Страница 26 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

142. Маша купила тетради по цене 40 р., а Катя — по 50 р., причём каждая девочка потратила одну и ту же сумму денег. Какая может быть наименьшая стоимость покупки, совершённой каждой девочкой?

Пусть $S$ — это сумма денег, которую потратила каждая девочка. Маша покупала тетради по 40 рублей, значит, общая стоимость её покупки должна быть кратна 40. Это можно записать как $S = 40 \cdot m$, где $m$ — количество тетрадей, купленных Машей.

Катя покупала тетради по 50 рублей, значит, общая стоимость её покупки должна быть кратна 50. Это можно записать как $S = 50 \cdot k$, где $k$ — количество тетрадей, купленных Катей.

Поскольку обе девочки потратили одну и ту же сумму денег, нам нужно найти такое число $S$, которое одновременно делится и на 40, и на 50. В задаче спрашивается о наименьшей возможной стоимости, следовательно, нам нужно найти наименьшее общее кратное (НОК) чисел 40 и 50.

Для нахождения НОК разложим числа 40 и 50 на простые множители:

$40 = 4 \cdot 10 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 = 2^3 \cdot 5$

$50 = 5 \cdot 10 = 2 \cdot 5 \cdot 5 = 2 \cdot 5^2$

Теперь возьмем каждый простой множитель в наибольшей степени, в которой он встречается в разложениях, и перемножим их:

$НОК(40, 50) = 2^3 \cdot 5^2 = 8 \cdot 25 = 200$

Таким образом, наименьшая сумма, которую могла потратить каждая девочка, составляет 200 рублей. При этой сумме Маша купила бы $200 / 40 = 5$ тетрадей, а Катя — $200 / 50 = 4$ тетради.

Ответ: 200 р.

143. Во время первой экскурсии группу туристов рассадили в микроавтобусы по 16 человек, а во время второй – по 24 человека. Какое наименьшее количество туристов могло быть в группе?

Чтобы найти наименьшее возможное количество туристов в группе, нужно найти наименьшее общее кратное (НОК) чисел 16 и 24, так как общее количество туристов должно делиться без остатка и на 16, и на 24.

Для нахождения НОК разложим числа 16 и 24 на простые множители:

$16 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^4$

$24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3$

Теперь найдем их наименьшее общее кратное. Для этого нужно взять каждый простой множитель в наибольшей степени, в которой он встречается в разложениях, и перемножить их.

В разложениях встречаются множители 2 и 3. Наибольшая степень для 2 — это 4 ($2^4$), а для 3 — это 1 ($3^1$).

$НОК(16, 24) = 2^4 \cdot 3^1 = 16 \cdot 3 = 48$

Следовательно, наименьшее количество туристов, которое могло быть в группе, составляет 48 человек.

Ответ: 48.

144. Выполните деление с остатком:

1) $43 : 5;$

2) $58 : 6;$

3) $324 : 15;$

4) $5721 : 28.$

1) Чтобы разделить 43 на 5 с остатком, необходимо найти наибольшее число, которое меньше или равно 43 и делится на 5 без остатка. Это число 40.
Находим неполное частное: $40 : 5 = 8$.
Находим остаток: $43 - 40 = 3$.
Остаток (3) меньше делителя (5), следовательно, деление выполнено верно.
Таким образом, $43 : 5 = 8$ (ост. 3).
Проверка: $5 \cdot 8 + 3 = 40 + 3 = 43$.
Ответ: 8 (ост. 3).

2) Чтобы разделить 58 на 6 с остатком, найдем наибольшее число, которое меньше или равно 58 и делится на 6. Это число 54.
Находим неполное частное: $54 : 6 = 9$.
Находим остаток: $58 - 54 = 4$.
Остаток (4) меньше делителя (6).
Таким образом, $58 : 6 = 9$ (ост. 4).
Проверка: $6 \cdot 9 + 4 = 54 + 4 = 58$.
Ответ: 9 (ост. 4).

3) Выполним деление 324 на 15.
1. Делим 32 на 15. Получаем 2. Это первая цифра частного. $15 \cdot 2 = 30$.
2. Находим остаток: $32 - 30 = 2$.
3. Сносим следующую цифру (4), получаем 24.
4. Делим 24 на 15. Получаем 1. Это вторая цифра частного. $15 \cdot 1 = 15$.
5. Находим остаток: $24 - 15 = 9$.
Неполное частное равно 21, остаток 9. Остаток (9) меньше делителя (15).
Таким образом, $324 : 15 = 21$ (ост. 9).
Проверка: $15 \cdot 21 + 9 = 315 + 9 = 324$.
Ответ: 21 (ост. 9).

4) Выполним деление 5721 на 28.
1. Делим 57 на 28. Получаем 2. Это первая цифра частного. $28 \cdot 2 = 56$.
2. Находим остаток: $57 - 56 = 1$.
3. Сносим следующую цифру (2), получаем 12.
4. Делим 12 на 28. Так как 12 меньше 28, получаем 0. Это вторая цифра частного.
5. Сносим следующую цифру (1), получаем 121.
6. Делим 121 на 28. Получаем 4. Это третья цифра частного. $28 \cdot 4 = 112$.
7. Находим остаток: $121 - 112 = 9$.
Неполное частное равно 204, остаток 9. Остаток (9) меньше делителя (28).
Таким образом, $5721 : 28 = 204$ (ост. 9).
Проверка: $28 \cdot 204 + 9 = 5712 + 9 = 5721$.
Ответ: 204 (ост. 9).

145. Выполните деление с остатком:

1) $68 : 9$;

2) $173 : 12$;

3) $456 : 30$;

4) $3196 : 74$.

1) Чтобы выполнить деление 68 на 9 с остатком, нужно найти наибольшее число, которое меньше или равно 68 и делится на 9 без остатка. Это число 63, так как $9 \times 7 = 63$.

Неполное частное равно 7.

Чтобы найти остаток, вычтем из делимого произведение делителя и неполного частного: $68 - 63 = 5$.

Остаток 5 меньше делителя 9, значит деление выполнено верно.

Проверка: $9 \times 7 + 5 = 63 + 5 = 68$.

Ответ: 7 (ост. 5).

2) Выполним деление 173 на 12.

Первое неполное делимое — 17. Делим 17 на 12, получаем 1. Остаток от деления: $17 - 1 \times 12 = 5$.

Сносим следующую цифру 3 и получаем второе неполное делимое — 53. Делим 53 на 12. Ближайшее произведение, не превышающее 53, это $12 \times 4 = 48$. Значит, следующая цифра частного – 4.

Неполное частное равно 14. Находим остаток: $173 - 12 \times 14 = 173 - 168 = 5$.

Остаток 5 меньше делителя 12.

Проверка: $12 \times 14 + 5 = 168 + 5 = 173$.

Ответ: 14 (ост. 5).

3) Выполним деление 456 на 30.

Первое неполное делимое — 45. Делим 45 на 30, получаем 1. Остаток от деления: $45 - 1 \times 30 = 15$.

Сносим следующую цифру 6 и получаем второе неполное делимое — 156. Делим 156 на 30. Ближайшее произведение, не превышающее 156, это $30 \times 5 = 150$. Значит, следующая цифра частного – 5.

Неполное частное равно 15. Находим остаток: $456 - 30 \times 15 = 456 - 450 = 6$.

Остаток 6 меньше делителя 30.

Проверка: $30 \times 15 + 6 = 450 + 6 = 456$.

Ответ: 15 (ост. 6).

4) Выполним деление 3196 на 74.

Первое неполное делимое — 319. Делим 319 на 74. Подбираем частное: $74 \times 4 = 296$. Первая цифра частного – 4. Остаток от деления: $319 - 296 = 23$.

Сносим следующую цифру 6 и получаем второе неполное делимое — 236. Делим 236 на 74. Подбираем частное: $74 \times 3 = 222$. Вторая цифра частного – 3.

Неполное частное равно 43. Находим остаток: $236 - 222 = 14$.

Остаток 14 меньше делителя 74.

Проверка: $74 \times 43 + 14 = 3182 + 14 = 3196$.

Ответ: 43 (ост. 14).

146. Пачка печенья стоит 72 р. У Васи есть 300 р. Какое наибольшее количество пачек печенья он может купить? Сколько денег останется у Васи?

Какое наибольшее количество пачек печенья он может купить?

Чтобы найти наибольшее количество пачек печенья, которое можно купить на 300 рублей, если каждая стоит 72 рубля, нужно выполнить деление с остатком. Мы разделим общую сумму денег на цену одной пачки.

$300 \div 72$

Целая часть от этого деления покажет, сколько полных пачек печенья можно купить.

$300 = 4 \times 72 + 12$

Таким образом, Вася может купить 4 пачки печенья.

Ответ: 4.

Сколько денег останется у Васи?

Чтобы найти, сколько денег останется, нужно из первоначальной суммы вычесть стоимость покупки.

Сначала определим стоимость четырех пачек печенья:

$4 \times 72 = 288$ рублей.

Теперь вычтем эту стоимость из общей суммы денег у Васи:

$300 - 288 = 12$ рублей.

Эта сумма также является остатком от деления, которое мы выполняли в первом пункте.

Ответ: 12 рублей.

147. На изготовление одной детали расходуется 65 г металла. Какое наибольшее количество таких деталей можно изготовить, имея 1200 г металла?

Чтобы определить наибольшее количество деталей, которое можно изготовить, нужно разделить общее количество имеющегося металла на количество металла, необходимое для изготовления одной детали.

Дано:
Общее количество металла = 1200 г
Расход на одну деталь = 65 г

Выполним деление общего количества металла на расход на одну деталь:

$1200 \div 65$

Произведем деление с остатком:

$1200 \div 65 \approx 18.46$

Поскольку количество деталей может быть только целым числом, мы должны взять целую часть от результата деления. Это означает, что можно изготовить 18 полных деталей.

Проверим, сколько металла будет израсходовано на 18 деталей:

$18 \times 65 = 1170$ г

Найдем остаток металла:

$1200 - 1170 = 30$ г

Оставшихся 30 г металла недостаточно для изготовления еще одной детали, так как на нее требуется 65 г.

Следовательно, наибольшее количество деталей, которое можно изготовить, — 18.

Ответ: 18

148. Оля живёт в квартире номер 52 дома, в котором один подъезд. На каждом этаже этого дома по 6 квартир. На каком этаже живёт Оля?

Для того чтобы определить, на каком этаже живёт Оля, нужно разделить номер её квартиры на количество квартир на одном этаже. Так как в доме всего один подъезд, нумерация квартир сквозная.

Решение

• Номер квартиры Оли: 52.
• Количество квартир на каждом этаже: 6.

Чтобы найти номер этажа, выполним деление номера квартиры на количество квартир на этаже:

$52 \div 6$

При делении 52 на 6 получается 8 и остаток 4 ($52 = 6 \times 8 + 4$).

Это означает, что 8 этажей в доме полностью заняты квартирами с 1-й по 48-ю ($8 \times 6 = 48$). Так как есть остаток, квартира Оли с номером 52 находится на следующем этаже после восьмого.

Следовательно, Оля живёт на $8 + 1 = 9$-м этаже.

Проверим: на 9-м этаже находятся квартиры с номера $48 + 1 = 49$ по номер $48 + 6 = 54$. Номер 52 входит в этот диапазон.

Ответ: 9.

149. На один грузовик можно погрузить 3 т груза. Какое наименьшее количество грузовиков необходимо, чтобы перевезти 28 т, при условии, что каждый грузовик выполнит один рейс?

Чтобы определить наименьшее количество грузовиков, необходимое для перевозки всего груза, нужно разделить общую массу груза на грузоподъемность одного грузовика.

Общая масса груза составляет 28 тонн, а грузоподъемность одного грузовика — 3 тонны.

Выполним деление с остатком:

$28 \div 3 = 9$ (остаток 1)

Результат деления показывает, что 9 грузовиков будут полностью загружены, и они перевезут $9 \times 3 = 27$ тонн груза.

Однако останется еще $28 - 27 = 1$ тонна груза. Для перевозки этого остатка потребуется еще один грузовик, так как по условию каждый грузовик выполняет только один рейс.

Следовательно, общее количество необходимых грузовиков равно сумме полностью загруженных грузовиков и одного грузовика для остатка:

$9 + 1 = 10$

Таким образом, для перевозки 28 тонн груза потребуется 10 грузовиков.

Ответ: 10 грузовиков.

150. Найдите делимое, если делитель равен $12$, неполное частное – $7$, а остаток – $9$.

Чтобы найти делимое, нужно воспользоваться формулой деления с остатком, которая связывает делимое, делитель, неполное частное и остаток.

Формула выглядит так:

$Делимое = (Делитель \cdot Неполное\;частное) + Остаток$

Или в виде переменных:

$a = b \cdot q + r$

где $a$ – делимое, $b$ – делитель, $q$ – неполное частное, $r$ – остаток.

По условию задачи нам даны следующие значения:

Делитель ($b$) = 12

Неполное частное ($q$) = 7

Остаток ($r$) = 9

Теперь подставим эти значения в формулу и произведем вычисления:

$a = 12 \cdot 7 + 9$

1. Сначала выполним умножение:

$12 \cdot 7 = 84$

2. Затем к полученному результату прибавим остаток:

$84 + 9 = 93$

Таким образом, искомое делимое равно 93.

Ответ: 93.

151. Найдите делимое, если делитель равен 14, неполное частное – 6, а остаток – 11.

Чтобы найти делимое, необходимо воспользоваться формулой деления с остатком, которая связывает делимое, делитель, неполное частное и остаток:

$a = b \cdot q + r$

где:

• $a$ – делимое (то, что мы ищем)
• $b$ – делитель
• $q$ – неполное частное
• $r$ – остаток

Согласно условию задачи, нам даны следующие значения:

• Делитель ($b$) = 14
• Неполное частное ($q$) = 6
• Остаток ($r$) = 11

Теперь подставим эти значения в формулу, чтобы вычислить делимое ($a$):

$a = 14 \cdot 6 + 11$

Выполним вычисления по порядку действий. Сначала выполним умножение:

$14 \cdot 6 = 84$

Затем к полученному произведению прибавим остаток:

$84 + 11 = 95$

Таким образом, искомое делимое равно 95.

Ответ: 95

152. Запишите, используя каждую цифру от 0 до 9 только один раз:

1) наименьшее число, кратное 2;

2) наибольшее число, кратное 18.

1) наименьшее число, кратное 2;

Чтобы составить наименьшее возможное число, используя каждую цифру от 0 до 9 по одному разу, нужно расположить цифры в порядке возрастания. Однако число не может начинаться с нуля, поэтому на первое место ставим наименьшую ненулевую цифру — 1. Далее располагаем оставшиеся цифры в порядке возрастания: 0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Если бы не было дополнительных условий, наименьшее число было бы 1023456789.

По условию, число должно быть кратно 2, то есть оно должно быть чётным. Это означает, что его последняя цифра должна быть одной из следующих: 0, 2, 4, 6, 8.

Чтобы сохранить число как можно меньшим, нужно вносить изменения в младших разрядах (справа). Основа нашего числа — 10234567... Чтобы число оставалось минимальным, эта часть должна быть неизменной. У нас остались неиспользованными цифры 8 и 9. Из них нужно составить двузначное окончание так, чтобы число было чётным и наименьшим. Единственная чётная цифра из оставшихся — это 8, поэтому она должна стоять на последнем месте. Тогда цифра 9 будет стоять перед ней.

Таким образом, искомое число: 1023456798.

Ответ: 1023456798

2) наибольшее число, кратное 18.

Чтобы составить наибольшее возможное число, используя каждую цифру от 0 до 9 по одному разу, нужно расположить цифры в порядке убывания. Таким образом, мы получаем число 9876543210.

Теперь нужно проверить, кратно ли это число 18. Число кратно 18, если оно одновременно делится на 2 и на 9, так как $18 = 2 \times 9$ и числа 2 и 9 являются взаимно простыми.

1. Проверка делимости на 2. Число делится на 2, если его последняя цифра чётная. Число 9876543210 заканчивается на 0, а 0 — чётная цифра. Следовательно, число кратно 2.

2. Проверка делимости на 9. Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9. Найдем сумму всех используемых цифр: $0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45$.

Сумма цифр равна 45. Так как $45 : 9 = 5$, сумма цифр делится на 9. Это означает, что любое число, составленное из этих десяти цифр, будет кратно 9.

Поскольку число 9876543210 делится и на 2, и на 9, оно делится на 18. Так как это самое большое число, которое можно составить из данных цифр, оно и является искомым.

Ответ: 9876543210

153. Вместо звёздочки поставьте такую цифру, чтобы получилось число, кратное 3 (рассмотрите все возможные случаи):

1) $4671*$;

2) $4*5824$;

3) $86**8$.

Чтобы число было кратно 3, сумма его цифр должна быть кратна 3. Используем это правило для решения задачи.

1) 46 71*

Найдём сумму известных цифр в числе 46 71*:

$4 + 6 + 7 + 1 = 18$

Сумма 18 уже делится на 3. Чтобы полученное число было кратно 3, сумма всех цифр, включая неизвестную (обозначим её за $x$), также должна быть кратна 3. Сумма всех цифр равна $18 + x$. Так как 18 делится на 3, то и $x$ должен быть цифрой, которая делится на 3. Возможные варианты для $x$: 0, 3, 6, 9.

Ответ: 0, 3, 6, 9.

2) 4*5 824

Найдём сумму известных цифр в числе 4*5 824:

$4 + 5 + 8 + 2 + 4 = 23$

Сумма всех цифр равна $23 + x$, где $x$ - неизвестная цифра. Эта сумма должна быть кратна 3. Ближайшие к 23 числа, которые делятся на 3, это 24, 27 и 30. Чтобы получить эти суммы, $x$ должен быть равен $1$ (так как $23+1=24$), $4$ (так как $23+4=27$) или $7$ (так как $23+7=30$).

Ответ: 1, 4, 7.

3) 86*8

Найдём сумму известных цифр в числе 86*8:

$8 + 6 + 8 = 22$

Сумма всех цифр равна $22 + x$, где $x$ - неизвестная цифра. Эта сумма должна быть кратна 3. Ближайшие к 22 числа, которые делятся на 3, это 24, 27 и 30. Чтобы получить эти суммы, $x$ должен быть равен $2$ (так как $22+2=24$), $5$ (так как $22+5=27$) или $8$ (так как $22+8=30$).

Ответ: 2, 5, 8.

154. Вместо звёздочки поставьте такую цифру, чтобы получилось число, кратное 9 (рассмотрите все возможные случаи):

1) $517*0$;

2) $464*17$;

3) $9*31$.

Для решения этой задачи используется признак делимости на 9: число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9. Во всех случаях обозначим искомую цифру, стоящую на месте звёздочки, как $x$.

155. Чему равно частное от деления числа a на число b, если:

1) $a=2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7, b=2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7;$

2) $a=3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 13 \cdot 17 \cdot 19, b=3 \cdot 13 \cdot 19?$;

Чтобы найти частное от деления числа $a$ на число $b$, когда они представлены в виде произведения простых множителей, нужно записать деление в виде дроби и сократить одинаковые множители в числителе и знаменателе.

1) Дано: $a = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7$, $b = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7$.

Запишем частное в виде дроби:

$\frac{a}{b} = \frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7}{2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7}$

Сократим общие множители ($2, 2, 3, 7$) в числителе и знаменателе. В числителе останутся множители $2$ и $3$, произведение которых и будет результатом деления.

$2 \cdot 3 = 6$

Ответ: 6

2) Дано: $a = 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 13 \cdot 17 \cdot 19$, $b = 3 \cdot 13 \cdot 19$.

Запишем частное в виде дроби:

$\frac{a}{b} = \frac{3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 13 \cdot 17 \cdot 19}{3 \cdot 13 \cdot 19}$

Сократим общие множители ($3, 13, 19$) в числителе и знаменателе. В числителе останутся множители $5, 5$ и $17$, произведение которых и будет результатом деления.

$5 \cdot 5 \cdot 17 = 25 \cdot 17 = 425$

Ответ: 425

156. Чему равно частное от деления числа a на число b, если:

1) $a = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13, b = 2 \cdot 5 \cdot 13;$

2) $a = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 23 \cdot 37, b = 2 \cdot 3 \cdot 37?$

1)

Чтобы найти частное от деления числа $a$ на число $b$, представим это деление в виде дроби. Поскольку числа $a$ и $b$ даны в виде произведения простых множителей, мы можем легко сократить общие множители в числителе и знаменателе.

Даны числа:
$a = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13$
$b = 2 \cdot 5 \cdot 13$

Запишем частное $\frac{a}{b}$ в виде дроби и подставим значения:
$\frac{a}{b} = \frac{2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13}{2 \cdot 5 \cdot 13}$

Сократим общие множители в числителе и знаменателе. Общими множителями являются 2, 5 и 13.
$\frac{a}{b} = \frac{\sout{2} \cdot 3 \cdot 5 \cdot \sout{5} \cdot 7 \cdot 11 \cdot \sout{13}}{\sout{2} \cdot \sout{5} \cdot \sout{13}} = 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11$

Теперь вычислим произведение оставшихся множителей:
$3 \cdot 5 = 15$
$15 \cdot 7 = 105$
$105 \cdot 11 = 1155$

Ответ: 1155

2)

Действуем аналогично первому пункту.

Даны числа:
$a = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 23 \cdot 37$
$b = 2 \cdot 3 \cdot 37$

Запишем частное $\frac{a}{b}$ в виде дроби:
$\frac{a}{b} = \frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 23 \cdot 37}{2 \cdot 3 \cdot 37}$

Сократим общие множители 2, 3 и 37:
$\frac{a}{b} = \frac{\sout{2} \cdot 2 \cdot 2 \cdot \sout{3} \cdot 5 \cdot 23 \cdot \sout{37}}{\sout{2} \cdot \sout{3} \cdot \sout{37}} = 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 23$

Вычислим произведение оставшихся множителей:
$2 \cdot 2 \cdot 5 = 20$
$20 \cdot 23 = 460$

Ответ: 460