Номер 130, страница 25 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 3. Делимость натуральных чисел. Глава 1. Натуральные числа - номер 130, страница 25.

Условие.

130. Назовите наибольший общий делитель чисел:

1) $12$ и $16$;

2) $25$ и $35$;

3) $7$ и $28$;

4) $20$ и $30$;

5) $33$ и $40$;

6) $8$, $20$ и $36$.

Решение.

Решение 2.

1) 12 и 16:
Наибольший общий делитель (НОД) — это самое большое натуральное число, на которое без остатка делятся оба заданных числа. Найдем НОД для 12 и 16.
Способ 1: Разложение на простые множители.
Разложим каждое число на простые множители:
$12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$
$16 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^4$
Находим общие простые множители и берем их в наименьшей степени. Общий множитель — 2, наименьшая степень — 2.
НОД(12, 16) = $2^2 = 4$.
Способ 2: Перечисление делителей.
Выпишем все делители для каждого числа:
Делители 12: {1, 2, 3, 4, 6, 12}
Делители 16: {1, 2, 4, 8, 16}
Общими делителями являются числа 1, 2, 4. Наибольший из них — 4.
Ответ: 4

2) 25 и 35:
Найдем НОД для 25 и 35.
Способ 1: Разложение на простые множители.
$25 = 5 \cdot 5 = 5^2$
$35 = 5 \cdot 7$
Общий простой множитель — 5. Его наименьшая степень — 1.
НОД(25, 35) = $5^1 = 5$.
Способ 2: Перечисление делителей.
Делители 25: {1, 5, 25}
Делители 35: {1, 5, 7, 35}
Наибольший общий делитель — 5.
Ответ: 5

3) 7 и 28:
Найдем НОД для 7 и 28.
Число 7 является простым. Проверим, делится ли 28 на 7.
$28 \div 7 = 4$.
Так как 28 делится на 7 без остатка, то 7 является их наибольшим общим делителем.
НОД(7, 28) = 7.
Проверка перечислением делителей:
Делители 7: {1, 7}
Делители 28: {1, 2, 4, 7, 14, 28}
Наибольший общий делитель — 7.
Ответ: 7

4) 20 и 30:
Найдем НОД для 20 и 30.
Способ 1: Разложение на простые множители.
$20 = 2 \cdot 2 \cdot 5 = 2^2 \cdot 5$
$30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$
Общие простые множители — 2 и 5. Берем их в наименьших степенях: $2^1$ и $5^1$.
НОД(20, 30) = $2 \cdot 5 = 10$.
Способ 2: Перечисление делителей.
Делители 20: {1, 2, 4, 5, 10, 20}
Делители 30: {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}
Наибольший общий делитель — 10.
Ответ: 10

5) 33 и 40:
Найдем НОД для 33 и 40.
Разложение на простые множители:
$33 = 3 \cdot 11$
$40 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 = 2^3 \cdot 5$
У чисел 33 и 40 нет общих простых множителей. Такие числа называются взаимно простыми, и их наибольший общий делитель всегда равен 1.
НОД(33, 40) = 1.
Проверка перечислением делителей:
Делители 33: {1, 3, 11, 33}
Делители 40: {1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40}
Единственный общий делитель — 1.
Ответ: 1

6) 8, 20 и 36:
Найдем НОД для чисел 8, 20 и 36.
Способ 1: Разложение на простые множители.
$8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3$
$20 = 2 \cdot 2 \cdot 5 = 2^2 \cdot 5$
$36 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3^2$
Общий простой множитель для всех трех чисел — 2. Наименьшая степень, в которой он встречается, — 2.
НОД(8, 20, 36) = $2^2 = 4$.
Способ 2: Перечисление делителей.
Делители 8: {1, 2, 4, 8}
Делители 20: {1, 2, 4, 5, 10, 20}
Делители 36: {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}
Общими делителями для всех трех чисел являются 1, 2, 4. Наибольший из них — 4.
Ответ: 4