36 = 2 \cdot 2 \cdot 18 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 9 = 2^3 \cdot 3^2$.

Разложение числа 120 на простые множители:
$120 = 2 \cdot 60 = 2 \cdot 2 \cdot 30 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 15 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5$.

Для нахождения НОД, необходимо перемножить общие простые множители, взяв каждый с наименьшим показателем степени. Общими множителями являются $2$ и $3$. Наименьшая степень для $2$ — это $3$ ($2^3$), для $3$ — это $1$ ($3^1$).

НОД(72, 120) = $2^3 \cdot 3^1 = 8 \cdot 3 = 24$.

Ответ: 24

2) 792 и 1188

Разложим числа 792 и 1188 на простые множители.

Разложение числа 792:
$792 = 2 \cdot 396 = 2^2 \cdot 198 = 2^3 \cdot 99 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 11$.

Разложение числа 1188:
$1188 = 2 \cdot 594 = 2^2 \cdot 297 = 2^2 \cdot 3 \cdot 99 = 2^2 \cdot 3 \cdot 3^2 \cdot 11 = 2^2 \cdot 3^3 \cdot 11$.

Общие простые множители: $2$, $3$ и $11$. Берем их с наименьшими показателями степеней: $2^2$, $3^2$, $11^1$.

НОД(792, 1188) = $2^2 \cdot 3^2 \cdot 11 = 4 \cdot 9 \cdot 11 = 36 \cdot 11 = 396$.

Ответ: 396

3) 924 и 396

Разложим числа 924 и 396 на простые множители.

Разложение числа 924:
$924 = 2 \cdot 462 = 2^2 \cdot 231 = 2^2 \cdot 3 \cdot 77 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 11$.

Разложение числа 396:
$396 = 2 \cdot 198 = 2^2 \cdot 99 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 11$.

Общие простые множители: $2$, $3$ и $11$. Берем их с наименьшими показателями степеней: $2^2$, $3^1$, $11^1$.

НОД(924, 396) = $2^2 \cdot 3 \cdot 11 = 4 \cdot 3 \cdot 11 = 12 \cdot 11 = 132$.

Ответ: 132

4) 116 и 111

Разложим числа 116 и 111 на простые множители.

Разложение числа 116:
$116 = 2 \cdot 58 = 2^2 \cdot 29$.

Разложение числа 111:
$111 = 3 \cdot 37$.

Разложения чисел 116 и 111 на простые множители не содержат общих множителей. Такие числа называются взаимно простыми. Их наибольший общий делитель равен 1.

НОД(116, 111) = 1.

Ответ: 1