Номер 134, страница 25 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 3. Делимость натуральных чисел. Глава 1. Натуральные числа - номер 134, страница 25.

Условие.

134. Найдите наибольший общий делитель чисел a и b:

1) $a = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 19$ и $b = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13$;

2) $a = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 7^3 \cdot 11^2 \cdot 19$ и $b = 2^2 \cdot 3^5 \cdot 11^2 \cdot 19^3$.

Решение.

Решение 2.

Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) двух чисел, разложенных на простые множители, нужно выписать все общие простые множители этих чисел и взять каждый из них с наименьшим показателем степени, с которым он входит в оба разложения. Затем эти множители нужно перемножить.

1) Даны числа $a = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 19$ и $b = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13$.

Представим разложения чисел в каноническом виде, используя степени:
$a = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^1 \cdot 7^1 \cdot 19^1$
$b = 2^1 \cdot 3^2 \cdot 7^1 \cdot 11^1 \cdot 13^1$

Общими простыми множителями для чисел $a$ и $b$ являются 2, 3 и 7.

Выберем для каждого общего множителя наименьшую степень из двух разложений:

• Для множителя 2 наименьшая степень — 1 (из разложения числа $b$).
• Для множителя 3 наименьшая степень — 1 (из разложения числа $a$).
• Для множителя 7 наименьшая степень — 1 (одинакова в обоих разложениях).

Теперь найдем произведение этих множителей в выбранных степенях:
НОД($a, b$) = $2^1 \cdot 3^1 \cdot 7^1 = 2 \cdot 3 \cdot 7 = 42$.

Ответ: 42.

2) Даны числа $a = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 7^3 \cdot 11^2 \cdot 19$ и $b = 2^2 \cdot 3^5 \cdot 11^2 \cdot 19^3$.

Общими простыми множителями для чисел $a$ и $b$ являются 2, 3, 11 и 19. (Обратите внимание, что $19 = 19^1$).

Выберем для каждого общего множителя наименьшую степень из двух разложений:

• Для множителя 2 наименьшая степень — 2 (из разложения числа $b$).
• Для множителя 3 наименьшая степень — 2 (из разложения числа $a$).
• Для множителя 11 наименьшая степень — 2 (одинакова в обоих разложениях).
• Для множителя 19 наименьшая степень — 1 (из разложения числа $a$).

Теперь найдем произведение этих множителей в выбранных степенях:
НОД($a, b$) = $2^2 \cdot 3^2 \cdot 11^2 \cdot 19^1 = 4 \cdot 9 \cdot 121 \cdot 19 = 36 \cdot 121 \cdot 19 = 4356 \cdot 19 = 82764$.

Ответ: 82764.