Номер 136, страница 25 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 3. Делимость натуральных чисел. Глава 1. Натуральные числа - номер 136, страница 25.

Условие.

136. Найдите наибольший общий делитель чисел:

1) 42 и 105;

2) 588 и 252;

3) 680 и 612.

Решение.

Решение 2.

1) 42 и 105;

Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) двух чисел, нужно разложить их на простые множители, найти общие множители и перемножить их.

Разложим число 42 на простые множители:

$42 = 2 \cdot 21 = 2 \cdot 3 \cdot 7$

Разложим число 105 на простые множители:

$105 = 5 \cdot 21 = 3 \cdot 5 \cdot 7$

Общими множителями в разложениях чисел 42 и 105 являются 3 и 7.

Найдем их произведение:

НОД(42, 105) = $3 \cdot 7 = 21$

Ответ: 21

2) 588 и 252;

Разложим оба числа на простые множители.

Разложение числа 588:

$588 = 2 \cdot 294 = 2 \cdot 2 \cdot 147 = 2^2 \cdot 3 \cdot 49 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7^2$

Разложение числа 252:

$252 = 2 \cdot 126 = 2 \cdot 2 \cdot 63 = 2^2 \cdot 3 \cdot 21 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 7$

Чтобы найти НОД, выберем общие простые множители в наименьшей степени, в которой они входят в оба разложения, и перемножим их.

Общие множители: 2, 3 и 7.

Наименьшая степень для 2: $2^2$.

Наименьшая степень для 3: $3^1$.

Наименьшая степень для 7: $7^1$.

НОД(588, 252) = $2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 4 \cdot 3 \cdot 7 = 84$

Ответ: 84

3) 680 и 612.

Разложим числа 680 и 612 на простые множители.

Разложение числа 680:

$680 = 10 \cdot 68 = (2 \cdot 5) \cdot (4 \cdot 17) = 2 \cdot 5 \cdot 2^2 \cdot 17 = 2^3 \cdot 5 \cdot 17$

Разложение числа 612:

$612 = 2 \cdot 306 = 2 \cdot 2 \cdot 153 = 2^2 \cdot 3 \cdot 51 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 17$

Найдем общие простые множители в наименьших степенях.

Общие множители: 2 и 17.

Наименьшая степень для 2: $2^2$.

Наименьшая степень для 17: $17^1$.

Перемножим их:

НОД(680, 612) = $2^2 \cdot 17 = 4 \cdot 17 = 68$

Ответ: 68