Страница 23 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Какое наибольшее и какое наименьшее число можно получить, если переставить цифры числа:

1) 251 974;

2) 12 340 005?

Для того чтобы найти наибольшее и наименьшее число, которое можно составить из цифр заданного числа, необходимо следовать определённым правилам.

• Наибольшее число получается, если расположить все цифры исходного числа в порядке убывания, от самой большой к самой маленькой, слева направо.
• Наименьшее число получается, если расположить все цифры в порядке возрастания, от самой маленькой к самой большой. Существует важное исключение: если среди цифр есть ноль, то он не может стоять на первом месте (число не может начинаться с нуля). В таком случае на первое место ставится наименьшая из цифр, не равная нулю, а сразу за ней — все нули. Остальные цифры располагаются далее по возрастанию.

1) 251 974;

Исходное число состоит из цифр: $2, 5, 1, 9, 7, 4$.

Нахождение наибольшего числа:

Расположим эти цифры в порядке убывания: $9, 7, 5, 4, 2, 1$.

Составив из них число, получим $975 421$.

Нахождение наименьшего числа:

Расположим эти цифры в порядке возрастания: $1, 2, 4, 5, 7, 9$.

Составив из них число, получим $124 579$.

Ответ: наибольшее число - $975 421$, наименьшее число - $124 579$.

2) 12 340 005?

Исходное число состоит из цифр: $1, 2, 3, 4, 0, 0, 0, 5$. Всего 8 цифр.

Нахождение наибольшего числа:

Расположим эти цифры в порядке убывания: $5, 4, 3, 2, 1, 0, 0, 0$.

Составив из них число, получим $54 321 000$.

Нахождение наименьшего числа:

Расположим эти цифры в порядке возрастания: $0, 0, 0, 1, 2, 3, 4, 5$.

Так как число не может начинаться с нуля, на первое место ставим наименьшую цифру, отличную от нуля. В данном случае это $1$.

Оставшиеся цифры ($0, 0, 0, 2, 3, 4, 5$) располагаем после единицы в порядке возрастания. Сначала идут три нуля, а затем остальные цифры.

Составив из них число, получим $10 002 345$.

Ответ: наибольшее число - $54 321 000$, наименьшее число - $10 002 345$.

2. Какое число задумала Лиза, если известно, что оно больше 4998, но меньше 5004 и оканчивается цифрой 2?

Обозначим искомое число как $x$. Согласно условию, это число больше 4998, но меньше 5004. Запишем это в виде двойного неравенства:
$4998 < x < 5004$

Целыми числами, которые удовлетворяют этому неравенству, являются: 4999, 5000, 5001, 5002, 5003.

Второе условие гласит, что число должно оканчиваться на цифру 2. Из нашего списка чисел этому условию удовлетворяет только одно число.
Рассмотрим последнее цифры каждого числа из списка:
- 4999 оканчивается на 9.
- 5000 оканчивается на 0.
- 5001 оканчивается на 1.
- 5002 оканчивается на 2.
- 5003 оканчивается на 3.

Следовательно, Лиза задумала число 5002.

Ответ: 5002

3. Какое число:

1) на $206$ меньше, чем $360$;

2) на $350$ меньше, чем $705$;

3) в $2$ раза больше, чем $27$;

4) в $5$ раз меньше, чем $205$?

1) Чтобы найти число, которое на 206 меньше, чем 360, необходимо выполнить вычитание:
$360 - 206 = 154$
Ответ: 154

2) Чтобы найти число, которое на 350 меньше, чем 705, необходимо выполнить вычитание:
$705 - 350 = 355$
Ответ: 355

3) Чтобы найти число, которое в 2 раза больше, чем 27, необходимо выполнить умножение:
$27 \times 2 = 54$
Ответ: 54

4) Чтобы найти число, которое в 5 раз меньше, чем 205, необходимо выполнить деление:
$205 \div 5 = 41$
Ответ: 41

4. Дима сложил числа 8736 и 6491 и получил ответ 25 227. Когда Катя увидела этот ответ, она сразу сказала, что Дима ошибся. Как она это определила?

Катя смогла быстро определить, что ответ неверный, сделав приблизительную оценку результата (прикидку). Ей не нужно было считать точную сумму, чтобы увидеть ошибку.

Вот как она могла рассуждать:

Первое число, 8736, меньше чем 9000.

Второе число, 6491, меньше чем 7000.

Следовательно, их сумма должна быть меньше, чем сумма $9000 + 7000$.

$9000 + 7000 = 16000$

Таким образом, результат сложения чисел 8736 и 6491 должен быть меньше 16 000. Ответ, который получил Дима, — 25 227, что значительно больше 16 000. Это явное несоответствие и указывает на грубую ошибку в вычислениях.

Для проверки можно найти точную сумму:

$8736 + 6491 = 15227$

Правильный ответ (15 227) действительно меньше 16 000, что подтверждает верность рассуждений Кати.

Ответ: Катя определила ошибку с помощью прикидки. Она поняла, что сумма числа, которое меньше 9000, и числа, которое меньше 7000, не может быть такой большой, как 25 227, так как она должна быть меньше 16 000.

5. Известно, что $26\ 923 + 19\ 158 = 46\ 081$. Чему равен корень уравнения:

1) $19\ 158 + x = 46\ 081;$

2) $46\ 081 - x = 26\ 923;$

3) $x - 26\ 923 = 19\ 158?$

Для решения этих уравнений воспользуемся данным в условии равенством: $26923 + 19158 = 46081$. Это равенство связывает три числа, которые в разных уравнениях выступают в роли слагаемых, суммы, уменьшаемого, вычитаемого и разности.

1) $19158 + x = 46081$

В этом уравнении $x$ является неизвестным слагаемым. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы ($46081$) вычесть известное слагаемое ($19158$).

$x = 46081 - 19158$

Из исходного равенства $26923 + 19158 = 46081$ следует, что $46081 - 19158 = 26923$.

Значит, $x = 26923$.

Ответ: $26923$.

2) $46081 - x = 26923$

В этом уравнении $x$ является неизвестным вычитаемым. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого ($46081$) вычесть разность ($26923$).

$x = 46081 - 26923$

Из исходного равенства $26923 + 19158 = 46081$ следует, что $46081 - 26923 = 19158$.

Значит, $x = 19158$.

Ответ: $19158$.

3) $x - 26923 = 19158$

В этом уравнении $x$ является неизвестным уменьшаемым. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности ($19158$) прибавить вычитаемое ($26923$).

$x = 19158 + 26923$

Исходное равенство как раз и представляет собой эту сумму: $26923 + 19158 = 46081$.

Значит, $x = 46081$.

Ответ: $46081$.

6. Известно, что $328 \cdot 407 = 133496$. Чему равен корень уравнения:

1) $407x = 133496$;

2) $133496 : x = 328$;

3) $x : 328 = 407?$

1) В уравнении $407x = 133 496$ переменная $x$ является неизвестным множителем. Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение ($133 496$) разделить на известный множитель ($407$).
$x = 133 496 : 407$
Из начального условия $328 \cdot 407 = 133 496$ следует, что результатом деления $133 496$ на $407$ будет $328$.
Следовательно, $x = 328$.
Ответ: $328$.

2) В уравнении $133 496 : x = 328$ переменная $x$ является неизвестным делителем. Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое ($133 496$) разделить на частное ($328$).
$x = 133 496 : 328$
Из начального условия $328 \cdot 407 = 133 496$ следует, что результатом деления $133 496$ на $328$ будет $407$.
Следовательно, $x = 407$.
Ответ: $407$.

3) В уравнении $x : 328 = 407$ переменная $x$ является неизвестным делимым. Чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное ($407$) умножить на делитель ($328$).
$x = 407 \cdot 328$
В условии задачи уже дан результат этого действия: $328 \cdot 407 = 133 496$.
Следовательно, $x = 133 496$.
Ответ: $133 496$.