Номер 131, страница 25 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 3. Делимость натуральных чисел. Глава 1. Натуральные числа - номер 131, страница 25.

Условие.

131. Найдите наибольший общий делитель чисел:

1) 18 и 27;

2) 22 и 33;

3) 36 и 48;

4) 45 и 49;

5) 15 и 60;

6) 9, 15 и 18.

Решение.

Решение 2.

1) Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) для чисел 18 и 27, разложим их на простые множители.
Разложение числа 18 на простые множители: $18 = 2 \cdot 9 = 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2 \cdot 3^2$.
Разложение числа 27 на простые множители: $27 = 3 \cdot 9 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^3$.
Теперь найдем общие множители в разложениях этих чисел. Общими множителями являются $3 \cdot 3$.
Произведение общих множителей: $3 \cdot 3 = 9$.
Следовательно, НОД(18, 27) = 9.
Ответ: 9

2) Найдем НОД для чисел 22 и 33. Разложим их на простые множители.
Разложение числа 22: $22 = 2 \cdot 11$.
Разложение числа 33: $33 = 3 \cdot 11$.
Общий простой множитель для этих чисел — 11.
Следовательно, НОД(22, 33) = 11.
Ответ: 11

3) Найдем НОД для чисел 36 и 48. Разложим их на простые множители.
Разложение числа 36: $36 = 2 \cdot 18 = 2 \cdot 2 \cdot 9 = 2^2 \cdot 3^2$.
Разложение числа 48: $48 = 2 \cdot 24 = 2 \cdot 2 \cdot 12 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 6 = 2^4 \cdot 3$.
Общие множители в разложениях: $2 \cdot 2 \cdot 3$.
Произведение общих множителей: $2 \cdot 2 \cdot 3 = 12$.
Следовательно, НОД(36, 48) = 12.
Ответ: 12

4) Найдем НОД для чисел 45 и 49. Разложим их на простые множители.
Разложение числа 45: $45 = 5 \cdot 9 = 3^2 \cdot 5$.
Разложение числа 49: $49 = 7 \cdot 7 = 7^2$.
У этих чисел нет общих простых множителей. Единственный общий делитель для таких чисел — это 1. Такие числа называются взаимно простыми.
Следовательно, НОД(45, 49) = 1.
Ответ: 1

5) Найдем НОД для чисел 15 и 60.
Можно заметить, что число 60 делится на 15 без остатка: $60 \div 15 = 4$.
Если одно натуральное число делится на другое, то их наибольший общий делитель равен меньшему из этих чисел.
Следовательно, НОД(15, 60) = 15.
Также это можно проверить разложением на множители:
$15 = 3 \cdot 5$.
$60 = 2 \cdot 30 = 2 \cdot 2 \cdot 15 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$.
Общие множители: $3 \cdot 5 = 15$.
Ответ: 15

6) Найдем НОД для чисел 9, 15 и 18. Разложим каждое число на простые множители.
Разложение числа 9: $9 = 3 \cdot 3 = 3^2$.
Разложение числа 15: $15 = 3 \cdot 5$.
Разложение числа 18: $18 = 2 \cdot 9 = 2 \cdot 3^2$.
Общий простой множитель для всех трех чисел — это 3.
Следовательно, НОД(9, 15, 18) = 3.
Ответ: 3